3.1.1 倾斜角与斜率
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.
（2）理解直线倾斜角的唯一性.
（3）理解直线斜率的存在性.
（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
2．过程与方法
引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.
3．情感、态度与价值观
（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.
（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
（二）教学重点与难点
直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
（三）教学方法
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题引入 我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？直线的倾斜角的概念. 学生回答（不能确定）（1）它们都经过点P.（2）它们的倾斜程度不同.接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题. 设疑激趣导入课题
概念形成 1．直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定. 教师提问：倾斜角的取值范围是什么？当直线l与x轴重合时（由学生结合图形回答）
概念深化 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角. 教师提问：如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？学生回答后作出结论.一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出. 确定一条直线位置的几何要素. 通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素
概念形成 2．直线的斜率一条直线的倾斜角（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 例如= 45°时k = tan45°= 1= 135°时 k = tan135°= –1 教师提问：（由学生讨论后回答）（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？k = tan0°= 0（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？= 90°，k不存在 设疑激发学生思考得出结论
概念形成 3．直线的斜率公式 对于上面的斜率公式要注意下面四点： （1）当x1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角= 90°，直线与x轴垂直； （2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角= 0°，直线与x轴平行或重合. （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. 教师提出问题： 给定两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？ 可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导. 借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.
应用举例 例1 已知A (3，2)，B (–4，1)，C (0，–1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略） 分析：已知两点坐标，而且x1 ≠ x2，由斜率公式代入即可求得k的值； 而当时，倾斜角是钝角； 而当时，倾斜角是锐角； 而当时，倾斜角是0°. 例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1. 分析：要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可. 学生分析求解 ，教师板书 例1 略解：直线AB的斜率k1 = 1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角. 直线BC的斜率k2 = –0.5＜0，所以它的倾斜角是锐角. 例2 略解：设直线a上的另个一点M的坐标为(x，y)，根据斜率公式有1 = (y – 0)/(x – 0) 所以 x = y 可令x = 1，则y = 1，于是点M的坐标为(1，1).此时过原点和点M(1，1)，可作直线a. 同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程） 课堂练习：P91 1题、2题、3题、4题. 通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义
归纳总结 （1）直线的倾斜角和斜率的概念. （2）直线的斜率公式. 师生共同总结——交流——完善 引导学生学会自己总结
课后作业 布置作业 见习案3.1第一课时 由学生独立完成 巩固深化
备选例题
例1 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）(1，1)，(2，4)； （2）(–3，5)，(0，2)；
（3）(2，3)，(2，5)； （4）(3，–2)，(6，–2)
【解析】（1），所以倾斜角是锐角；
（2），所以倾斜角是钝角；
（3）由x1 = x2 = 2得：k不存在，倾斜角是90°
（4），所以倾斜角为0°
例2 已知点P点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为 .
【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为(0，6)
直线PQ的斜率k = tan120°=
∴ ∴b = –2，即Q点坐标为
y
a
b
c
x
O
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
2．过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.
3．情感、态度与价值观
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：两条直线平行和垂直的条件.
难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.
（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 上一节课，我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度，并推导出了斜率的坐标计算公式.现在，我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直. 由学生回忆上节课内容，再由老师引入新课. 设置情境引入新课
概念形成 1．特殊情况下，两条直线平行与垂直.两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0° ，两直线互相垂直. 由学生讨论得出答案
概念深化 2．两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直.设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的，所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系？首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果l1∥l2（图），那么它们的倾斜角相等；a1 = a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1，a2的关系）∴tga1 = tga2.即k1 = k2.反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1 = k2，那么tga1 = tga2.由于0°≤a1＜180°，0°≤a＜180°，∴a1 = a2又∵两条直线不重合，∴l1∥l2.结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2k1 = k2.注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1 = k2那么一定有l1∥l2；反之则不一定. 借助计算机，让学生通过度量，感知的关系. 通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想.
下面我们研究两条直线垂直的情形.如果l1⊥l2，这时，否则两直线平行.设（图）甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有.因为l1、l2的斜率分别是k1、k2，即，所以.∴.即或k1k2 = –1，反过来，如果即k1·k2 = –1不失一般性，设k1＜0.k2＞0，那么.可以推出a1 = 90°+.l1⊥l2. 结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 注意：结论成立的条件，即如果k1·k2 = –1，那么一定有l1⊥l2；反之则不一定. 借助计算机，让学生通过度量，感知k1，k2的关系，并使l1(或l2)转动起来，但仍保持l1⊥l2，观察k1，k2的关系，得到猜想，再加以验证，可使为锐角，钝角等. 通过计算机的演示，培养学生的观察、猜想，归纳的数学思想方法.
应用举例 例1 已知A (2,3)，B (–4,0)，P（– 3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论. 借助计算机作图，使学生通过观察猜想：BA∥PQ，再通过计算机加以验证.（图略） 例1 解：直线BA的斜率k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5， 直线PQ的斜率k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5， 因为k1 = k2 = 0.5，所以直线BA∥PQ. 通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B (2, –1)，C (4,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明. 例3 已知A(–6,0)，B (3,6)，P (0,3)，Q (–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系. 例4 已知A(5, –1)，B (1,1)，C (2,3)，试判断三角形ABC的形状. 分析：借助计算机作图，通过观察猜想：三角形ABC是直角三角形，其中AB⊥BC，再通过计算加以验证.（图略） 课堂练习 P94 练习1、2. 借助计算机作图，使学生通过观察猜想：四边形ABCD是平行四边形，再通过计算加以验证. 例2 解：直线BA的斜率k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5， 直线PQ的斜率k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5， 因为k1 = k2 = 0.5，所以直线BA∥PQ. 例3 解：直线AB的斜率k1 = (6 – 0)/ (3 – (–6)) = 2/3， 直线PQ的斜率k2 = (6 – 3) (–2 – 0) = 3/2， 因为k1·k2 = –1，所以AB⊥PQ.
归纳总结 （1）两条直线平行或垂直的真实等价条件； （2）应用条件，判定两条直线平行或垂直. （3）应用直线平行的条件，判定三点共线. 由学生归纳，教师再补充完善. 培养学生的概括能力
课后作业 见习案3.1的第二课时 由学生独立完成 巩固深化新学知识
备选例题
例1 试确定M的值，使过点A(m + 1，0)，B(–5，m)的直线与过点C(–4，3)，D(0，5)的直线平行.
【解析】由题意得：
由于AB∥CD，即kAB = kCD，
所以，所以m = –2.
例2 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D的坐标.
【解析】设第四个顶点D的坐标为(x，y)
因为AD⊥CD，AD∥BC 所以kAD·kCD = –1，且kAD = kBC
，
所以第四个顶点D的坐标为(2，3).
例3 已知定点A(–1，3)，B(4，2)，以A、B为直径的端点，作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标.
【解析】以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.
则AC⊥BC，设C (x，0)
则
所以
所以x = 1或2，所以C (1，0)或(2，0)
