智力竞猜
题型切片（三个）
对应题目
题型目标
矩形的定义、性质及判定
例1；例2；演练1；演练2；
菱形的定义、性质及判定
例3；例4；演练3；例7；
正方形的定义、性质及判定
例5；例6；演练4；演练5．
定 义
示 例 剖 析
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
性 质
示 例 剖 析
矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．
①对边平行且相等；
②四个角都是直角；
③对角线互相平分且相等；
④是中心对称图形、轴对称图形．
除平行四边形性质外：
①
=90°；
②AC=BD．
重要结论
示 例 剖 析
①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
②在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
① O是AC的中点，则．
② ，则．
判 定
① 有一个角是直角的平行四边形是矩形． ② 对角线相等的平行四边形是矩形．
③ 有三个角是直角的四边形是矩形．
⑴ 如图，矩形的两条对角线相交于点，，
，则矩形的对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
⑵ 矩形的对角线、交于，如果的周长比
的周长大，则边的长是 ．
⑶ 如图，矩形中，对角线、交于，
于，，则_______．
⑷ 矩形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC边于点E，若点E分BC的长为3和4两部分，则矩形ABCD的周长为_______．
如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．
⑴求证：．
⑵如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
定 义
示 例 剖 析
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
性 质
示 例 剖 析
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．
①对边平行且四边都相等；
②邻角互补，对角相等；
③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组
对角；
④是中心对称图形、轴对称图形．
除平行四边形性质外：
① AB= BC=CD=AD；
②AC⊥BD且AC、BD分别为、的角平分线．
①菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．
②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对角线乘积的一半．（注：不能直接使用）
①
②
判 定
① 一组邻边相等的平行四边形是菱形． ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
③ 四边相等的四边形是菱形．
⑴ 如图所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于 ．
⑵ 如图1所示，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
⑶ 菱形中，、分别是、的中点，且， ，那么的度数为 ．
⑷ 已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为 ．
如图，四边形ABCD中，AC平分交AB于E．
⑴ 求证：四边形AECD是菱形；
⑵ 若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
定 义
示 例 剖 析
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
性 质
示 例 剖 析
正方形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．
①对边平行且四边都相等；
②四个角都是直角；
③两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
④是中心对称图形、轴对称图形．
除平行四边形性质外：
① AB= BC=CD=AD；
②=90°；
③AC=BD，AC⊥BD，AC、BD分别为、的角平分线．
正方形轴对称性质（用时需证明）
正方形ABCD中，P为对角线BD上任一点．
结论：①AP=CP
②△ADP ≌△CDP
③△ABP ≌△CBP
判 定
① 有一组邻边相等的矩形是正方形． ② 有一个角是直角的菱形是正方形．
⑴如图1，在正方形外侧作等边三角形，则的度数为_________．
⑵如图2，将一张边长为12的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使， 折痕为，则的长为（ ）
A．12 B． 13 C． 14 D．15
如图1，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
⑴ 求证：四边形是菱形；
⑵ 如图2，若，求证：四边形是正方形．
图1 图2
在平行四边形中，的平分线交直线于点，交直线于点．
⑴ 在图1中证明；
⑵ 若，是的中点（如图2），直接写出的度数；
⑶ 若，，，分别连结、（如图3），求的度数．
知识模块一 矩形的定义、性质及判定 课后演练
⑴如下左图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐
角为的 菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
⑵ 如下右图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB， 若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则 ．
已知，如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，
求证：AE平分．
知识模块二 菱形的定义、性质及判定 课后演练
已知，如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD、BC分别相交于E 、F求证：四边形AFCE是菱形．?
知识模块三 正方形的定义、性质及判定 课后演练
如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC边上的任意一点（可与点B或C重合），分别过D、B作AP的垂线段，垂足分别是．猜想的值，并对你的猜想加以证明．
如图，已知E是正方形ABCD的边CD外的一点，△DCE为等边三角形，BE交对角线AC于F，连接．
⑴求的度数；
⑵求证：AF=EF
智力竞猜
题型切片（三个）
对应题目
题型目标
矩形的定义、性质及判定
例1；例2；演练1；演练2；
菱形的定义、性质及判定
例3；例4；演练3；例7；
正方形的定义、性质及判定
例5；例6；演练4；演练5．
本讲内容主要分为三个模块，由于模块较多，每个模块均分为基本概念及提高解答题两种题型进行练习；其中模块一主要为矩形性质判定及重要结论的应用，并结合三角形全等，通过矩形的判定进一步阐释矩形的特殊性；模块二主要为菱形性质判定及重要结论的应用并结合三角形的性质，通过菱行的判定进一步阐释菱形的特殊性；模块三主要为正方形性质判定及重要结论的应用，通过正方形的判定进一步阐释正方形与平行四边形与菱形的关系；
正方形的轴对称性质也是比较重要的，其中训练2将正方形及将军饮马的相关模型结合命题，学有余力的班级，老师可以有选择地进行讲解这一题目；
本讲的最后一部分是2011中考第24题，本题从平行四边形入手，但在解题过程中需要学生不断运用在三角形版块学习的知识点结合四边形的知识点将特殊平行四边形问题进行转化，难度并不是特别大，但综合性比较强，对学生的综合能力要求较高，为近年中考考查趋势．
定 义
示 例 剖 析
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
性 质
示 例 剖 析
矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．
①对边平行且相等；
②四个角都是直角；
③对角线互相平分且相等；
④是中心对称图形、轴对称图形．
除平行四边形性质外：
①
=90°；
②AC=BD．
重要结论
示 例 剖 析
①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
②在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
① O是AC的中点，则．
② ，则．
判 定
① 有一个角是直角的平行四边形是矩形． ② 对角线相等的平行四边形是矩形．
③ 有三个角是直角的四边形是矩形．
⑴ 如图，矩形的两条对角线相交于点，，
，则矩形的对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
⑵ 矩形的对角线、交于，如果的周长比
的周长大，则边的长是 ．
⑶ 如图，矩形中，对角线、交于，
于，，则_______．
⑷ 矩形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC边于点E，若点E分BC的长为3和4两部分，则矩形ABCD的周长为__ __．
⑴ ∵，，∴为等边三角形，
∴，选B．
⑵ ∵，．
⑶ ∵
∴，
∵，∴
⑷ 20或22．
如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．
⑴ 求证：．
⑵ 如果，试判断四边形的形状，并证明你
的结论．
⑴ ∵，
是的中点，∴
∵
∴
∴，∵
∴
⑵ 四边形是矩形
∵，是的中点（利用全等）
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
又 ∴四边形是矩形．
定 义
示 例 剖 析
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
性 质
示 例 剖 析
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．
①对边平行且四边都相等；
②邻角互补，对角相等；
③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组
对角；
④是中心对称图形、轴对称图形．
除平行四边形性质外：
① AB= BC=CD=AD；
②AC⊥BD且AC、BD分别为、的角平分线．
①菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．
②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对角线乘积的一半．（注：不能直接使用）
①
②
判 定
① 一组邻边相等的平行四边形是菱形． ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
③ 四边相等的四边形是菱形．
⑴ 如图所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于 ．
⑵ 如图1所示，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
⑶ 菱形中，、分别是、的中点，且， ，那么的度数为 ．
⑷ 已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．
⑴ ；
⑵ 由菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理可知选A．本题为易错题，关键字是：对折两次；
⑶ ；⑷或．
如图，四边形ABCD中，AC平分交AB于E．
⑴ 求证：四边形AECD是菱形；
⑵ 若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
⑴ ∵
∴四边形为平行四边形
又，
∴，∴
∴平行四边形AECD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
⑵ 由已知得，
∴
∴ △ABC为直角三角形．
定 义
示 例 剖 析
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
性 质
示 例 剖 析
正方形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．
①对边平行且四边都相等；
②四个角都是直角；
③两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
④是中心对称图形、轴对称图形．
除平行四边形性质外：
① AB= BC=CD=AD；
②=90°；
③AC=BD，AC⊥BD，AC、BD分别为、的角平分线．
正方形轴对称性质（用时需证明）
正方形ABCD中，P为对角线BD上任一点．
结论：①AP=CP
②△ADP ≌△CDP
③△ABP ≌△CBP
判 定
① 有一组邻边相等的矩形是正方形． ② 有一个角是直角的菱形是正方形．
⑴如图1，在正方形外侧作等边三角形，则的度数为_________．
⑵如图2，将一张边长为12的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使， 折痕为，则的长为（ ）
A．12 B． 13 C． 14 D．15
⑴15°；⑵ B.
如图1，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
⑴ 求证：四边形是菱形；
⑵ 如图2，若，求证：四边形是正方形．
图1 图2
⑴ ∵四边形是平行四边形
∴
又∵是等边三角形
∴，即
∴平行四边形是菱形．
⑵ ∵是等边三角形，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∵四边形是菱形
∴
∴四边形是正方形．
在平行四边形中，的平分线交直线于点，交直线于点．
⑴ 在图1中证明；
⑵ 若，是的中点（如图2），直接写出的度数；
⑶ 若，，，分别连结、（如图3），求的度数．
（2011北京中考）
⑴ 证明：如图1.
∵平分
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
⑵ .
⑶ 解：分别连结、、（如图2）.
∵
∴
∵且
∴四边形是平行四边形.
由⑴得
∴是菱形.
∴.
∴是等边三角形.
∴ ①
.
∴.
∴. ②
由及平分可得.
∴.
在中，.
∴. ③
由①②③得.
∴.
∴.
∴.
【点评】本题从命题角度是四边形问题，但在解题过程中不断运用三角形的相关知识，把特殊平行四边形问题常转化为特殊三角形知识来解决或是利用特殊三角形的性质来帮助解决四边形问题，所以，如何利用三角形中的知识点来辅助判定特殊四边形是我们解题的关键．
【探究对象】利用三角形中的知识点来辅助判定特殊四边形
【探究1】知识点：利用直角三角形中角所对的边等于斜边的
一半，结合图形平移前后边、角相等的性质来解题。
如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到。
⑴证明：；
⑵若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形。（直接写出答案）
分析：⑴由平移→，→→→→结论
⑵→→若为中点→→→菱形
【探究2】 知识点：利用“角分线+平行线，等腰三角形必呈现”得到相等线段。
如图，，点在上，，
（1）求证：四边形是菱形。
（2）若，求证：。
分析：（1）∵，∴。
∵，∴.∴.
∵，∴，
∴四边形是平行四边形.
∵，∴四边形是菱形.
（2）∵，，，
∴四边形、四边形均为平行四边形，
∴、.
又∵，∴.
【探究3】知识点：利用三角形折叠后，折痕即为角平分线，得出角相等后，再借助全等解题。
将三角形纸片（）沿过点的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点与点重合，折痕为，再次展平后连接，如图（2），证明：四边形是菱形。
分析：由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，∴∠1＝∠2
由第二次折叠可知：∠CAB＝∠EDF，从而，∠3＝∠4
∵AD是△AED和△AFD的公共边，∴△AED≌△AFD(ASA)
∴AE＝AF，DE＝DF
又由第二次折叠可知：AE＝ED，AF＝DF
∴AE＝ED＝DF＝AF
故四边形AEDF是菱形
如图，在平行四边形中，以为斜边作，且为直角．
求证：四边形是矩形．
连接．
∵四边形是平行四边形
∴
∵是直角三角形
∴，同理
∴
又∵四边形是平行四边形
∴四边形是矩形．
⑴如下图，正方形中，是的中点，，点是上一动点，则
的最小值是 ．
⑵ 将⑴中的正方形换成菱形且，其它条件均不变，则的最小值是 ．
⑴利用对称性，点关于的对称点为，连接交的点即为点，最小就是线段的长，由勾股定理可求得长为．
⑵ 方法同⑴ ，最小值为．
⑴若正方形边长为，为边上一点，，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且BF=AE，则的长为 ．
⑵已知如图：E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线相交于、，若，则
∠CME+∠CNF=
⑴ （如图1）或（如图2）；
⑵．提示：如图，连接．
如图，在正方形中，、分别是、的中点，
求证： ．
延长，交于点
证，可得，
证，可得，
∵
∴
∴
又∵
∴
知识模块一 矩形的定义、性质及判定 课后演练
⑴如下左图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐
角为的 菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
⑵ 如下右图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB， 若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则 ．
⑴D；⑵ 60．
已知，如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，
求证：AE平分．
提示：证明，从而BE=DC=AB，
∴，可得AE平分．
知识模块二 菱形的定义、性质及判定 课后演练
已知，如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD、BC分别相交于E 、F求证：四边形AFCE是菱形．?
∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO＝CO
证得：△AOE≌△COF
证得：四边形AECF是平行四边形
由AC⊥EF可知：四边形AECF是菱形
知识模块三 正方形的定义、性质及判定 课后演练
如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC边上的任意一点（可
与点B或C重合），分别过D、B作AP的垂线段，垂足分别
是．猜想的值，并对你的猜想加以证明．
猜想：
由可得
∴
如图，已知E是正方形ABCD的边CD外的一点，△DCE为
等边三角形，BE交对角线AC 于F ,连接．
⑴求的度数；⑵求证：AF=EF
⑴可先证
∴
∴
⑵证明：∵
∴
由∵,
∴
∴
