第一课时 柱体、锥体、台体的表面积
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.
3．情感、态度与价值观
通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.
（二）教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.
难点：展开图与空间几何体的转化.
（三）教学方法
学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
新课导入 问题：现有一棱长为1的正方体盒子AC′，一只蚂蚁从A点出发经侧面到达A′点，问这只蚂蚁走边的最短路程是多少？ 学生先思考讨论，然后回答.学生：将正方体沿AA′展开得到一个由四个小正方形组成的大矩形如图则即所求.师：(肯定后)这个题考查的是正方体展开图的应用，这节课，我们围绕几何体的展开图讨论几何体的表面积. 情境生动，激发热情教师顺势带出主题.
探索新知 1．空间多面体的展开图与表面积的计算.（1）探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.（2）已知棱长为a，各面均为等边三角形S – ABC (图1.3—2)，求它的表面积.解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交B于D，因为BC = a，∴.∴四面体S – ABC的表面积. 师：在初中，我们已知学习了正方体和长方体的表面积以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？生：相等.师：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积.生：多面体的表面积就是各个面的面积之和，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.师：（肯定）棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的体积？……生：它的表面积都等于表面积与侧面积之和.师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它们的展开图，并肯定学生说法.师：下面让我们体会简单多面体的表面积的计算.师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.生：由于四面体S – ABC的四个面都全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面积的4倍.学生分析，教师板书解答过程. 让学生经历几何体展开过程感知几何体的形状. 推而广之，培养探索意识会
探索新知 2．圆柱、圆锥、圆台的表面积（1）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导S圆柱 = 2r (r + 1)S圆锥 = r (r + 1)S圆台 = (r12 + r2 + r1l + rl )（2）讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系（3）例题分析例2 如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图所示，由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积≈1000(cm2) = 0.1(m2). 涂100个花盆需油漆：0.1×100×100 =1000(毫升). 答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆. 师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？ 生：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形. 师：如果它们的底面半径均是r，母线长均为l，则它们的表面积是多少？ 师：打出投影片（教材图1.3.3和图1.3—4）生1：圆柱的底面积为，侧面面积为，因此，圆柱的表面积： 生2：圆锥的底面积为，侧面积为，因此，圆锥的表面积： 师：(肯定)圆台的侧面展开图是一个扇环，如果它的上、下底面半径分别为r、r′，母线长为l，则它的侧面面积类似于梯形的面积计算S侧 = 所以它的表面积为现在请大家研究这三个表面积公式的关系. 学生讨论，教师给予适当引导最后学生归纳结论. 师：下面我们共同解决一个实际问题. （师放投影片，并读题） 师：本题只要求出花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量，你会怎样用它的表面积. 生：花盆的表积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.(学生分析、教师板书) 让学生自己推导公式，加深学生对公式的认识.用联系的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题.
随堂练习 1．练习圆锥的表面积为a cm2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.2．如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）形，上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）形. 电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问电镀10 000个零件需锌多少千克（结果精确到0.01kg）答案：1． m； 2．1.74千克. 学生独立完成
归纳总结 1．柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.2．柱体、锥体、台体表面积公式的关系. 学生总结，老师补充、完善
作业 1.3 第一课时 习案 学生独立完成 固化知识提升能力
备用例题
例1 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积.
【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.
【解析】如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即BD = c，AC = d，则
由（1）得，由（2）得，代入（3）得，
∴，∴.
∴S侧 =.
例2 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积.
【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm.
由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为mm.
设底面边长为a，则，∴a = 4.
∴正三棱柱的表面积为
S = S侧 + 2S底 = 3×4×2 + 2×
(mm2).
例3 有一根长为10cm，底面半径是0.5cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01cm）
【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.
由题意知，BC=10cm，AB = 2cm，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.
∴AC =(cm).
所以，铁丝的最短长度约为27.05cm.
【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.
例4．粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是80mm和440mm，高是200mm. 计算制造这一下料斗所需铁板是多少？
【分析】 问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.
【解析】如图所示，O、O1是两底面积的中心，则OO1是高，设EE1是斜高，在直角梯形OO1E1E中，
EE1=
=
∵边数n = 4，两底边长a = 440，a′= 80，斜高h′=269.
∴S正棱台侧 = = （mm2）
答：制造这一下料斗约需铁板2.8×105mm2.
A′
D′
C′
B
C
A
B′
D
A′
A
S圆台=(r12+r2+rl+r′l)
S圆柱=2r(r+l)
S圆锥=r(r+l)
r = 0
r = 1
图4—3—2
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第二课时 柱体、锥体、台体的体积
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）
（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.
（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.
3．情感、态度与价值观
通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.
（二）教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的体积计算.
难点：简单组合体的体积计算.
（三）教学方法
讲练结合
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
新课导入 1．复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系. 教师设问，学生回忆师：今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量：体积. 复习巩固点出主题
探索新知 柱体、锥体、台体的体积1．柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体 = Sh (S是底面积，h为柱体高)V锥体 =(S是底面积，h为锥体高)V台体 =(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高) 2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 师：我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？生：V = Sh (S为底面面积，h为高)师：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积. 公式：V = Sh (S为底面面积，h为高)师：锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出). 锥体的体积公式都是V = (S为底面面积，h为高)师：现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论.生：锥体体积同底等高的柱体体积的.师：台体的结构特征是什么？生：台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体，截得两平行平面间的部分.师：台体的体积大家可以怎样求？生：台体的体积应该等于两个锥体体积的差.师：利用这个原理我们可以得到台体的体积公式V =其中S′、S分别为上、下底面面积，Q为台体的高(即两底面之间的距离)师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？生：令S′=0，得到锥体体积公式.令S′=S，得到柱体体积公式. 柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解，故采用讲授式效率会更高. 因台体的体积公式的推导需要用到后面知识，故此处不予证明，只要学生了解公式及公式的推导思路. 培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握.
典例分析 例1 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12cm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14，可用计算器)？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即≈2956 (mm3) = 2.956(cm3) 所以螺帽的个数为 5.8×1000÷(7.8×2.956)≈ 252(个) 答：这堆螺帽大约有252个. 师：六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么？你准备怎样计算它的体积？生：六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.学生分析，教师板书过程.师：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等. 空间组合体的体积计算关键在于弄清它的结构特征.
典例分析 例2 已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积.【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r，则高h = 2r，∵S = S侧 + 2S底 = 2 +，∴. ∴内接正四棱柱的底面边长a=2r sin45°=. ∴V = S底·h = = 4·， 即圆柱的内接正四棱柱的体积为. 教师投影例2并读题师：要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考，要求内接正四棱柱的体积，只需求出等边圆柱的底面圆半径r，根据已知条件可以用S表示它.大家想想，这个轴截面最好选择什么位置.生：取内接正四棱柱的对角面.师：有什么好处？ 生：这个截面即包括圆柱的有关量，也包括正四棱柱的有关量. 学生分析，教师板书过程. 师：本题是正四棱柱与圆柱的相接问题. 解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化. 旋转体类组合体体积计算关键在于找好截面，找到这个截面，就能迅速搭好已知和未知的桥梁.
随堂练习 1．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积.答案：2325 cm2.2．正方体中，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几？答案：. 学生独立完成 培养学生理解能力，空间想象能力.
归纳总结 1．柱体、锥体、台体的体积公式及关系.2．简单组合体体积的计算.3．等积变换 学生归纳，教师补充完善. 巩固所学，提高自我整合知识能力.
课后作业 1.3 第二课时 习案 学生独立完成 固化知识提升能力
备用例题
例1：三棱柱ABC – A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2 = 7:5 .
【分析】不妨设V1对应的几何体AEF – A1B1C1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的；V2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1来表示.
【解析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V = V1 + V2 = Sh.
∵E、F分别为AB、AC的中点
∴.
∴V1:V2 = 7:5.
【评析】本题求不规则的几何体C1B1—EBCF的体积时，是通过计算棱柱ABC—A1B1C1和棱台AEF—A1B1C1的体积的差来求得的.
例2：一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(=3.14)
【解析】因为圆锥形铅锤的体积为
(cm3)
设水面下降的高底为x，则小圆柱的体积为(20÷2)2x = 100x (cm3)
所以有60=100x，解此方程得x = 0.6 (cm).
答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.
S = S′
S = 0
V柱体 = Sh
V锥体=
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第三课时 球的表面积与体积
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.
（2）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.
3．情感、态度与价值
让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：球的表面积与体积的计算
难点：简单组合体的体积计算
（三）教学方法
讲练结合
教学过程 教学内容 师生互动 设计意图
新课引入 复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题. 师生共同复习，教师点出点题（板书） 复习巩固
探索新知 1．球的体积：2．球的表面积： 师：设球的半径为R，那么它的体积：，它的面积现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.师 (肯定) ：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用. 加强对公式的认识培养学生理解能力
典例分析 例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.因为，，所以，.（2）因为，，所以，S球 = S圆柱侧.例2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（ ）A．6:13 B．5:14C．3:4 D．7:15【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1 + r2.∵∠AOB = 90°，OE⊥AB (E为切点)，∴R2 = OE2 = AE·BE = r1·r2.由已知S球∶S圆台侧= 4R2∶(r1+r2)2 = 3∶4(r1 + r2)2 =V球∶V圆台 ==故选A.例3 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA = PB = PC = a，求这个球的体积.解：∵PA、PB、PC两两垂直，PA = PB = PC = a.∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.又∵P、A、B、C四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球 ，正方体的对角线是球的直径.∴.∴ 教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径） 教师投影例2并读题，师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征. 生：球内切于圆台. 师：你准备怎样研究这个组合体？ 生：画出球和圆台的轴截面. 师：圆台的高与球的哪一个量相等？ 生：球的直径.师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？ 生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系. 师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决. 教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P – ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线. 本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力. 通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力. 本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.
随堂练习 1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积. （3）一个球的体积是100 cm2，试计算它的表面积(取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器). 参考答案： 1．（1）8倍；（2）（3）104. 学生独立完成 巩固所学知识
归纳总结 1．球的体积和表面积2．等积变换 3．轴截面的应用 学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善 归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.
课后作业 1.3 第三课时 习案 学生独立完成 固化练习提升能力
备用例题
例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积．
【分析】 可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面．
【解析】 如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA = OB = OC = R，则O1是△ABC的外心．
设M是AB的中点，由于AC = BC，则O1∈CM．
设O1M = x，易知O1M⊥AB，则O1A = ，O1C = CM – O1M = – x
又O1A = O1C
∴ ．解得
则O1A = O1B = O1C = ．
在Rt△OO1A中，O1O = ，∠OO1A = 90°，OA = R，
由勾股定理得．解得．
故．
例2．如图所示棱锥P – ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD = a，PA = PC =，且PD是四棱锥的高．
（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；
（2）求四棱锥外接球的半径．
【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解．（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可．球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上．
【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．
，
，
，
S□ABCD = a2．
VP – ABCD = VS – PDA + VS – PDC + V S – ABCD + VS – PAB + Vs – PBC ，
，
，
所以，，
即球的最大半径为．
（2）法一：设PB的中点为F．
因为在Rt△PDB中，FP = FB = FD，
在Rt△PAB中，FA = FP = FB，
在Rt△PBC中，FP = FB = FC，
所以FP = FB = FA = FC = FD．
所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径．
法二：球心O在如图EF上，设OE = x，EA = ，
又
即球心O在PB中点F上．
【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法．
图4—3—9
B
A
C
D
P
F
图4—3—10
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