3.2.1 直线的点斜式方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2．过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.
3．情态与价值观
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.
（二）教学重点、难点：
（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.
（三）教学设想
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1．在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？ 学生回顾，并回答. 然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式. 使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知.
概念形成 2．直线l经过点P0 (x0, y0)，且斜率为k. 设点P (x, y)是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0, y0之间的关系. 学生根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，，即y – y0 = k (x – x0) （1）老师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程. 培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法.
3．（1）过点P?0 (x0, y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？ 学生验证，教师引导. 使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.
（2）坐标满足方程（1）的点都在经过P?0 (x0, y0)，斜率为k的直线l上吗？ 学生验证，教师引导. 然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(point slope form). 使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.
概念深化 4．直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 学生分组互相讨论，然后说明理由. 使学生理解直线的点斜式方程的适用范围.
5．（1）x轴所在直线的方程是什么？Y轴所在直线的方程是什么？（2）经过点P?0 (x0, y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？（3）经过点P0 (x0, y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？ 教师引导学生通过画图分析，求得问题的解决. 进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式.
应用举例 6．例1. 直线l经过点P0 (– 2，3)，且倾斜角= 45° . 求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知哪些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求. 在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画. 例1 解析：直线l经过点P0 (–2，3)，斜率k = tan45°=1代入点斜式方程得y – 3 = x + 2画图时，只需再找出直线l上的另一点P1 (x1，y1)，例如，取x1= –1，y1 = 4，得P1 的坐标为（– 1，4），过P0 ，P1的直线即为所求，如右图. 学生会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率. 同时掌握已知直线方程画直线的方法.
概念深化 7．已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0, b)，求直线l的方程. 学生独立求出直线l的方程：y = kx + b （2）再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵. 引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形.
8．观察方程y = kx + b，它的形式具有什么特点？ 学生讨论，教师及时给予评价. 深入理解和掌握斜截式方程的特点？
9．直线y = kx + b在x轴上的截距是什么？ 学生思考回答，教师评价. 使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.
方法探究 10．你如何从直线方程的角度认识一次函数y = kx + b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y = 2x – 1，y = 3x，y = –x + 3图象的特点吗？ 学生思考、讨论，教师评价. 归纳概括. 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
应用举例 11．例2 已知直线l1：y = k1 + b1，l2：y2 = k2 x + b2 . 试讨论：（1）l1∥l2的条件是什么？ （2）l1⊥l2的条件是什么？ 教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论. 思考（1）l1∥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？（2）l1⊥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？在此由学生得出结论；l1∥l2k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2k1k?2 = –1. 例2 解析：（1）若l1∥l2，则k1 = k2，此时l1、l2与y轴的交点不同，即b1 = b2；反之，k1 = k2，且b1 = b2时，l1∥l2 . 于是我们得到，对于直线l1：y = k1x + b1，l2：y = kx + b2l1∥l2k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2k1k?2 = –1. 掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中k，b的几何意义.
12．课堂练习第100页练习第1，2，3，4题. 学生独立完成，教师检查反馈. 巩固本节课所学过的知识.
归纳 13．小结 教师引导学生概括：（1）本节课我们学过哪些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？ 使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉.
课后作业 见习案3.2的第一课时 学生课后独立完成. 巩固深化
备选例题
例1 求倾斜角是直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程是.
（1）经过点； （2）在y轴上的截距是–5.
【解析】∵直线的斜率， ∴其倾斜角=120°
由题意，得所求直线的倾斜角.故所求直线的斜率.
（1）∵所求直线经过点，斜率为，
∴所求直线方程是，即.
（2）∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为–5，
∴所求直线的方程为， 即
【点评】（1）由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k来表示的，故这两类方程不能用于垂直于x轴的直线.如过点(1，2)，倾斜角为90°的直线方程为x – 1 = 0.
（2）截距和距离是两不同的概念，y轴上的截距是指直线与y轴交点的纵坐标，x轴上的截距是指直线与x轴交点的横坐标.若求截距可在方程中分别令x = 0或y = 0求对应截距.
例2 直线l过点P(–2，3)且与x轴，y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.
【解析】设直线l的斜率为k，
∵直线l过点(–2，3)，
∴直线l的方程为y – 3 = k[x – (–2)]，令x = 0，得y = 2k + 3；令y = 0得.
∴A、B两点的坐标分别为A，B(0，2k + 3). ∵AB的中点为(–2，3)
∴
∴直线l的方程为，即直线l的方程为3x – 2y +12 = 0.
x
y
6
4
2
1
–1
–2
0
P0
P1
3.2.2 直线的两点式方程
(一)教学目标
1．知识与技能
（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2．过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.
3．情态与价值观
（1）认识事物之间的普通联系与相互转化；
（2）培养学生用联系的观点看问题。
（二）教学重点、难点：
1．重点：直线方程两点式。
2．难点：两点式推导过程的理解。
（三）教学设想
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题引入课题得出概念 1．利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l经过两点P1 (1，2)，P2 (3，5)，求直线l的方程.（2）已知两点P1 (x1，x2)，P2 (x1，x2)其中(x1≠x2，y1≠y2). 求通过这两点的直线方程. 教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化已经解决的问题？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）y – 2 =(x–1)（2）y – y1 =教师指出：当y1≠y2时，方程可写成由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）. 遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。
概念深入 2．若点P1 (x1，x2)，P2 (x2，y2)中有x1 = x2，或y1 = y2，此时这两点的直线方程是什么？ 教师引导学生通过画图、观察和分析，发现x1 = x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：x = x1；当y1 = y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：y = y1. 使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.
应用举例 3、例3 已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B (0,b)，其中a≠0，b≠0.求直线l的方程. 教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方法更为简捷？然后求出直线方程：教师指出：a, b的几何意义和截距方程的概念. 使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.
4、例4 已知三角形的三个顶点A(–5,0 ),B (3, –3),C (0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程. 教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择适当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程.在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较.例4 解析：如图，过B(3，–3)，C(0，2)的两点式方程为 整理得5x + 3y – 6 = 0. 这就是BC所在直线的方程.BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为()， 即(). 过A(–5，0)，M()的直线的方程为， 整理得， 即x + 13y + 5 = 0. 这就是BC边上中线所在直线方程. 让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题.
5、课堂练习 第102页第1、2、3题 学生独立完成，教师检查、反馈.
归纳总结 6、小结 教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？ （2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？ 增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解.
课后作业 布置作业 见习案3.2的第二课时. 学生课后完成 巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力.
备选例题
例1 求经过点A (–3，4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.
【解析】当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为.
将A(–3，4)代入上式，有， 解得a = –7.
∴所求直线方程为x – y + 7 = 0.
当直线l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y = kx.将A(–3，4)代入方程得4 = –3k，即k = .
∴所求直线的方程为x，即4x + 3y = 0.故所求直线l的方程为x – y + 7 = 0或4x + 3y = 0.
【评析】此题运用了直线方程的截距式，在用截距时，必须注意适用条件：a、b存在且都不为零，否则容易漏解.
例2 如图，某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费y（元）与行李重量x (kg)的关系用直线AB的方程表示，试求：
（1）直线AB的方程；
（2）旅客最多可免费携带多少行李？
【解析】（1）由图知，A (60，6)，B (80，10)代入两点式可得AB方程为x – 5y – 30 =0
（2）由题意令y = 0，得x = 30 即旅客最多可免费携带30kg行李.
3.2.3 直线的一般式方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.
2．过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题.
3．情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）用联系的观点看问题.
（二）教学重点、难点：
1．重点：直线方程的一般式；
2．难点：对直线方程一般式的理解与应用.
（三）教学设想
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入课题形成概念 1．（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于x，y的二元一次方程Ax + By + C = 0 (A, B不同时为0)都表示一条直线吗? 教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题(1),即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程. 对于问题(2),教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线,只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式. 为此要对B分类讨论，即当B≠0时和当B = 0时两种情形进行变形. 然后由学生去变形判断，得出结论：关于x，y的二元一次方程，它都表示一条直线.教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示；同时，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax + By + C = 0 (A, B不同为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(general form). 使学生理解直线和二元一次方程的关系.
概念深化 2．直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？ 学生通过相比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线. 使学生理解直线方程的一般式的与其他形式的不同点.
3．在方程Ax + By + C = 0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y重合. 教师引导学生回顾前面所学过的与x轴平行和重合，与y轴平行和重合的直线方程的形式. 然后由学生自主探索得到问题的答案. 使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响.
应用举例 4．例5已知直线经过点A (6, – 4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程. 学生独立完成. 然后教师检查、评价、反馈. 指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式. 使学生体会把直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点.
5．例6把直线l的一般式方程x – 2y + 6 = 0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形. 先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书. 然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在y轴上的截距. 求直线与x轴的截距，即求直线与x轴交点的横坐标，为此可在方程中令y = 0，解出x值，即为与直线与x轴的截距.在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标轴的交点.例6 解：将直线l的一般式方程化成斜截式y =x + 3.因此，直线l的斜率k =，它在y轴上的截距是3. 在直线l 的方程x –2y + 6 = 0中，令y = 0，得x = – 6，即直线l在x轴上的截距是– 6 . 由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(– 6，0)，B (0，3)， 过点A，B作直线，就得直线l的图形. 使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法.
6．二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？ 学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解. 使学生进一步理解二元一次方程与直线的关系，体会直角坐标系把直线与方程联系起来.
7．课堂练习 第105练习第2题和第3（2） 学生独立完成，教师检查、评价. 巩固所学知识和方法.
归纳总结 8．小结 （1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系. （2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围. （3）求直线方程应具有多少个条件？ （4）学习本节用到了哪些数学思想方法？ 使学生对直线方程的理解有一个整体的认识.
课后作业 布置作业 见习案3.2的第3课时 . 学生课后独立思考完成. 巩固课堂上所学的知识和方法.
备选例题
例1 已知直线mx + ny + 12 = 0在x轴，y轴上的截距分别是–3和4，求m，n.
解法一：将方程mx + ny + 12 = 0化为截距式得：，
解法二：由截距意义知，直线经过A(–3，0)和B (0,4)两点，
例2 已知A(2，2)和直线l：3x + 4y – 20 = 0求：
（1）过点A和直线l平行的直线方程； （2）过点A和直线l垂直的直线方程
【解析】（1）将与l平行的直线方程设为3x + 4y + C1 = 0，又过A(2，2)，
所以3×2 + 4×2 + C1 = 0，所以C1 = –14.
所求直线方程为：3x + 4y – 14 = 0.
（2）将与l垂直的直线方程设为4x – 3y + C2 = 0，又过A (2，2)，
所以 3×2 + 4×2 + C2 = 0 ，所以C2 = –2
所求直线方程为：4 – 3 – 2 = 0.
例3 设直线l的方程为(m2 – 2m – 3)x + (2m2 + m – 1)y = 2m – 6，根据下列条件分别确定实数m的值.
（1）l在x轴上的截距为–3； （2）斜率为1.
【解析】（1）令y = 0，依题意，得：
由①得：m≠3，且m≠–1，由②得：3m2 – 4m – 15 = 0，
解得m = 3或，所以综合得.
由题意得：
由③得：m≠–1且m≠，
由④得：m = –1或，所以
①
②
③
④
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