`
中考说明：旋转分为：①图形的旋转．②构造旋转．
如图甲，在中，为锐角．点为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
解答下列问题：
⑴如果，．
①当点在线段上时（与点不重合），如图乙，线段、之间的位置关系为_________，数量关系为________．
②当点在线段的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么?
⑵如果，，点在线段上运动．
试探究：当满足一个什么条件时，（点、重合除外）?画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
⑶若，，在⑵的条件下，设正方形的边与线段相交于点，求线段长的最大值．
⑴ ①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC．
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°．
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD
⑵ 当时，CF⊥BD（如图1）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：，∴∠ACF=∠AGD=45°
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD
⑶ 当具备时，
过点A作AQ⊥BC交的延长线于点Q，（如图2）
∵DE与线段CF交于点P时，
∴此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．设CD=x．∴DQ=4－x，
容易说明，
∴，∴，
∴．
∵，∴当x=2时，CP有最大值1．
在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点 Q在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．
求证：PF＝PQ ；
（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若 P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．
【解析】（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
∴A（－6，0），B（0，6）．
∴OA=OB．
∴
在△AOB中，．
∴．
（2）在等腰直角三角形APD中，
，DA=DP，．
∴DP⊥AD于D．
由（1）可得．
∴．
又∵PG⊥x轴于G，
∴PG = PD．
∴．
∴．
∴．
即．
又∵PQ⊥PF，
∴．
∴．
在△PGF和△PDQ中，
∴△PGF≌△PDQ(ASA)．
∴PF=PQ．
（3）答：OP⊥DP，OP＝DP．
证明：延长DP至H，使得PH=PD．
∵P为BE的中点，
∴PB=PE．
在△PBH和△PED中，
∴△PBH≌△PED（SAS）．
∴BH=ED．
∴．
∴BH∥ED．
在等腰直角三角形ADE中，
AD=ED，．
∴AD=BH，.
∴DE∥x轴，BH∥x轴， BH⊥y轴．
∴．
由（1）可得 OA=OB．
在△DAO和△HBO中，
∴△DAO≌△HBO（SAS）．
∴OD=OH，∠5=∠6．
∵,
∴.
∴在等腰直角三角形△DOH中，
∵DP=HP，
∴OP⊥DP，.
∴．∴OP=PD．
某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰中，，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中于点，于点，是的中点，连接和，则下列结论正确的是 （填序号即可）．
①；②；③整个图形是轴对称图形；④．
●数学思考：
在任意中，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连接和，则与具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：
在任意中，仍分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连接和，试判断的形状．
答： ．
(2013江西)
●操作发现：①②③④
●数学思考：
答：，，
先证；
如图2，分别取、的中点、，
连接，，，，
∵是的中点，
∴，．
∴，
同理可证，
∵，
同理可得，
∴，
又∵，
∴．
同理可得，
∴，
即，又，，
∴（SAS），
∴，
再证：
证法一：∵，
∴，
即．
又∵，
∴，
∴，
其中
∴．
即；
证法二：如图2，与交于点，
∵，
∴，
又∵，
即．
∵，
又∵，
∴，
∴，
即；
●类比探究
答：等腰直角三角形．
（评分说明：仅答等腰三角形或仅答直角三角形的不得分）
⑴如图,DE∥FG∥BC,且AD=DF=FB, 设△ABC 被分成的三部分的面积分别为____
∵DE∥FG∥BC， ∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∵AD=DF=FB ∴S△ADE：S△AFG：S△ABC=AD2：（2AD）2：（3AD）2=1：4：9； 设S△ADE=1，则S△AFG=4，S△ABC=9， ∴S1=S△ADE=1，S2=S△AFG-S△ADE=3，S3=S△ABC-S△AFG=5， 即S1：S2：S3=1：3：5．
⑵如图，△ABC被线段DE、FG分成面积相等的三部分，即S1=S2=S3，且DE∥FG∥BC，
则DE：FG：BC=___________
∵S1=S2，∴ ∴DE2:FG2=1：2，∴DE:FG=1： 同理，DE：BC=1：
∴DE：FG：BC=1：：
⑶如图,点D是△ABC边 BC延长线上一点，过点C作CE∥AB，作
DE∥AC，连接AE，则______
∵CE∥AB
∴
∵DE∥AC
∴
∴△ABC∽△ECD
∴
∴
∵CE∥AB
∴
∴=6
⑷如图，E，F分别是长方形ABCD的边AB，BC的中点，连接AF，CE，AF与CE交于点G，则=________
过点G作AB、BC的垂线，连接BG，AC
,∴
∴
∴
∴
如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，
交y轴于点B．
⑴求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
⑵设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中
点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形
PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
⑶在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面
积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．
⑴令y=0，
得x2+x+4=0，即x2﹣2x﹣8=0；
解得x=﹣2，x=4；
所以A（4，0）；
令x=0，得y=4，
所以B（0，4）；
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则有： ，
解得；
∴
⑵当P（x，x）在直线AB上时，x=﹣x+4，解得x=2；
当Q（，）在直线AB上时，=﹣+4，解得x=4；
所以正方形PEQF与直线AB有公共点，且2≤x≤4；
⑶当点E（x，）在直线AB上时，
（此时点F也在直线AB上）=﹣x+4，解得x=；
①当2≤x＜时，直线AB分别与PE、PF有交点，
设交点分别为C、D
此时PC=x﹣（-x+4）=2x﹣4，又PD=PC，
所以S△PCD=PC2=2（x﹣2）2；
从而S=x2﹣2（x﹣2）2=﹣x2+8x﹣8=﹣（x﹣）2+；
因为2≤＜，
所以当x=时， =；
②当≤x≤4时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别
为M、N；
此时QN=（﹣+4）﹣=﹣x+4，又QM=QN，
所以S△QMN=QN2=（x﹣4）2，
即S=（x﹣4）2；
当x=时， =；
综合①②得：当x=时，=
阅读下面问题的解决过程：
问题：已知中，为边上一定点，过点作一直线，使其等分的面积．
解决：情形1：如图甲，若点恰为的中点，作直线即可．
情形2：如图乙，若点不是的中点，则取的中点，连接，过点作交于，作直线，直线即为所求直线．
问题解决：
如图丙，已知四边形，过点作一直线（不必写作法），使其等分四边形的面积，并证明． （石景山一模）
如图所示，取对角线的中点，
连接．
∴折线能平分四边形的面积．
过点作交于，
则
∴．
∴直线即为所求．
另解（此方法不是解决此类问题的同法）：连接，过点作交延长线于，
连接交于，取中点．
∴，
∴，
∴
∴直线即为所求．
目标班
问题：如图1，正方形和正方形有公共顶点，顶点在同一条直线上，取中点，连接并延长交与，其中正方形的边长为，正方形的边长为．试探究与的位置关系及与面积的数量关系．
⑴直接写出上述问题中线段与的位置关系及与面积的数量关系；
⑵将图1中的正方形绕点顺时针旋转一个角度，原问题中的其它条件不变（如图2），那么⑴中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
⑶若将正方形绕点顺时针旋转，原问题中的其它条件不变，请画出此时的图形，并直接写出面积的值．
⑴ ；
⑵ 结论不变。
证明：延长到，使，连接．
∵是中点，
∴
∴，
∴
在中，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
⑶ 图形如右图：的面积
在中，点在上，点在上，且，将绕点按顺时针方向旋转得到（使），连接、，设直线与交于点．
⑴如图1，当时，的值为 ；
⑵如图2，当，时，求的值；
⑶在⑵的条件下，若，且为的中点，求面积的最小值．
⑴ 1；
⑵ ∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB．∴．
由旋转图形的性质得，，
∴．
∵，
∴即．
∴∽．
∴．
⑶ 解：作BM⊥AC于点M，则．
∵E为BC中点，∴CE=BC=2．
△CDE旋转时，点在以点C为圆心、CE长为半径
的圆上运动．
∵CO随着的增大而增大，
∴当与⊙C相切时，即=90°时最大，
则CO最大．
∴此时=30°，=BC=2 =CE．
∴点在AC上，即点与点O重合．
∴CO==2．
又∵CO最大时，AO最小，且AO=AC－CO=3．
∴．
小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，纸片的直角顶点落在纸片的斜边上，直角边落在所在的直线上．
⑴ 若与相交于点，取的中点，连接、，当纸片沿方向平移时（如图3），请你观察、测量、的长度，猜想并写出与的数量关系，然后证明你的猜想；
⑵ 在⑴的条件下，求出的大小（用含的式子表示），并说明当时， 是什么三角形？
⑶ 在图3的基础上，将纸片绕点逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于），此时变成，同样取的中点，连接、（如图4），请继续探究与的数量关系，并证明你的结论．
（门头沟二模）
⑴ =.
证明：∵的中点为
∴在中，
在中，，∴=
⑵ ∵
同理
∴==
而
∴
∴当时，，
此时为等腰直角三角形．
⑶ 当绕点逆时针旋转一定的角度，
仍然存在=．
作关于对称得到，
作关于对称得到（如图）
易证、是等腰三角形，
且
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
由中位线得．
目标123班
问题：如图1，正方形和正方形有公共顶点，顶点在同一条直线上，取中点，连接并延长交与，其中正方形的边长为，正方形的边长为．试探究与的位置关系及与面积的数量关系．
⑴直接写出上述问题中线段与的位置关系及与面积的数量关系；
⑵将图1中的正方形绕点顺时针旋转一个角度，原问题中的其它条件不变（如图2），那么⑴中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
⑶若将正方形绕点顺时针旋转，原问题中的其它条件不变，请画出此时的图形，并直接写出面积的值．
⑴ ；
⑵ 结论不变。
证明：延长到，使，连接．
∵是中点，
∴
∴，
∴
在中，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
⑶ 图形如右图：的面积
⑴ 如图1，四边形中，，，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论；
⑵ 如图2，四边形中，，，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论．
⑴ 如图１，延长至，使．
可证明是等边三角形．
连接，可证明≌．
故．
⑵ 如图２，在四边形外侧作正三角形，
可证明≌，得．
∵ 四边形符合（1）中条件，
∴ ．
联结，
ⅰ）若满足题中条件的点在上，
则．
∴ ．
∴ ．
ⅱ）若满足题中条件的点不在上，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
综上，．
小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，纸片的直角顶点落在纸片的斜边上，直角边落在所在的直线上．
⑴ 若与相交于点，取的中点，连接、，当纸片沿方向平移时（如图3），请你观察、测量、的长度，猜想并写出与的数量关系，然后证明你的猜想；
⑵ 在⑴的条件下，求出的大小（用含的式子表示），并说明当时， 是什么三角形？
⑶ 在图3的基础上，将纸片绕点逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于），此时变成，同样取的中点，连接、（如图4），请继续探究与的数量关系，并证明你的结论．
（门头沟二模）
⑴ =.
证明：∵的中点为
∴在中，
在中，，∴=
⑵ ∵
同理
∴==
而
∴
∴当时，，
此时为等腰直角三角形．
⑶ 当绕点逆时针旋转一定的角度，
仍然存在=．
作关于对称得到，
作关于对称得到（如图）
易证、是等腰三角形，
且
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
由中位线得．
在四边形中，对角线平分．
⑴如图甲，当，时，求证：；
⑵如图乙，当，与互补时，线段有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
⑶如图丙，当，与互补时，线段有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
⑴ 在四边形中，
∵平分，，∴．
又∵，∴，∴．
∴．
⑵ ．
如图，以为一边，在外侧作，
交延长线于．
∵平分，，
∴．
又∵与互补，
∴，
∴，
∵，
∴
∵与是邻补角，
∴，
在中，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，∴．
⑶ ．
如图，以为一边，在外侧作，
交延长线于．
∵平分，，
∴．
又∵与互补，
∴，
∴，
∵，
∴
∵与是邻补角，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴．
⑴如图1，已知：直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．请写 出图中，△ABC和△ABP面积之间的数量关系： ；
⑵如图2，边长为6的正三角形ABC，P是BC边上一点，且PB=1，以PB为一边作正三角形PBD，则△ADC的面积为 ；
⑶如图3，边长为6的正三角形ABC，P是BC边上一点，且PB=2，以PB为一边作正三角形PBD，则△ADC的面积为 ；
⑷根据上述计算的结果，你发现了怎样的规律？
提出自己的猜想并依据图4予以证明．
⑸如图5，有一块正三角形的草皮ABC，由于某种原因，需要将三角形草皮ABE移植到三角形的草皮AEC的右侧，成为一块新的三角形草皮ADC（A、E、D三点要在一条直线上），并保持其面积不变，请你画图说明如何确定点D的位置．
⑴相等．⑵，⑶，
⑷的面积总等于的面积．
证明如下：
∵和都是等边三角形，∴∠ACB=∠DBC=60°
∴，
∴ （同底等高）∵
∴的面积总等于的面积．
⑸画图略．
`
中考说明：旋转分为：①图形的旋转．②构造旋转．
如图甲，在中，为锐角．点为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
解答下列问题：
⑴如果，．
①当点在线段上时（与点不重合），如图乙，线段、之间的位置关系为_________，数量关系为________．
②当点在线段的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么?
⑵如果，，点在线段上运动．
试探究：当满足一个什么条件时，（点、重合除外）?画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
⑶若，，在⑵的条件下，设正方形的边与线段相交于点，求线段长的最大值．
在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点 Q在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．
求证：PF＝PQ ；
（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若 P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．
某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰中，，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中于点，于点，是的中点，连接和，则下列结论正确的是 （填序号即可）．
①；②；③整个图形是轴对称图形；④．
●数学思考：
在任意中，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连接和，则与具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：
在任意中，仍分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连接和，试判断的形状．
答： ．
(2013江西)
⑴如图,DE∥FG∥BC,且AD=DF=FB, 设△ABC 被分成的三部分的面积分别为____
⑵如图，△ABC被线段DE、FG分成面积相等的三部分，即 S1=S2=S3，且DE∥FG∥BC，则DE：FG：BC=___________
⑶如图,点D是△ABC边 BC延长线上一点，过点C作CE∥AB， 作DE∥AC，连接AE，则______
⑷如图，E，F分别是长方形ABCD的边AB，BC的中点，连接AF，CE，AF与CE交于点G，则=________
如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，
交y轴于点B．
⑴求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
⑵设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中
点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形
PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
⑶在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面
积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．
阅读下面问题的解决过程：
问题：已知中，为边上一定点，过点作一直线，使其等分的面积．
解决：情形1：如图甲，若点恰为的中点，作直线即可．
情形2：如图乙，若点不是的中点，则取的中点，连接，过点作交于，作直线，直线即为所求直线．
问题解决：
如图丙，已知四边形，过点作一直线（不必写作法），使其等分四边形的面积，并证明． （石景山一模）
在四边形中，对角线平分．
⑴如图甲，当，时，求证：；
⑵如图乙，当，与互补时，线段有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
⑶如图丙，当，与互补时，线段有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
⑴如图1，已知：直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．请写 出图中，△ABC和△ABP面积之间的数量关系： ；
⑵如图2，边长为6的正三角形ABC，P是BC边上一点，且PB=1，以PB为一边作正三角形PBD，则△ADC的面积为 ；
⑶如图3，边长为6的正三角形ABC，P是BC边上一点，且PB=2，以PB为一边作正三角形PBD，则△ADC的面积为 ；
⑷根据上述计算的结果，你发现了怎样的规律？
提出自己的猜想并依据图4予以证明．
⑸如图5，有一块正三角形的草皮ABC，由于某种原因，需要将三角形草皮ABE移植到三角形的草皮AEC的右侧，成为一块新的三角形草皮ADC（A、E、D三点要在一条直线上），并保持其面积不变，请你画图说明如何确定点D的位置．
