第一课时 直线与平面垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.
2．过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法.
3．情态、态度与价值观
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.
（二）教学重点、难点
重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理；
（2）直线和平面所成的角.
难点：直线与平面垂直判定定理的探究.
教学过程 教学内容 师生互动 设计意图
新课导入 问题：直线和平面平行的判定方法有几种？ 师投影问题，学生回答.生：可用定义可判断，也可依判定定理判断. 复习巩固
探索新知 一、直线和平面垂直的定义、画法如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表不平面的平行四边形的一边垂直，如图. 师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面，桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？生：旗杆与地面内任意一条经B的直线垂直.师：那么旗杆所在直线与平面内不经过B点的直线位置关系如何，依据是什么？（图）生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.师：你能尝试给线面垂直下定义吗？……师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明. 培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.
探索新知 二、直线和平面垂直的判定1．试验 如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线？ 师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）.学生动手实验，然后回答问题.生：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直.师：此时AD垂直上的一条直线还是两条直线？生：AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.师：怎么证明？生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD……师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想. 培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.
典例剖析 例1 如图，已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.证明：在平面内作两条相交直线m、n.因为直线a⊥，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n.又因为，m、n是两条相交直线，b⊥. 师：要证b⊥，需证b与内任意一条直线的垂直，又a∥b，问题转化为a与面内任意直线m垂直，这个结论显然成立.学生依图及分析写出证明过程.……师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直. 巩固所知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.
探索新知 二、直线和平面所成的角如图，一条直线PA和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角. 教师借助多媒体直接讲授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的. 借助多媒体讲授，提高上课效率.
典例剖析 例2 如图，在正方体ABCD – A1B1C1D1中，求A?1B和平面A1B1CD所成的角. 分析：找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角. 解：连结BC1交B1C于点O，连结A1O. 设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1， A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.所以A1B1⊥BC1. 又因为BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD. 所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角. 在Rt△A1BO中，，， 所以， ∠BA1O = 30° 因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°. 师：此题A1是斜足，要求直线A1B与平面A1B1CD所成的角，关键在于过B点作出（找到，面A1B1CD的垂线，作出（找到）了面A1B1CD的垂线，直线A1B在平面A1B1CD内的射影就知道了，怎样过B作平面A1B1CD的垂线呢？生：连结BC1即可. 师：能证明吗？ 学生分析，教师板书，共同完成求解过程. 点拔关键点，突破难点，示范书写及解题步骤.
随堂练习 1．如图，在三棱锥V–ABC中，VA = VC，AB = BC，求证：VB⊥AC.2．过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥，垂足为O，连接PA?，PB，PC.（1）若PA= PB = PC，∠C =90°，则点O是AB边的 心.（2）若PA = PB =PC，则点O是△ABC的 心.（3）若P A⊥PB，PB⊥PC，PB⊥P A，则点O是△ABC的 . 心.3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？ 4．如图，直四棱柱A′B′C′D′ – ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A′C⊥B′D′？ 学生独立完成答案：1．略 2．（1）AB边的中点；（2）点O是△ABC的外心；（3）点O是△ABC的垂心. 3．不一定平行.4．AC⊥BD. 巩固所学知识
归纳总结 1．直线和平面垂直的定义判定 2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善. 3．线线垂直线面垂直 学生归纳总结教师补充 巩固学习成果，使学生逐步养成爱总结，会总结的习惯和能力.
课后作业 2.7 第一课时 习案 学生独立完成 强化知识提升能力
备选例题
例1 如图，在空间四边形ABCD中，AB = AD，CB = CD，M为BD中点，作AO⊥MC，交MC于O．求证：AO⊥平面BCD．
【解析】连结AM
∵AB = AD，CB = CD，M为BD中点．
∴BD⊥AM，BD⊥CM．
又AM∩CM = M，∴BD⊥平面ACM．
∵AO 平面ACM，∴BD⊥AO．
又MC⊥AO，BD∩MC = M，∴AO⊥平面貌BCD．
【评析】本题为了证明AO⊥平面BCD，先证明了平面BCD内的直线垂直于AO所在的平面．这一方法具有典型性，即为了证明线与面的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直．这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决．
例2 已知棱长为1的正方体ABCD – A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．
【解析】取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连AO．
由已知正方体，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO为所求．
在Rt △EOA中，
，
，
sin∠EAO = ．
所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为．
【评析】求直线和平面所成角的步骤：
（1）作——作出斜线和平面所成的角；
（2）证——证明所作或找到的角就是所求的角；
（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形）
（4）答．
≠
≠
PAGE
第二课时 平面与平面垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.
2．过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.
3．情态、态度与价值观
通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.
（二）教学重点、难点
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小.
（三）教学方法
实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.
教学过程 教学内容 师生互动 设计意图
新课导入 问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？ 学生自由发言，教师小结，并投影两个平面所成角的实际例子：公路上的表面与水平面，打开的门与门椎所在平面等，怎样定义两个平面所成的角呢？ 复习巩固，以旧导新
探索新知 一、二面角1．二面角（1）半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.（2）二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（3）二面角的求法与画法棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角. 有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P – AB – Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角或P – l – Q.2．二面角的平面角如图（1）在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角. 教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）.师生共同实验(折纸)思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？生：过二面角棱上一点O在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.师：改变O的位置，这个角的大小变不变.生：由等角定理知不变. 通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.通过实验，培养学生学习兴趣和探 索意识，加深对知识的理解与掌握.
探索新知 二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面与垂直，记作⊥.2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 学生自学，教师点拔一下注意事项.师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即，请同学给出面面垂直的判定定理. 培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察能力，归纳能力，语言表达能力.
典例分析 例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在平面为，由已知条件，PA⊥，BC在内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC. 又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线. 所以BC⊥平面PAC. 又因为BC在平面PBC内， 所以，平面PAC⊥平面PBC. 师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A – PC – B的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理正面面垂直的关键是在其中一个平面内找?(作)一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC符合解题要求，为什么？学生分析，教师板书 巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.
随堂练习 1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G?3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S – EFG中必有（ A ）A．SG⊥EFG所在平面 B．SD⊥EFG所在平面 C．GF⊥SEF所在平面 D．GD⊥SEF所在平面2．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？答：面ABC⊥面BCD 面ABD⊥面BCD 面ACD⊥面ABC. 学生独立完成 巩固知识 提升能力
归纳总结 1．二面角的定义画法与记法.2．二面角的平面角定义与范围. 3．面面垂直的判定方法. 4．转化思想. 学生总结、教师补充完善 回顾、反思、归纳知训提高自我整合知识的能力
课后作业 2.3 第二课时 习案 学生独立完成 固化知识提升能力
备选例题
例1 如图，平面角为锐角的二面角，A∈EF，，∠GAE = 45°若AG与所成角为30°，求二面角的平面角.
【分析】首先在图形中作出有关的量，AG与所成的角(过G到的垂线段GH，连AH，∠GAH = 30°)，二面角的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH建立联系，抓住GH⊥这一特殊条件，作HB⊥EF，连接GB，利用相关关系即可解决问题.
【解析】作GH⊥于H，作HB⊥EF于B，连结GB，
则CB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角.
又∠GAH是AG与所成的角，
设AG = a，则，.
所以∠GBH = 45°
反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.
例2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD．
【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需
要寻找已知条件“SC⊥平面ABCD ”与需证结论
“平面EDB⊥平面ABCD”之间的桥梁．
【证明】连结AC、BD，交点为F，连结EF，
∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC．
∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．
又EF平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD．
【评析】将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键．
例3 如图，四棱锥P – ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD．
证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
【分析】由△PAD ≌ △PCD，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可．
【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形．作AE⊥DP,垂足为E，连接EC，则△ADE ≌△CDE．
∴AE = CE，∠CED = 90°．故∠CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角．设AC与BD相交于点O．连接EO，则EO⊥AC．
∴，
在△AEC中，
=，
∴∠AEC ＞ 90°．
所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．
B
S
C
PAGE
第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.
2．过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
（二）教学重点、难点
两个性质定理的证明.
（三）教学方法
学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.
教学过程 教学内容 师生互动 设计意图
新课导入 问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？问题2：若一条直线和一个平面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？ 师投影问题. 学生思考、讨论问题，教师点出主题 复习巩固以旧带新
探索新知 一、直线与平面垂直的性质定理1．问题：已知直线a、b和平面，如果，那么直线a、b一定平行吗？已知求证：b∥a.证明：假定b不平行于a，设=0b′是经过O与直线a平行的直线∵a∥b′，∴b′⊥a即经过同一点O的两线b、b′都与垂直这是不可能的，因此b∥a.2．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行简化为：线面垂直线线平行 生：借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立.师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，有这种情况下，我们采用“反证法”师生边分析边板书. 借助模型教学，培养几何直观能力.，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.
探索新知 二、平面与平面平行的性质定理1．问题黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 2．例1 设，=CD，，AB⊥CD，AB⊥CD = B求证AB证明：在内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角的平面角.由知，AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是内的两条相交直线，所以AB⊥3．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直简记为：面面垂直线面垂直. 教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题生：借助长方体模型，在长方体ABCD – A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A⊥AD，AB⊥A′A∵∴A′A⊥面ABCD故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB⊥CD，需找一条直线与AB垂直，有条件还没有用，能否利用构造一条直线与AB垂直呢？生：在面内过B作BE⊥CD即可.师：为什么呢？学生分析，教师板书 本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.
典例分析 例2 如图，已知平面，，直线a满足，，试判断直线a与平面的位置关系.解：在内作垂直于与交线的直线b，因为，所以因为，所以a∥b.又因为，所以a∥.即直线a与平面平行.例3 设平面⊥平面，点P作平面的垂线a，试判断直线a与平面的位置关系？证明：如图，设= c，过点P在平面内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有. 因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b垂合，因此. 师投影例2并读题生：平行 师：证明线面平行一般策略是什么？ 生：转证线线平行 师：假设内一条直线b∥a则b与的位置关系如何？ 生：垂直 师：已知，怎样作直线b？ 生：在内作b垂直于、的交线即可.学生写出证明过程，教师投影.师投影例3并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注. 师：利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线b与直线a重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用. 巩固所学知识，训练化归能力. 巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性.
随堂练习 1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”错误的画“×”.（1）a．垂直于同一条直线的两个平面互相平行. （ √ ）b．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （ √ ）c．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. （ √ ）（2）已知直线a，b和平面，且a⊥b，a⊥，则b与的位置关系是 .答案：b∥或b.2．（1）下列命题中错误的是（ A ）A．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线垂直于平面. B．如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面. C．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面. D．如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么. （2）已知两个平面垂直，下列命题（ B ）①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面. ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是（ ）A．3 B．2 C．1 D．03．设直线a，b分别在正方体ABCD – A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内，欲使a∥b，a，b应满足什么条件？ 答案：不相交，不异面4．已知平面，，直线a，且，，a∥，a⊥AB，试判断直线a与直线的位置关系. 答案：平行、相交或在平面内 学生独立完成 巩固、所学知识
归纳总结 1．直线和平面垂直的性质2．平面和平面垂直的性质 3．面面垂直线面垂直线线垂直 学生归纳总结，教材再补充完善. 回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.
课后作业 2.3 第三课时 习案 学生独立完成 固化知识提升能力
备选例题
例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？
【解析】
【评析】若BC与垂直，同理可得AB与也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直” ．
例2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知⊥r，⊥r，∩= l，求证：l⊥r．
【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面、垂直．或由面面垂直的性质易在、内作出平面r的垂线，再设法证明l与其平行即可．
【证明】法一：如图，设∩r = a ，∩r = b，在r内任取一点P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b．
∵⊥r，⊥r，
∴m⊥a，n⊥（面面垂直的性质）．
又∩= l，
∴l⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，nr
∴l⊥r．
法二：如图，设∩r = a，∩r = b，在内作m⊥a，在内作n⊥b．
∵⊥r，⊥r，
∴m⊥r，n⊥r．
∴m∥n，又n，m，
∴m∥，又∩= l，m，
∴m∥l，
又m⊥r，∴l⊥r．
【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的．
PAGE
