/
判断风波
/
/
题型切片（两个）
对应题目
题型目标
公式法解一元二次方程
例1；例2；演练1；演练2；
一元二次方程的判别式
例3；例4；演练3；例5；例6；演练4；演练5；
例7；例8．
/
定 义
示例剖析
公式法的一般步骤：
①把一元二次方程化为一般式；
②确定的值；
③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；
④若，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．
（先计算减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）
解方程：
解：
∴
用公式法解方程：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ；
⑸ ； ⑹
⑺
我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请选择你认为适当的方法解这个方程． ①x2－3x+1=0；???? ②(x－1)2=3；????
③x2－3x=0；???? ④x2－2x=4．
定 义
示例剖析
设一元二次方程为，其根的判别式为：，则
①方程有两个不相等的实数根．
②方程有两个相等的实数根．
③方程没有实数根．
解方程：
解：，
所以原方程无实数根．
不解方程，直接判断下列方程的解的情况：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹ （为常数）
⑴已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ；
⑵若关于的方程有实根，则的取值范围为__________.
⑴ 已知为的三边，请判断关于的方程根的
情况．
⑵ 已知是的三边，且方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．
已知关于的方程
⑴ 求证：无论为何值，方程总有实根；
⑵ 若等腰一边，另两边恰好是此方程的两根，求的周长．
若关于的方程有实根，求的取值范围．
已知关于x的一元二次方程
⑴求证：此方程总有两个实数根；
⑵若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；
⑶若此方程的两个实数根分别为x1、x2，
求代数式的值．
/
知识模块一 公式法解一元二次方程 课后演练
选择适当的方法解方程：
⑴ ； ⑵ ； ⑶．
若关于的一元二次方程有一个根是0，则________，另一个根是________．
知识模块二 一元二次方程根的判别式 课后演练
如果关于的一元二次方程有两个相等的实根，那么以正数
为边长的三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形
已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式
的值．
设为一个的三条边长，方程有两个相等的实数根，且 满足．
⑴求证：是等腰三角形；⑵求的值．
/
判断风波
/
/
题型切片（两个）
对应题目
题型目标
公式法解一元二次方程
例1；例2；演练1；演练2；
一元二次方程的判别式
例3；例4；演练3；例5；例6；演练4；演练5；
例7；例8．
本讲内容的思路把公式法和判别式放在一起，目的是让学生认识到这部分知识的联系，能快速掌握判别式和求根公式。接下来例题首先要训练用公式法解方程，还补充了一些题目，同学们要自己判断用那种方法简单，训练学生学到知识的同时还要灵活运用，因为中考所有题不可能指出来每道题的方法，同学们要自己判断。接下来的例题中针对不同的题型进行练习，探究总结了判别式的用法，基本上包含了所有的出题类型。
本讲的最后一部分是2013年海淀区的期中统考原题，此题不仅练习到判别式的用法，用因式分解法解含参方程以及灵活理解方程的根的知识点进行代入求解代数式，综合性较强，希望老师进行详细讲解．
/
定 义
示例剖析
公式法的一般步骤：
①把一元二次方程化为一般式；
②确定的值；
③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；
④若，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．
（先计算减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）
解方程：
解：
∴
用公式法解方程：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ；
⑸； ⑹ ⑺
⑴ ，，
∴．
⑵ ，，
∴．
⑶ ，，
∴，．
⑷ ，，
∴
⑸，无实根
⑹，无实根
⑺，无实根
我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请选择你认为适当的方法解这个方程． ①x2－3x+1=0；????②(x－1)2=3；????③x2－3x=0；?????④x2－2x=4．
①适合公式法， x2－3x+1=0，∵a=1，b=－3，c=1，∴b2－4ac=9－4=5＞0，
∴x1=，
②适合直接开平方法，(x－1)2=3，x－1=±，，
③适合因式分解法，x2-3x=0，因式分解得：x(x-3)=0，解得：x1=0，x2=3；
④适合配方法，x2－2x=4，x2－2x+1=4+1=5，即(x－1)2=5，开方得：x－1=±，
，
定 义
示例剖析
设一元二次方程为，其根的判别式为：，则
①方程有两个不相等的实数根．
②方程有两个相等的实数根．
③方程没有实数根．
解方程：
解：，
所以原方程无实数根．
不解方程，直接判断下列方程的解的情况：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸ ⑹ （为常数）
⑴ ，有两个不等实根
⑵ 强调先将方程化为一般形式，再运用，，有两个相等实根
⑶ ，无实根
⑷ ，有两个不等实根，当中存在带根号题目时学生化简易出错
⑸ ，有两个相等实根
⑹ ，方程有两个不等实根，化简结果出现参数，学生难点在判断其与
0的关系．
⑴已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ；
⑵若关于的方程有实根，则的取值范围为__________.
⑴且，易错点：二次项系数不为零
⑵，易错点：二次项系数可以为零
⑴ 已知为的三边，请判断关于的方程根的
情况．
⑵ 已知是的三边，且方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．
⑴ ∵ ∴方程为一元二次方程
∵
∴
∴，∴方程无实根.
⑵
∵方程有两个相等实根，
∴，即
∴，即
∴为等边三角形
【探究对象】学生一般会求出根的判别式，但不会比较其与0的大小关系，故引导学生探索
如何确定一元二次方程根的判别式的符号.
【探究目的】以条件变化，促使题目难度与层次差异化，从而引导学生分析理解题目条件的差异性，并总结解题方法.
【探究方式】采用增加试题层次探究，所谓增加问题层次的探究，就是抓住一个问题的条件，引导学生运用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而帮助学生发现问题的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的学习目的.
【探究1】根的判别式为常数24.
通过根的判别式确定关于的一元二次方程的根的情况.
分析：，方程有两个不相等的实数根.
【探究2】根的判别式为.
通过根的判别式确定关于的一元二次方程的根的情况.
分析：，方程有两个不相等的实数根.
【探究3】根的判别式为.
通过根的判别式确定关于的一元二次方程的根的情况.
分析：，
∴方程有两个不相等的实数根.
【探究4】根的判别式为.
若满足不等式，试讨论关于的方程的根的情况．
分析：，
∵，∴，方程有两个不相等的实数根.
【探究5】根的判别式为.
已知是的三边，判断方程的根的情况.
分析：
∵分别是三角形的三边，
∴
∴
∴，方程无实数根.
【探究6】根的判别式为.
已知为直角三角形的直角边，为斜边，请判断关于的一元二次方程根的情况．
分析：
直角三角形满足勾股定理
∴
∴方程有两个不相等的实数根.
【探究7】根的判别式什么时候需要分类讨论.
已知，判断关于的一元二次方程的根的情况.
分析：①当时，，，从而，，
，即
②当时，由，，得，
③当时，由，得，.
综上可知，方程总有两个不等实根.
注：其中探究6和探究7海淀统考中涉及过.
已知关于的方程
⑴ 求证：无论为何值，方程总有实根；
⑵ 若等腰一边，另两边恰好是此方程的两根，求的周长．
⑴
∴无论为何值，方程总有实根.
⑵ 当为底，为腰时，
∴方程有两个相等的实根
∴，即，
此时方程为，解得：
∴的周长为
当为腰，则方程有一根为3
将代入方程，得，方程为
解得，
∴的周长为，
综上所述，的周长为7或8．
若关于的方程有实根，求的取值范围．
当时，，解得，有实根，∴
当时，方程为一元二次方程，，∴且
综上，若方程有实根，
若方程最高次项的系数含参，一定要先根据题意判断方程的类型，若不能判断，则要分类讨论，并且只有当确定原方程为一元二次方程的时候，才能去研究根的判别式.
已知关于x的一元二次方程
⑴求证：此方程总有两个实数根；
⑵若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；
⑶若此方程的两个实数根分别为x1、x2，
求代数式的值．
（2013海淀期中）
⑴，∵，∴，故此方程总有两个实数根；
⑵方程可用因式分解法求解为：，故，
∴
⑶法一：降次法
由题意知：,代入所求式得：
法二：整体代入法
【分析】降次法学生们掌握得较为熟练，整体代入稍显难观察出来，两种方法都不错，本质上是一样的．
解下列关于的方程
；⑵ ；⑶
⑴ ，∴；
⑵ ，∴；
另解：，，∴；
⑶ ，∴，．
先思考下列方程适合用哪种方法解，再选择合适的方法解下列方程
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷
⑴ ； ⑵；
⑶； ⑷．
已知关于的方程①有两个不相等的实数根．
⑴ 求的取值范围；
⑵ 若为整数，且，是方程①的一个根，求代数式的值．
（海淀期中）
⑴ ∵ 方程有两个不等实根，
∴ 方程为一元二次方程，∴ ，即 且
又，
∴ 且
⑵ 依题意得，方程为
∵是方程的一个根，∴
即 ，
∴
已知：的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边长为5．
⑴ 为何值时，是以为斜边的直角三角形？
⑵ 为何值时，是等腰三角形？并求的周长．
解法一：
⑴
，
当时，是以为斜边的直角三角形．
即
，
当时，，
∴
∴
∴当时，是以为斜边的直角三角形
⑵ ∵
∴
∴当或时，为等腰三角形
若，则，，三角形三边长为5，5，6，周长为16；
若，则，，三角形三边长为4，5，5，周长为14．
∴当或时，为等腰三角形，周长分别为14或者16．
解法二（涉及根与系数的关系，老师可作参考）：
⑴ ∵、是方程的两个根，
∴，，
又∵是以为斜边的直角三角形且，
∴
∴．
即：，
解之得，或2．
当时，方程为，解之得，，（不合题意舍去．）
当时，方程为，解之得，，，
∴当时，是以为斜边的直角三角形．
⑵ 是等腰三角形，则有①，②，③三种情况．
∵，
∴，故第①种情况不成立．
∴当②或③时，5是方程的根．
∴即．
∴或．
当时，，∴，，
∴等腰的三边长为5，5，4，周长为14；
当时，，∴，，
∴等腰的三边长为5，5，6，周长为16．
∴当或时，为等腰三角形，周长为14或16．
/
知识模块一 公式法解一元二次方程 课后演练
选择适当的方法解方程：
⑴ ； ⑵ ； ⑶．
⑴ ； ⑵ ； ⑶，．
若关于的一元二次方程有一个根是0，则________，另一个根是________．
，1
知识模块二 一元二次方程根的判别式 课后演练
如果关于的一元二次方程有两个相等的实根，那么以正数
为边长的三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形
将方程化成一般形式：
∵，方程有两个相等实根，∴
即，∴为直角三角形，选C.
已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式
的值.
（海淀期中）
由已知，一元二次方程的判别式为0.
即 .
所以有.
代入，得
.
设为一个的三条边长，方程有两个相等的实数根，且 满足．
⑴求证：是等腰三角形；⑵求的值．
⑴根据题意，有
∴
∵ 都是正数，∴
∴ ∴是等腰三角形
⑵∵
∴
∴
