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在北京中考试卷中，代数综合题出现在第23题左右，分值为7分，主要以方程、函数这两部分为考查重点，会涉及到四大数学思想：转化（化归）思想、分类讨论思想、方程（函数）思想、数形结合思想．也会考查代数式的恒等变形，比如代入法、待定系数法、降次法、配方法等．
⑴ 已知：，则代数式 ．
⑵ 已知和，且，则代数式的
值 ．
⑶ 已知，，则 ．
⑷ 已知，，则 ．
抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB=OC．
⑴ 求这条抛物线的解析式；
⑵ 若点P与点Q在（1）中的抛物线上，且，PQ=n.
① 求的值；
② 将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个 新图象.当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围
是 .
（2013海淀期末）
已知：关于的一元二次方程（为实数）.
⑴ 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
⑵ 求证：抛物线总过/轴上的一个定点；
⑶ 若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整 数根时，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解 析式．
(2013东城二模)
已知点A（a，/）、B（2a，y/）、C（3a，y/）都在抛物线上.
⑴ 求抛物线与x轴的交点坐标；
⑵ 当a=1时，求△ABC的面积；
⑶ 是否存在含有/、y/、y/，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以 证明；如果不存在，请说明理由.
（2013昌平二模）
二次函数/，其顶点坐标为M(1，)．
⑴ 求二次函数的解析式；
⑵ 将二次函数的图象在/轴下方的部分沿/轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到 一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线/与这个新图象有两个公共点时， 求/的取值范围．
(2013丰台一模)
已知关于m的一元二次方程=0.
⑴ 判定方程根的情况；
⑵ 设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时， 求m的值．
(2013平谷一模)
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已知二次函数/在/和/时的函数值相等。
⑴ 求二次函数的解析式；
⑵ 若一次函数/的图象与二次函数的图象都经过点/，求/和/的值；
⑶ 设二次函数的图象与/轴交于点/（点/在点/的左侧），将二次函数的图象在 点/间的部分（含点/和点/）向左平移/个单位后得到的图象记为/，同 时将（2）中得到的直线/向上平移/个单位。请结合图象回答：当平移后的直线 与图象/有公共点时，/的取值范围。
（2012北京）
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阅读题：
材料一：已知、为整数，，其中，求、．
解：∵且
∴或．
材料二：一元二次方程的解为，若
为有理数，则为完全平方数，（为自然数）．
根据上面材料及解题思路，解答下列各题：
⑴ 已知、为整数，，其中，则 ．
⑵ 已知关于的一元二次方程
的解为有理数，则整数
．
⑶ 如图，，点在射线上一动
点，其中，为正整数，若，
求的值．
已知抛物线y＝ax2＋x＋2.
(1)当时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
(2)若代数式的值为正整数，求x的值；
(3)若是负数时，当a＝a1时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点N(n，0). 若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.
`
在北京中考试卷中，代数综合题出现在第23题左右，分值为7分，主要以方程、函数这两部分为考查重点，会涉及到四大数学思想：转化（化归）思想、分类讨论思想、方程（函数）思想、数形结合思想．也会考查代数式的恒等变形，比如代入法、待定系数法、降次法、配方法等．
⑴ 已知：，则代数式 ．
⑵ 已知和，且，则代数式的
值 ．
⑶ 已知，，则 ．
⑷ 已知，，则 ．
⑴ ．
⑵ ．
⑶ ．
⑷ ．
这道例题和备选主要复习配方法和代入降次等恒等变形方法.
抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB=OC．
⑴ 求这条抛物线的解析式；
⑵ 若点P与点Q在（1）中的抛物线上，且，PQ=n.
① 求的值；
② 将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个 新图象.当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围
是 .
（2013海淀期末）
⑴∵关于的一元二次方程有实数根,
∴有,.
∵.
∴,.
∴.
⑵ ∵，∴设.
解关于的一元二次方程，得 或.
当时，由得.
当时，由得（不合题意，舍去）.
∴(舍去)，.∴.
⑶ 当时，二次函数与轴的交点为、 与轴交点坐标为，顶点坐标为.画出函数和
的图象，若直线平行移动时，可以发现当直线经过点时符合题意， 此时最大的值等于.
已知：关于的一元二次方程（为实数）.
⑴ 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
⑵ 求证：抛物线总过轴上的一个定点；
⑶ 若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整 数根时，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解 析式．
(2013东城二模)
【解析】⑴ .
∵方程有两个不相等的实数根，
∴.
∵，
∴m的取值范围是.
⑵ 证明：令得，.
∴.
∴，.
∴抛物线与x轴的交点坐标为（），（）.
∴无论m取何值，抛物线总过定点（）.
⑶ ∵是整数 ∴只需是整数.
∵是整数，且,
∴.
当时，抛物线为．
把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为
.
已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.
⑴ 求抛物线与x轴的交点坐标；
⑵ 当a=1时，求△ABC的面积；
⑶ 是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证 明；如果不存在，请说明理由.
（2013昌平二模）
【解析】（1）由=0，得，．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）．
（2）当a=1时，得A（1，0）、B（2，1）、C（3，3），
分别过点B、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则有
= - -
=（个单位面积）
（3）如： ．
∵，，
，
又∵3（）=
=．
∴．
二次函数，其顶点坐标为M(1，)．
⑴ 求二次函数的解析式；
⑵ 将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到 一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线与这个新图象有两个公共 点时，求的取值范围．
(2013丰台一模)
【解析】(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，
所以
令解之得.
∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）
(2) 如图1，当直线经过A点时，可得
当直线经过B点时，可得
由图可知符合题意的的取值范围为
已知关于m的一元二次方程=0.
⑴ 判定方程根的情况；
⑵ 设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时， 求m的值．
(2013平谷一模)
【解析】（1）
∵
∴
所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根.
(2) 设．
∵ 的两根都在和之间，
∴ 当时，，即： ．
当时，，即：．
∴ ．
∵ 为整数， ∴ ．
① 当时，方程， 此时方程的根为无理数， 不合题意．
② 当时，方程，，不符合题意．
③ 当时，方程，符合题意．
综合①②③可知，．
已知二次函数在和时的函数值相等。
⑴ 求二次函数的解析式；
⑵ 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；
⑶ 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在 点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为， 同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移 后的直线与图象有公共点时，的取值范围。
（2012北京）
【解析】⑴ 由题意可知依二次函数图象的对称轴为
则。
∴
∴
⑵ ∵因二次函数图象必经过点
∴
又一次函数的图象经过点
∴，∴
⑶ 由题意可知，点间的部分图象的解析式为，
则向左平移后得到的图象的解析式为
此时平移后的解析式为
由图象可知，平移后的直线与图象有公共点，
则两个临界的交点为与
则
∴
已知是关于的一元二次方程的根．若，求
的值．
，
，，，∴，
∴方程①为，∴
∴
已知、是关于的一元二次方程的两个实数根，其中为非
负整数，点是一次函数与反比例函数图象的交点，且、
为常数．
⑴ 求的值；
⑵ 求一次函数与反比例函数的解析式；
⑶ 当时，直接写出的最小值.
⑴ 依题意得
解得且．
∵为非负整数，∴.
⑵ 当时，原方程化为．
解得．∴．
把和代入，得．
∴一次函数的解析式是．
把代入，得．
∴反比例函数的解析式是．
⑶ 当时，最小值为.
某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．
(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?
(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数
关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一
次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越
多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)
（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。
答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。
（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；
当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；
当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。
∴。
（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y最大，
此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，
答：公司应将最低销售单价调整为2750元。
阅读题：
材料一：已知、为整数，，其中，求、．
解：∵且
∴或．
材料二：一元二次方程的解为，若
为有理数，则为完全平方数，（为自然数）．
根据上面材料及解题思路，解答下列各题：
⑴ 已知、为整数，，其中，则 ．
⑵ 已知关于的一元二次方程
的解为有理数，则整数
．
⑶ 如图，，点在射线上一动
点，其中，为正整数，若，
求的值．
⑴ ，．
⑵ ，．
⑶ ，，，．
已知抛物线y＝ax2＋x＋2.
(1)当时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
(2)若代数式的值为正整数，求x的值；
(3)若是负数时，当a＝a1时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点N(n，0). 若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.
⑴当时，，∴.
∴抛物线的顶点坐标为(，)，对称轴为直线
(2)∵代数式的值为正整数，∴函数的值为正整数.
又因为函数的最大值为，∴的正整数值只能为1或2.
当时，，解得，
当时，，解得
∴的值为，，0或1.
（3）当时，即a.
经过点的抛物线的对称轴为,
经过点的抛物线的对称轴为
∵点M在点N的左边，且抛物线经过点(0,2)
∴直线在直线的左侧
∴
∴
