发考试成绩啦
题型切片（两个）
对应题目
题型目标
正比例函数
例1；演练1；例2；例3；演练2；
一次函数
例4；例5；演练3；演练4⑴；
例6；演练4⑵；演练5；例7
定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中叫比例系数.
图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线.函数也叫直线.
示意图（草图）
图象位置
变化趋势
性质（增减性）
经过原点和
第一、三象限
从左向右
上升
随的增大而增大随的减小而减小
经过原点和
第二、四象限
从左向右
下降
随的增大而减小随的减小而增大
⑴ 若函数是正比例函数，则的值是_______________；
⑵ 下列比例式中，变量与成正比例的是（ ）
A. B. C. D.
⑶ 若正比例函数的图象经过点和点，当时，若，则的取值范围是_____________；若，则的取值范围是______________；
⑷ 如果一个函数具有以下两条性质：
① 它的图象是经过原点的一条直线；
② 随的减小而减小．
请写出一个满足上述两个条件的函数解析式_____________________．
⑴ 下面哪个正比例函数的图象经过第一、三象限（ ）
A． B．
C．（为常数） D．
⑵ 若正比例函数的图象经过点，则随的增大而_______；（填“增大”或“减小”）
⑶ 正比例函数图象上有一点，点的横坐标为，过作轴，垂足为，则；
⑷ 在正比例函数图象上有一点，点的横坐标为，过作轴，垂足为，若，则．
⑴ 一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线经过点与点，求这个函数解析式及的值，并画出图象；
⑵ 已知与成正比例，且当时，，
① 你能求出的表达式吗？
② 当时，的值是多少？
定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.当时，
即为，所以正比例函数是特殊的一次函数.
图象：一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线，它可以看作直线平移个单位长度而得到（当时，向上平移；当时，向下平移）
图象与轴交于点，与轴交于点
示意图（草图）
经过的象限
变化趋势
性质（增减性）
一、二、三
从左向右
上升
随的增大而增大，
随的减小而减小
一、三、四
一、二、四
从左向右
下降
随的增大而减小，
随的减小而增大
二、三、四
待定系数法求解析式：
⑴ 对于函数（为常数），当时，它是正比例函数；
当时，函数表示一次函数，其表达式是 ；
⑵ 一次函数的图象是将正比例函数的图象向___平移____个单位长度得到的，经过第_______象限；将直线向下平移2个单位会得到直线_________，直线不经过第_____象限；由以上平移可判断直线与的位置关系是_________，直线与的位置关系为________；
⑶如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交， 那么（ ）
A．， B．， C．， D．，
⑷已知一次函数，其中，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
⑸一次函数中，函数随的增大而减小，且函数图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
⑴下列图象中，不可能是关于的一次函数的图象的是（ ）
A． B． C． D．
⑵如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
⑶ 如图所示，直线和在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
⑴已知一次函数图象经过点和．
①求这个一次函数的解析式；
②求这条直线和坐标轴的交点坐标．
⑵ 如图，已知一次函数图象为直线，直线过点、．
① 求一次函数解析式；
②点在图象上，求的值；
③ 求图象和坐标轴围成的三角形面积．
如图，直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为，点的坐标为．若点是第二象限内的直线上的一个动点．
⑴ 在点的运动过程中，试写出的面积S与的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
⑵ 当的面积为时，求出点的坐标．
知识模块一 正比例函数 课后演练
一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线经过第四象限及点与点，求这个函数解析式及的值.
已知：与成正比例，并且当时，，
⑴ 试求出与的函数解析式；
⑵ 当时，求的值．
知识模块二 一次函数 课后演练
⑴ 若一次函数的图象如图所示，则的取值范围
为 ．
⑵ 已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图像经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
⑶ 如图，一次函数的图像大致是（ ）
A B C D
⑷若将直线的图象向上平移3个单位长度后经过点，则平移后直线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
⑴ 老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：
甲：函数的图象经过了第二象限；乙：函数的图象也经过了第三象限；丙：在每个象限内，随的增大而减小．请你写出一个满足这三个条件的函数 ．
⑵ 已知：一次函数的图象与轴的交点到原点的距离为3，且过点，求它的解析式．
⑴ 一辆汽车在行驶过程中，路程（千米）与时间（小时）
之间的函数关系如图所示，当，关于的函数解析式
为，那么当 时，关于的函数解析式为
_____________.
⑵ 正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，两图象与轴围成的三角形的面积为，求这两个函数的解析式.
发考试成绩啦
题型切片（两个）
对应题目
题型目标
正比例函数
例1；演练1；例2；例3；演练2；
一次函数
例4；例5；演练3；演练4⑴；
例6；演练4⑵；演练5；例7
本讲内容主要分为两个模块，模块一主要讲解正比例函数，它的特点是，从解析式角度，常数项为0，从图象角度，直线过原点；另外直线的上升/下降趋势取决于k>0/k<0，该版块内容比较基础，例1至例3进行了一些基本题目的练习；
模块二介绍一次函数的相关内容，重点练习了函数图象所经过的象限与一次函数解析式各参数之间的关系，例4、例5进行了集中训练；本模块还介绍了求解一次函数解析式的重要方法——待定系数法，例6进行了练习；
本讲的最后一部分是北京十二中2012-13年度初二期末的考试真题，主要练习了一次函数动点坐标与面积问题，总结了解题方法供老师参考．
定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中叫比例系数.
图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线.函数也叫直线.
示意图（草图）
图象位置
变化趋势
性质（增减性）
经过原点和
第一、三象限
从左向右
上升
随的增大而增大随的减小而减小
经过原点和
第二、四象限
从左向右
下降
随的增大而减小随的减小而增大
⑴ 若函数是正比例函数，则的值是_______________；
⑵ 下列比例式中，变量与成正比例的是（ ）
A. B. C. D.
⑶ 若正比例函数的图象经过点和点，当时，若，则的取值范围是_____________；若，则的取值范围是______________；
⑷ 如果一个函数具有以下两条性质：
① 它的图象是经过原点的一条直线；
② 随的减小而减小．
请写出一个满足上述两个条件的函数解析式_____________________．
（实验中学期末试题）
⑴ 且，所以.
⑵ D.由比例的基本性质，将四个等式化简，符合的形式即为正比例函数.
⑶ ；.
⑷ 条件①说明该函数为正比例函数，条件②说明比例系数，符合以上两点即可.
⑴ 下面哪个正比例函数的图象经过第一、三象限（ ）
A． B．
C．（为常数） D．
⑵ 若正比例函数的图象经过点，则随的增大而_______；（填“增大”或“减小”） （西城区期末试题）
⑶ 正比例函数图象上有一点，点的横坐标为，过作轴，垂足为，则；
⑷ 在正比例函数图象上有一点，点的横坐标为，过作轴，垂足为，若，则．
⑴ D；
⑵ 减小；
⑶ 2；
⑷ ，注意分类讨论.
⑴ 一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线经过点与点，求这个函数解析式及的值，并画出图象；
⑵ 已知与成正比例，且当时，，
① 你能求出的表达式吗？
② 当时，的值是多少？
⑴设解析式为，由过点可得当，代入得，
∴解析式为
再将代入中，解得.
画图略，这里告诉学生，画正比例函数的图象可选取两点：.
⑵① 设，由，，可得
∴解析式为
② 当时，.
定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.当时，
即为，所以正比例函数是特殊的一次函数.
图象：一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线，它可以看作直线平移个单位长度而得到（当时，向上平移；当时，向下平移）
图象与轴交于点，与轴交于点
示意图（草图）
经过的象限
变化趋势
性质（增减性）
一、二、三
从左向右
上升
随的增大而增大，
随的减小而减小
一、三、四
一、二、四
从左向右
下降
随的增大而减小，
随的减小而增大
二、三、四
待定系数法求解析式：
⑴ 对于函数（为常数），当时，它是正比例函数；
当时，函数表示一次函数，其表达式是 ；
⑵ 一次函数的图象是将正比例函数的图象向___平移____个单位长度得到的，经过第_______象限；将直线向下平移2个单位会得到直线_________，直线不经过第_____象限；由以上平移可判断直线与的位置关系是_________，直线与的位置关系为________；
⑶如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交， 那么（ ）
A．， B．， C．， D．，
（实验中学练习题）
⑷已知一次函数，其中，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过（ ）
（西城期末）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
⑸一次函数中，函数随的增大而减小，且函数图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
（实验中学试题）
⑴； ；
⑵ 上，1，一、二、四； ， 二 ；平行，平行;
⑶ B；⑷ B；
⑸选C； 且 ∴，易误选为D.
⑴下列图象中，不可能是关于的一次函数的图象的是（ ）
A． B． C． D．
⑵如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
⑶ 如图所示，直线和在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
⑴D；由题意得不可能有，那么图像不可能是D；
⑵B；首先观察一次函数过第一、三象限，排除A、D，又因为一次函数与轴的交点是，当交点在轴上方，，正比例函数过第二、四象限，故B正确；当交点在轴下方，，此时正比例函数过第一、三象限，C不正确；
⑶C；观察发现四个选项中的直线都是经过第一、二、三象限，即；所以经过第一、三、四象限，故选C.
⑴已知一次函数图象经过点和．
①求这个一次函数的解析式；
②求这条直线和坐标轴的交点坐标．
⑴①设一次函数解析式为，
将和代入解析式得
解得，
即一次函数解析式为；
②与轴、轴的交点坐标分别为.
⑵ 如图，已知一次函数图象为直线，直线过点、．
① 求一次函数解析式；
②点在图象上，求的值；
③ 求图象和坐标轴围成的三角形面积．
（实验中学月考题）
⑵①设直线的解析式为：
观察图象可知：，，
根据题意，可得
解得
∴解析式为.
② ;
③与轴、轴的交点坐标分别为
∴.
备注：一次函数画图可选取与坐标轴的两交点.
如图，直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为，点的坐标为．若点是第二象限内的直线上的一个动点．
⑴ 在点的运动过程中，试写出的面积S与的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
⑵ 当的面积为时，求出点的坐标．
(2013北京十二中期末)
⑴将E代入
得
∴
设点
∴S△OPA=
当时，变成一条直线
⑵若S=，则
∴，
此时点P的位置
【分析】此题目的易错点为自变量的取值范围，由于题目中规定“点是第二象限内的直线上的一个动点”，故点P不在坐标轴上，且三角形三边不能在同一直线上．
【探究对象】一次函数动点坐标与面积问题
【思路分析】此类题目的一般过程是：
①在计算面积的过程当中需要用动点坐标表示线段长度，进而表示面积，故需设出动点坐标；
②因动点在所给图形上运动，故点的坐标应满足此图形所对应的函数解析式，即找到了y与x之间的关系，代入面积公式即可求得S与x之间的关系；
③最后，需注意自变量的取值范围；
④在一些较难题目中，如果动点在多边形的边上运动时，注意应为分段函数．
【备注】一次函数动点问题之面积S与运动t之间的关系将在春季班进行总结讲解．
学有余力的班级，老师们可以带着学生进行以下专题的探究：
【探究对象】利用函数图象法求解一次函数相关问题
【探究目的】通过函数图象整合出信息，有直观、清晰、简明的特点，是训练学生利用数形结合的思路解题的重要途径
【探究1】柳卡问题——数学家们咋了？
据说，在近代科学史上曾发生过一件有趣的事：19世纪的一次世界科学会议上，来自世界各国的许多名数学家共进早餐，法国数学家柳卡突然向在场的人们提出一个被他称为“最困难”的问题：
某轮船公司每天中午都有一艘轮船从巴黎的外港——勒阿佛尔开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔。航行时间都是7昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上，问今天中午从勒阿佛尔开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？（包括在两港口相遇）
问题提出后，一时竟真的难住了数学家们，尽管为此进行过探讨和争论，但得到的答案莫衷一是，就是说，这次会议竟还没有人真正解决这个问题。时隔许久，才有一位数学家实验性地画出了一个简单到几乎连小学生都能看懂的图形，从而宣告问题的彻底解决。
这个例子说明用函数图象求解问题，体现出了数形结合的强大威力，图解如下：
【探究2】已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2 cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H ，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图像如图2，若AB=6 cm，则下列四个结论中正确的个数有（ D ）
?? ①图1中的BC长是8cm???? ②图2中的M点表示第4秒时y的值为24 cm2?
③图1中的CD长是4cm???? ④图2中的N点表示第12秒时y的值为18 cm2?
A．1个???? B．2个??? ? C．3个???? D．4个 （常州市中考题）
分析：根据函数图象可以知：从0到2，y随t的增大而增大，经过了2秒，由动点P以每秒2cm的速度运动得，P运动了4cm，因而CG=4cm，BC=8cm；P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知，从而CD=4cm，面积24cm2，即图2中的M点表示第4秒时y的值为24 cm2；图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，△ABP的面积是18 cm2。
∴四个结论都正确。故选D。
教师备注：本题是训练数形结合思路的典范，老师应引导学生逐步善于通过图象获取信息来分析问题，这是解相关问题的关键。
【探究3】A、B两地相距45千米，图中折线表示某骑车人离A地的距离y与时间x的函数关系．有一辆客车9点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶，并往返于A、B两地之间．（乘客上、下车停留时间忽略不计）
（1）从折线图可以看出，骑车人一共休息 次，共休息 小时；
（2）请在图中画出9点至15点之间客车与A地距离y随时间x变化的函数图象；
（3）通过计算说明，何时骑车人与客车第二次相遇． （吉林省中考题）
分析：（1）看图可知，折线图中有两段水平的线，故休息了两次，时间是两次之和（看横轴），为两小时；
（2）由于客车9点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶，由此可以确定它到A、B两站的时刻，根据时刻和速度即可画出图象；（如上右图）
（3）根据题意，客车一小时行驶45千米，故它的图象是两小时一个来回．从左向右看，两条折线的第二个交点就是它们第二次相遇．求出EF的函数解析式就可以了，找到特殊点（10，0）和（11，45）用待定系数法可求出，直线EF所表示的函数解析式为y =45x－450．
把y=30代入y=45x－450，得45x－450=30，
∴x=
答：10点40分骑车人与客车第二次相遇．
已知：正比例函数的图象经过第四象限内的两点及
⑴ 求、两点的坐标及这个正比例函数的解析式；
⑵ 画出这个函数的图象；
⑶ 根据图象回答，当从2逐渐减小到时，的值是如何变化的？
⑴ 将两点坐标代入中，得 解得，
∵点在第四象限，∴，
解析式为，；
⑵ 画图略；
⑶ 当时，，当时，， ∴的值从增大到9.
已知直线经过原点和点，直线经过点和点．⑴ 求及的函数关系式，并画出图象．⑵ 若两直线相交于点，观察图象直接写出点坐标．
⑴由待定系数法可得画图略；
⑵ .
已知一次函数的图象经过点，，．
⑴ 求；
⑵ 求的值．
⑴ 由，可求出一次函数解析式为，
即
再把点坐标代入得．
⑵.
已知点在一次函数的图象上，则代数式的值为 ___ __．
将点坐标代入解析式中，可得，∵∴.
所以的值为1.
知识模块一 正比例函数 课后演练
一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线经过第四象限及点与点，求这个函数解析式及的值.
设解析式为，由过点与点可得 解得
∵直线过第四象限 ∴
∴解析式为
将点代入得.
已知：与成正比例，并且当时，，
⑴ 试求出与的函数解析式；
⑵ 当时，求的值．
⑴ 设，当时，，
∴，
∴，∴解析式；
⑵ 当时，，∴.
知识模块二 一次函数 课后演练
⑴ 若一次函数的图象如图所示，则的取值范围
为 ．
⑵ 已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图像经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
⑶ 如图，一次函数的图像大致是（ ）
A B C D
⑷若将直线的图象向上平移3个单位长度后经过点，则平移后直线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
（西城期末）
⑴ ； ⑵ A ； ⑶B ； ⑷ A.
⑴ 老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：
甲：函数的图象经过了第二象限；乙：函数的图象也经过了第三象限；丙：在每个象限内，随的增大而减小．请你写出一个满足这三个条件的函数 ．
（实验中学月考）
⑵ 已知：一次函数的图象与轴的交点到原点的距离为3，且过点，求它的解析式.
（人大附期中）
⑴ 根据丙的说法可肯定，根据乙的说法可知，例如等符合要求的即可.
⑵ 依题意得，再将点代入即可求出解析式为或
⑴ 一辆汽车在行驶过程中，路程（千米）与时间（小时）
之间的函数关系如图所示，当，关于的函数解析式
为，那么当 时，关于的函数解析式为
_____________.
⑵ 正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，两图象与轴围成的三角形的面积为，求这两个函数的解析式.
⑴由，当，，∴当，图象经过，两点，
解析式为：
⑵ 正比例函数解析式为，一次函数解析式为或.
