第一课时 平 面
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图
（3）掌握平面的基本性质及作用；
（4）培养学生的空间想象能力.
2．过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；
（2）让学生归纳整理本节所学知识.
3．情感、态度与价值观
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.
难点：平面基本性质的掌握与运用.
（三）教学方法
师生共同讨论法
教学过程 教学内容 师生互动 设计意图
新课导入 日常生活中有哪些东西给我们以平面的形象？ 师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面，平静的湖面等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多的例子吗？引导学生观察、思考、举例和相交交流，教师对学生活动给予评价，点出主题. 培养学生感性认识
探索新知 1．平面的概念随堂练习 判定下列命题是否正确：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽是20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念. 师：刚才大家所讲的一些物体都给我们以平面的印象，几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是向四周无限伸展的，现在请大家判定下列命题是否正确？生：平面是没有厚度，无限延展的；所以①②③错误；④正确. 加深学生对平面概念的理解.
探索新知 2．平面的画法及表示（1）平面的画法通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住. 我们常把被遮挡的部分用垂线画出来.（2）平面的表示法1：平面，平面.法2：平面ABCD，平面AC或平面BD.（3）点与平面的关系平面内有无数个点，平面可看成点的集合. 点A在平面内，记作：A. 点B在平面外，记作：B. 师：在平面几何中，怎样画直线？(一学生上黑板画)师：这位同学画的实质上是直线的部分，通过想象两端无限延伸而认为是一条直线，仿照直线的画法，我们可以怎样画一个平面？生：画出平面的一部分，加以想象，四周无限延展，来表示平面.师：大家画一下.学生动手画平面，将有代表性的画在黑板上，教师给予点评，并指出一般画法及注意事项(作图) 加深学生对平面概念的理解，培养学生知识迁移能力，空间想象能力和发散思想能力.
探索新知 3．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（1）公理1的图形如图（2）符号表示为：（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.（1）公理2的图形如图（2）符号表示为：C 直线AB 存在惟一的平面，使得注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC” 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：（3）公理3作用：判断两个平面是否相交. 师：我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据. 先研究下列问题：将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内.生：当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内.师：这处结论就是我们要讨论的公理1（板书） 师：从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集. 直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P l；如果直线l上所有的点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l，记作l，否则就说直线l在平面外，记作.下面请同学们用符号表示公理1. 学生板书，教师点评并完善. 大家回忆一下几点可以确定一条直线 生：两点可确定一条直线. 师：那么几点可以确定上个平面呢？学生思考，讨论然后回答. 生1：三点可确定一个平面 师：不需要附加条件吗？ 生2：还需要三点不共线 师：这个结论就是我们要讨论的公理2 师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项. 师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？它们有什么特点. 生：这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上. 师：我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3. 通过实验，培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆. 加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力. 学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨性.
典例分析 例1 如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来. 解：在（1）中，，，. 在（2）中，，，，，. 学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评 巩固所学知识
随堂练习 1．下列命题正确的是（ ）A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？ （2）共点的三条直线可以确定几个平面？ 3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. （1）平面与平面相交，它们只有有限个公共点. （ ） （2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. （ ） （3）经过两条相交直线，有且只有一个平面. （ ） （4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. （ ） 4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A在平面内，但点B在平面外；（2）直线a经过平面外的一点M； （3）直线a既在平面内，又在平面内. 学生独立完成答案： 1．D 2．（1）不共面的四点可确定4个平面. （2）共点的三条直线可确定一个或3个平面. 3．（1）×（2）√（3）√（4）√4．（1）A，B. （2）M，M. （3）a，a. 巩固所学知识
归纳总结 1．平面的概念，画法及表示方法.2．平面的性质及其作用 3．符号表示 4．注意事项 学生归纳、总结教学、补充完善. 回顾、反思、归纳知识，提升自我整合知识的能力，培养思维严谨性固化知识，提升能力.
课后作业 2.1第一课时 习案 学生独立完成
备选例题
例1 已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．
证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，
但Ad，如图1．∴直线d和A确定一个平面α．
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，
则A，E，F，G∈α．
∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．
同理可证bα，cα．
∴a，b，c，d在同一平面α内．
2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．
设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．
又 H，K∈c，∴c,则cα．
同理可证dα．
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．
例2 正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M共线.
分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可.
解答：如图所示A1A∥C1C确定平面A1C
A1C平面A1C
又O∈A1C
平面BC1D∩直线A1C = O
O∈平面BC1D
O在平面A1C与平面BC1D的交线上.
AC∩BD = MM∈平面BC1D
且M∈平面A1C
平面BC1D∩平面A1C = C1M
O∈C1M，即O、C1、M三点共线.
评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.
α
b
a
d
c
G
F
E
A
a
b
c
d
α
H
K
图1
图2
M
O
B1
C1
D1
A1
D
C
B
A
O∈平面A1C
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第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角公理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法
让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.
难点：异面直线所成角的计算.
（三）教学方法
师生的共同讨论与讲授法相结合；
教学过程 教学内容 师生互动 设计意图
新课导入 问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？ 师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系. 以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.
探索新知 1．空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点②平行直线—在同一平面内，没有公共点.③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.
随堂练习：如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对.答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG. 现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内” 培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解
（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且.同理FG∥BD，且.因为EH∥FG，且EH = FG，所以 四边形EFGH为平行四边形. 师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师（肯定）下面我们来看一个例子观察图，在长方体ABCD – A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC 与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC = ∠A′D′C′，∠ADC + ∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路. 培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解题能力.
探索新知 3．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).（2）异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b. 例3 如图，已知正方体ABCD – A′B′C′D′. （1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？ （3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？ 解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线. （2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°. （3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；②两条异面直线所成的角； ③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上； ④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角； ⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b； ⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题 加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.
随堂练习 1．填空题：（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有 条.（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ .答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.2．如图，已知长方体ABCD – A′B′C′D′中，AB =，AD =，AA′ =2.（1）BC和A′C′所成的角是多少度？ （2）AA′ 和BC′ 所成的角是多少度？ 学生独立完成答案：. 2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′ = 45°.（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′ 和BB′ 所成的角. 在Rt△BB′C′中，B′C′ = AD =，BB′= AA′=2， 所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
归纳总结 1．空间中两条直线的位置关系.2．平行公理及等角定理. 3．异面直线所成的角. 学生归纳，教师点评并完善 培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.
作业 2.1 第二课时 习案 学生独立完成 固化知识 提升能力
附加例题
例1 “a、b为异面直线”是指：
①a∩b =，且a∥b；
②a面，b面，且a∩b =；
③a面，b面，且∩=；
④a面，b面；
⑤不存在面，使a面，b面成立.
上述结论中，正确的是（ ）
A．①④⑤正确 B．①③④正确
C．仅②④正确 D．仅①⑤正确
【解析】 ①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D
例2 如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有 条.
【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线
a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有
∠A′PO =∠B′PO = 25°.
∵∠APA′＞A′PO，
∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条.
例3 空间四边形ABCD，已知AD =1，BD =，且AD⊥BC，对角线BD =，AC =，求AC和BD所成的角。
【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.
则 MG
EM
∵AD⊥BC ∴EM⊥MG
在R t△EMG中，有
在RFG中，∵EF =
∴EF 2 +FG 2 = EG 2
∴EF⊥FG，即AC⊥BD
∴AC和BD所成角为90°.
【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是.
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点
a
b
A
a′
b′
O
P
A′
B′
∥
＝
∥
＝
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第三课时 空间中直线与平面、
平面与平面之间的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（2）了解空间中平面与平面的位置关系；
（3）培养学生的空间想象能力.
2．过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.
（二）教学重点、难点
重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.
难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.
（三）教学方法
借助实物，让学生观察事物、思考等，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.
教学过程 教学内容 师生互动 设计意图
新课导入 问题1：空间中直线和直线有几种位置关系？问题2：一支笔所在的直线和一个作业本所在平面有几种位置关系？ 生1：平行、相交、异面生2：有三种位置关系：（1）直线在平面内（2）直线与平面相交（3）直线与平面平行师肯定并板书，点出主题. 复习回顾，探索求真，激发学习兴趣.
探索新知 1．直线与平面的位置关系.（1）直线在平面内——有无数个公共点.（2）直线与平面相交——有且仅有一个公共点.（3）直线在平面平行——没有公共点.其中直线与平面相交或平行的情况，统称为直线在平面外，记作a.直线a在面内的符号语言是a.图形语言是：直线a与面相交的a∩= A.图形语言是符号语言是：直线a与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是： 师：有谁能讲出这三种位置有什么特点吗？生：直线在平面内时二者有无数个公共点.直线与平面相交时，二者有且仅有一个公共点.直线与平面平行时，三者没有公共点（师板书）师：我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为直线在平面外.师：直线与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样的？谁来画图表示一个和书写一下.学生上台画图表示.师；好.应该注意：画直线在平面内时，要把直线画在表示平面的平行四边形内；画直线在平面外时，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外. 加强对知识的理解培养，自觉钻研的学习习惯.数形结合，加深理解.
探索新知 2．平面与平面的位置关系（1）问题1：拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？（2）问题2：如图所示，围成长方体ABCD – A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？（2）平面与平面的位置关系平面与平面平行——没有公共点.平面与平面相交——有且只有一条公共直线.平面与平面平行的符号语言是∥.图形语言是： 师：下面请同学们思考以下两个问题（投影）生：平行、相交. 师：它们有什么特点？ 生：两个平面平行时二者没有公共点，两个平面相交时，二者有且仅有一条公共直线（师板书） 师：下面请同学们用图形和符号把平面和平面的位置关系表示出来…… 师：下面我们来看几个例子（投影例1） 通过类比探索，培养学生知识迁移能力. 加强知识的系统性.
典例分析 例1 下列命题中正确的个数是（ B ）①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥. ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 例2 已知平面∥，直线a，求证a∥.证明：假设a∥，则a在内或a与相交. ∴a与有公共点. 又a.∴a与有公共点，与面∥面矛盾.∴∥. 学生先独立完成，然后讨论、共同研究，得出答案.教师利用投影仪给出示范.师解：如图，我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD，所以命题③不正确；l与平面平行，则l与无公共点，l与平面内所有直线都没有公共点，所以命题④正确，应选B. 师投影例2，并读题，先学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解. 例1 教师通过示范传授学生一个通过模型来研究问题的方法，同时加深对概念的理解.例2目标训练学生思维的灵活，并加深对面面平行、线面平行的理解.
随堂练习 1．如图，试根据下列条要求，把被遮挡的部分改为虚线：（1）AB没有被平面遮挡； （2）AB被平面遮挡.答案：略2．已知，，直线a，b，且∥，a，a，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？答案：平行或异面3．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.答案：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.4．空间的三个平面的位置关系有几种情形？请画图表示所有情形.答案：5种 图略 学生独立完成 培养识图能力，探索意识和思维的严谨性.
归纳总结 1．直线与平面、平面与平面的位置关系.2．“正难到反”数学思想与反证法解题步骤. 3．“分类讨论”数学思想 学生归纳总结、教师给予点拨、完善并板书. 培养学生归纳整合知识能力，培养学生思维的灵活性与严谨性.
作业 2.1 第一课时 习案 学生独立完成 固化知识提升能力
备用例题
例1 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．任意一条直线都不相交
D．无数条直线都不相交
【解析】直线与平面平行，那么直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.
例2 “平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“”的（ ）.
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．即不充分也不必要条件
【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选B.
例3 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内.
已知：l∥，点P∈，P∈m，m∥l
求证：.
证明：设l与P确定的平面为，且= m′，则l∥m′.
又知l∥m，，
由平行公理可知，m与m′重合.
所以.
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