围图形
题型切片（四个）
对应题目
题型目标
一元二次方程的概念
例1；例2；演练1；例8
直接开平方法解一元二次方程
例3；例4；演练2；
配方解一元二次方程
例5；例6；演练3；演练4；
因式分解法解一元二次方程
例7；演练5．
定 义
示例剖析
一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．
判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：
⑴整式方程．
⑵方程中只含有一个未知数．
⑶化简后方程中未知数的最高次数是．
⑷二次项的系数不为0
此方程满足：
整式方程；
只含有一个未知数；
的最高次数是2，系数是2
所以这个方程是一个一元二次方程．
一元二次方程的一般式：．
其中为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项．
一元二次方程，
其中．
一元二次方程的根：
如果满足，则就是方程的一个根．
满足，则是方程的一个根．满足，则是方程的另一个根．∴0,1是方程的两个根，表示为
一元二次方程都可化成如下形式：
（）．
1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．
2．一般形式中，、可以是任意实数，而二次项系数，若，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对进行讨论．
3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定、、的值，不要漏掉符号．
4．项及项的系数要区分开．
建议 强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今后学习基本初等函数时也要使用．
1. 判断下列方程是不是一元二次方程．
⑴ （为常数） ⑵ ⑶ ；
⑷ ⑸ ⑹ ；
⑺ （为常数） ⑻ （为常数）．
2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ．
⑴关于的方程，当________时，方程为一元二次方程；当_________时，方程为一元一次方程；
⑵已知是方程的一个根，求代数式的值；
⑶已知是的根，求的值．
定 义
示例剖析
直接开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解．
或
用直接开平方法解关于的方程：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷
解关于x的方程：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ．
定 义
实例剖析
配方法：通过配方把一元二次方程转化成形如的方程，再运用直接开平方的方法求解．
⑴ ⑵
或
总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化”：根据等式的性质把二次项的系数化为；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；
④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解
配方法是一种重要的数学方法，运用配方法解一元二次方程，就是通过配方把方程变成（）的形式，再用直接开平方法求解，当时，方程无实数解．
（1）“将二次项系数化为1”是配方的前提条件，第三步配方是关键也是难点．
（2）配方法是一种重要的数学方法，它不仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数以及到高中学习二次曲线时还会经常用到，应予以重视．避免后续学习二次函数时出错．
用配方法解方程：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ；
⑷ ⑸
用配方法解关于的方程
⑴ （为已知常数）；
⑵ （、、为常数且）
定 义
示例剖析
因式分解法：
因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于，那么这两个因式至少有一个为，即：若，则或；
解方程：
解：
则或
∴或
因式分解法的一般步骤：
将方程化为一元二次方程的一般形式；
把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于；
令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；
⑷ 解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方
程的两个根．
总结：
1．因式分解法把一元二次方程作为两个一元一次方程来求解，体现了一种“降次”的思想．
2．将方程右边变形为0，左边化为的形式．
3．因式分解法是比前两种简单的一种方法，若能用此法优先考虑．
4．便于计算，先把方程整理成一般形式且首项为正号．
注意：1.解方程时，不能两边同时约去含未知数的代数式
2.因式分解法的前提是方程一边等于0，此前提不成立时常得出错误答案
用因式分解法解方程：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷
⑸ ⑹
已知是一元二次方程的根，求的值．
知识模块一 一元二次方程的概念 课后演练
⑴ 已知是一元二次方程的一个解，则的值是___________．
⑵ 若方程有一个根是0，则的值是____________．
⑶ 如果是关于的方程的根，那么关于的方程的根是________________．
⑷ 已知是关于的方程的一个根，则的值是_____________．
⑸ 已知方程有一个根是，则的值是_________________．
知识模块二 直接开平方法解一元二次方程 课后演练
⑴已知一元二次方程的一个根为，且满足等式
，求方程的根．
⑵用直接开平方法解方程：
① ②
知识模块三 配方法解一元二次方程 课后演练
用配方法解方程：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷
用配方法解关于的方程：
知识模块四 因式分解法解一元二次方程 课后演练
选择适当的方法解方程：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ；
⑷ ； ⑸ ； ⑹ ；
围图形
题型切片（四个）
对应题目
题型目标
一元二次方程的概念
例1；例2；演练1；例8
直接开平方法解一元二次方程
例3；例4；演练2；
配方解一元二次方程
例5；例6；演练3；演练4；
因式分解法解一元二次方程
例7；演练5．
本讲内容的思路非常简单，主要学习一元二次方程的概念及三种解法，公式法则放到了下一讲，因为学完公式法就可以和判别式联系在一起学习。这一讲共分为四个模块，模块一主要讲解一元二次方程的基本概念，首先要先会判断一个方程是不是一元二次方程以及一元二次方程的项数组成，所以例1给出了这样的练习，这里面有一些易错点，希望老师给同学们强调到位。接下来例2是针对一元二次方程的概念经常遇到的几种出题的形式，继续加强概念的理解。
下面三个模块就是针对一元二次方程的不同解法进行练习，这些例题中都有不同的题型，
希望通过这部分的练习让同学们见到不同形式的方程，才能达到练一抵百的效果。
定 义
示例剖析
一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．
判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：
⑴整式方程．
⑵方程中只含有一个未知数．
⑶化简后方程中未知数的最高次数是．
⑷二次项的系数不为0
此方程满足：
整式方程；
只含有一个未知数；
的最高次数是2，系数是2
所以这个方程是一个一元二次方程．
一元二次方程的一般式：．
其中为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项．
一元二次方程，
其中．
一元二次方程的根：
如果满足，则就是方程的一个根．
满足，则是方程的一个根．满足，则是方程的另一个根．∴0,1是方程的两个根，表示为
一元二次方程都可化成如下形式：
（）．
1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．
2．一般形式中，、可以是任意实数，而二次项系数，若，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对进行讨论．
3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定、、的值，不要漏掉符号．
4．项及项的系数要区分开．
建议 强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今后学习基本初等函数时也要使用．
1. 判断下列方程是不是一元二次方程．
⑴ （为常数） ⑵ ⑶ ；
⑷ ⑸ ⑹ ；
⑺ （为常数） ⑻ （为常数）．
⑴⑶⑷⑻．易错点：二次项前面的系数不为0，和一次项前面系数及常数项无关；⑵是分式方程；⑸是二元方程；⑹整理后是一元一次方程；⑺当时，是一元一次方程；⑻因为永远成立，所以无论 为何值，方程⑻都是一元二次方程．⑴，⑶，⑷，⑻是一元二次方程．判断一个方程是什么方程，必须化简成最简形式再判断．
2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ．
⑴ ；；⑵ ；；
⑶ ；
⑷ ；
⑴关于的方程，当________时，方程为一元二次方程；当_________时，方程为一元一次方程；
⑵已知是方程的一个根，求代数式的值；
⑶已知是的根，求的值．
⑴；；
易错点：容易忽略当其是一次方程时一次项系数不为零
⑵∵是方程的一个根，∴
．
⑶．结合一元二次方程根的定义，采用整体思想求解
是的根，，
定 义
示例剖析
直接开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解．
或
用直接开平方法解关于的方程：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷
⑴ ；⑵ ；
⑶ 当时，；当时，无实数根．
⑷ 当时，，∴，；
当时，无实数根．
注意：1.方程的两边应同时开方
2.开方后，方程的一边应有正负号，即有相等和互为相反数两种情况。
总结：直接开平方法：形如（）的方程可用直接开平方法解，两边
直接开平方得或，∴，．
1．直接开平方的理论根据是平方根的定义，注意这里的条件．若，
则方程无实数根．
2．在实际问题中，要联系实际情况确定方程的解．
解关于x的方程：
⑴ ；⑵ ；
⑶ ．
⑴ 或，解得，．
⑵ 或，解得．
⑶ 或，解得，．
如果方程能化成或的形式，那么可得或.
定 义
实例剖析
配方法：通过配方把一元二次方程转化成形如的方程，再运用直接开平方的方法求解．
⑴ ⑵
或
总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化”：根据等式的性质把二次项的系数化为；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；
④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解
配方法是一种重要的数学方法，运用配方法解一元二次方程，就是通过配方把方程变成（）的形式，再用直接开平方法求解，当时，方程无实数解．
（1）“将二次项系数化为1”是配方的前提条件，第三步配方是关键也是难点．
（2）配方法是一种重要的数学方法，它不仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数以及到高中学习二次曲线时还会经常用到，应予以重视．避免后续学习二次函数时出错．
用配方法解方程：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ；
⑷ ⑸
⑴，，或，即，．
⑵ ，，即，所以，．
⑶ ，，，
∴．
⑷ ，，，∴．
⑸ 无实根（或无实数根），注意：不能说无解！
【点评】要熟练掌握配方法的一般步骤，四个题都是配方法的思想，区分度在于出现分数和根式的结合．
用配方法解关于的方程
⑴ （为已知常数）；
⑵ （、、为常数且）
⑴；∴当时，
即；当时，原方程无实数根．
⑵ 因为，方程两边同除以，得
移项，得，配方
因为，所以，当时，直接开平方得：，
又因为式子前面已有符号“”，所以无论还是，最终结果总是
即；当时，原方程无实数解．
【点评】由上面研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式：
定 义
示例剖析
因式分解法：
因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于，那么这两个因式至少有一个为，即：若，则或；
解方程：
解：
则或
∴或
因式分解法的一般步骤：
将方程化为一元二次方程的一般形式；
把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于；
令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；
⑷ 解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方
程的两个根．
总结：
1．因式分解法把一元二次方程作为两个一元一次方程来求解，体现了一种“降次”的思想．
2．将方程右边变形为0，左边化为的形式．
3．因式分解法是比前两种简单的一种方法，若能用此法优先考虑．
4．便于计算，先把方程整理成一般形式且首项为正号．
注意：1.解方程时，不能两边同时约去含未知数的代数式
2.因式分解法的前提是方程一边等于0，此前提不成立时常得出错误答案
用因式分解法解方程：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷
⑸ ⑹
⑴ ，∴．
⑵ ，∴．
⑶ ，∴．
⑷ ，，∴．
⑸ ，∴．
⑹ ，，
∴．
已知是一元二次方程的根，求的值．
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴．
【探究对象】此类题型的本质是利用条件得出等式（本题为一元二次方程解的形式），然后求代数式的值，对于学生来说代数式的变形比较困难，需要引导学生根据式子特征进行变形，并总结方法.
【探究目的】让学生更深刻地理解根的定义及加强代数式变形的能力，掌握代数式变形的方法.
【探究方式】探究几种常考的形式，给学生总结相关方法.
结论探究：一、代数式中字母的指数高；二、代数式中有分母；
条件探究：三、方程根的个数变多；四、方程的个数变多.
一、代数式中字母的指数高：
【探究1】已知是一元二次方程的根，求的值.
分析：∵是一元二次方程的根，∴，
∴，∴
【探究2】若是方程的一个根，求的值．
（人大附期末改编）
分析：把根代入得，∴
二、代数式中有分母：
【探究3】已知是一元二次方程的根，求的值.
分析：∵，∴， ．∴
【探究4】已知是一元二次方程的根，求.
分析：，原式
【探究5】设是的解，则的值是 .
分析：已知化为为的解， ，由例题得
三、方程根的个数变多：
【探究6】已知，是方程的两根，求的值.
（清华附期末改编）
分析：∵，是方程的两根
∴，∴
【探究7】设是方程的两个根，那么的值是 .
分析：由已知得，故
四、方程的个数变多：
【探究8】已知关于的两个一元二次方程：
方程①：；方程②：．
若方程①和②有一个公共根，求代数式的值．
（海淀期中）
分析：把代入方程①和②中得
③； ④
③+④得
∴
关于的方程可能是一元二次方程吗？如果可能，求出满足条件的的值；如果不可能，请说明理由．若该方程是关于的一元一次方程，求满足条件的的值．
若该方程是关于的一元二次方程，则，即，
同时，而代入后，，两式矛盾，
∴该方程不可能是一元二次方程．
若该方程是关于的一元一次方程，
则或，
∴、1或
⑴设是方程的两个实数根（），求的值.
⑵设是方程的两根，求的值．
⑴将代入方程，得 ①
② 由①②，且得
∴
⑵由题意，，，
∴原式
解下列关于的方程
；⑵ ；⑶
⑴ ，∴；
⑵ ，∴；
另解：，，∴；
⑶ ，∴，．
解关于的方程．
⑴当，即时，原方程化为，则方程的解为；
⑵当，即时，原方程化为，，
①当时，，∴，
②当时，原方程无实数根．
综上所述，时，方程无实数根；且时，；时，．
知识模块一 一元二次方程的概念 课后演练
⑴ 已知是一元二次方程的一个解，则的值是___________．
⑵ 若方程有一个根是0，则的值是____________．
⑶ 如果是关于的方程的根，那么关于的方程的根是________________．
⑷ 已知是关于的方程的一个根，则的值是_____________．
⑸ 已知方程有一个根是，则的值是_________________．
⑴； ⑵ 0或1； ⑶ ⑷ 15
⑸ 将代入方程中得 ，∵ ，∴
∴
知识模块二 直接开平方法解一元二次方程 课后演练
⑴已知一元二次方程的一个根为，且满足等式
，求方程的根．
⑵用直接开平方法解方程：
① ②
【解析】⑴由题意可知，，∴，
∴，∴．
⑵ ①
②当时，；
当时，；
当时，方程无实数根.
知识模块三 配方法解一元二次方程 课后演练
用配方法解方程：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷
【解析】⑴ ，∴．
⑵ ，∴．
⑶ ，，∴．
⑷ ，，∴．
用配方法解关于的方程： （四中期中）
【解析】 配方得
当时，；
当时，；
当时，方程无实数根.
知识模块四 因式分解法解一元二次方程 课后演练
选择适当的方法解方程：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ；
⑷ ； ⑸ ； ⑹ ；
【解析】⑴ ； ⑵ ； ⑶ ；
⑷ ； ⑸ ； ⑹ ．
