3.3.1 两直线的交点坐标
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）直线和直线的交点.
（2）二元一次方程组的解.
2．过程和方法
（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.
（2）掌握数形结合的学习法.
（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.
3．情态和价值
（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.
（2）能够用辩证的观点看问题.
（二）教学重点、难点
重点：判断两直线是否相交，求交点坐标.
难点：两直线相交与二元一次方程的关系.
（三）教学方法：启发引导式
在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决.
教具：用POWERPOINT课件的辅助式数学.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系. 课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ 设置情境导入新课
概念形成与深化 1．分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线L1：A1x + B1y + C1 = 0，L2：A2x + B2y + C2 = 0如何判断这两条直线的关系？教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空.几何元素及关系 代数表示点AA (a，b)直线LL：Ax + By + C = 0点A在直线上 直线L1与L2的交点A 师：提出问题生：思考讨论并形成结论 通过学生分组讨论，使学生理解掌握判断两直线位置的方法.
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？（1）若二元一次方程组有唯一解，L1与L2相交.（2）若二元一次方程组无解，则L1与L2平行.（3）若二元一次方程组有无数解，则L1与L2重合. 课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？
应用举例 例1 求下列两直线交点坐标L1：3x + 4y –2 =0L2：2x + y +2 =0 例2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。（1）L1：x–y=0，L2：3x+3y–10=0（2）L1：3x–y=0，L2：6x–2y=0（3）L1：3x+4y–5=0，L2：6x+8y–10=0.这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系. 教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解.同类练习：书本110页第1，2题.例1 解：解方程组得x = –2，y =2.所以L1与L2的交点坐标为M(–2，2)，如图：例2解：（1）解方程组， 得 所以，l1与l2相交，交点是M (). （2）解方程组①×② – ②得9 = 0，矛盾， 方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2. （3）解方程组①×2得6x + 8y –10 = 0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合. 训练学生解题格式规范条理清楚，表达简洁.
方法探究 课堂设问一. 当λ变化时，方程3x + 4y–2+λ(2x + y +2) =0表示何图形，图形有何特点？求出图形的交点的坐标， （1）可以用信息技术，当取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。 （2）找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。 （3）结论，方程表示经过这两直线L1与L2的交点的直线的集合。 培养学生由特殊到一般的思维方法.
应用举例 例3 已知a为实数，两直线l1：ax + y + 1= 0，l2：x + y – a = 0相交于一点. 求证交点不可能在第一象限及x轴上. 分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围. 例3 解：解方程组若，则a＞1. 当a＞1时，–，此时交点在第二象限内. 又因为a为任意实数时，都有a2 +1≥1＞0，故. 因为a≠1 (否则两直线平行，无交点)，所以，交点不可能在x轴上，得交点（）. 引导学生将方法拓展与廷伸
归纳总结 小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用. 师生共同总结 形成知识体系
课后作业 布置作业见习案3.3第一课时 由学生独立完成 巩固深化新学知识
备选例题
例1 求经过点(2，3)且经过l1：x + 3y– 4 = 0与l2：5x + 2y + 6 = 0的交点的直线方程.
解法1：联立，
所以l1，l2的交点为(–2,2).
由两点式可得：所求直线方程为即x – 4y + 10 = 0.
解法2：设所求直线方程为：x + 3y – 4 +(5x + 2y + 6) = 0.
因为点(2，3)在直线上，所以2+3×3–4+(5×2+2×3+6) = 0，
所以，即所求方程为x + 3y – 4 + ()(5x + 2y + 6) = 0，
即为x – 4y + 10 = 0.
例2 已知直线l1：x + my + 6 = 0，l2：(m – 2)x + 3y + 2m = 0，试求m为何值时，l1?与l2：（1）重合；（2）平行；（3）垂直；（4）相交.
【解析】当l1∥l2(或重合) 时：
A1B2 – A2B1 = 1×3 – (m – 2)·m = 0，解得：m = 3，m = –1.
（1）当m = 3时，l1：x + 3y + 6 = 0，l2：x + 3y + 6 = 0，所以l1与l2重合；
（2）当m = –1时，l1：x – y + 6 = 0，l2：–3x + 3y – 2 = 0，所以l1∥l2；
（3）当l1⊥l2时，A1A2 + B1B2 = 0，m – 2 + 3m = 0，即；
（4）当m≠3且m≠–1时，l1与l2相交.
例3 若直线l：y = kx – 与直线2x + 3y – 6 = 0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是：
A． B．
C． D．
【解析】直线l1：2x + 3y – 6 = 0过A(3，0)，B (0，2)而l过定点C
由图象可知
所以l的倾斜角的取值范围是(30°，90°)，故选B.
x
y
8
4
2
– 2
– 4
–5
5
①
②
①
②
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3.3.2 两点间的距离
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；
3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
（二）教学重点、难点
重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
（三）教学方法
启发引导式
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习数轴上两点的距离公式. 设问一：同学们能否用以前所学知识解决以下问题：已知两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)求|P1P2| 设置情境导入新课
概念形成 过P1、P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为N1 (0，y)，M2 (x2，0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.在直角△ABC中，|P1P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2，为了计算其长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为M1 (x1，0)过点P2向y轴作垂线，垂足为N2 (0，y2)，于是有|P1Q|2 = |M2M1|2 = |x2 – x1|2，|QP2|2 = |N1N2|2 = |y2 – y1|2.由此得到两点间的距离公式 在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到. 通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距离公式形成的过程.
应用举例 例1 已知点A (–1，2)，在x轴上求一点，使|PA| = |PB|，并求|PA|的值.解：设所求点P (x，0)，于是有∴x2 + 2x + 5 = x2 – 4x + 11解得x = 1∴所求点P (1，0)且同步练习，书本112页第1、2题. 教师讲解思路，学生上台板书.教师提问：还有其它的解法，由学生思考，再讨论提出解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为线段AB的垂直平分线的方程是在上述式子中，令y = 0，解得x = 1.所以所求点P的坐标为(1，0).因此 通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用.
例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).设B (a，0)，D (b，c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a + b，c)，因为|AB|2 = a2，|CD|2 = a2，|AD|2 = b2 + c2 = |BC|2|AC|2 = (a + b)2 + c2， |BD|2 = (b – a)2 + c2 所以，|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 = 2 (a2 + b2 + c2) |AC|2 – |BD|2 = 2(a2 + b2 + c2)所以，|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 = |AC|2 + |BD|2 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 此题让学生讨论解决，再由学生归纳出解决上述问题的基本步骤：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量. 第二步：进行有关代数运算. 第三步：把代数结果“翻译”成几何关系. 思考：同学们是否还有其它的解决办法？ 还可用综合几何的方法证明这道题. 让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.
归纳总结 主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性. 师生共同总结 让学生更进一步体会知识形成过程
课后作业 布置作业见习案3.3的第二课时. 由学生独立完成 巩固深化
备选例题
例1 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标
【解析】设点P的坐标为 (x，0)，由|PA| = 10，得：
解得：x = 11或x = –5.
所以点P的坐标为(–5，0)或(11，0).
例2 在直线l：3x – y – 1 = 0上求一点P，使得：
（1）P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
（2）P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.
【解析】（1）如图，B关于l的对称点B′(3，3).
AB′：2x + y – 9 = 0
由 解得P(2，5).
（2）C关于l对称点
由图象可知：|PA| + |PC|≥|AC′|
当P是AC′与l的交点时“=”成立，
∴.
例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P到Q的长度.
【解析】（1）设点Q′(a，b)是Q关于直线l的对称点
因为QQ′⊥l，k1 = –1，所以
又因为Q′Q的中点在直线l上，所以
所以得，所以Q′(–3，–1)
因为Q′在入射光线所在直线l1上，设其斜率为k，
所以
l1：即2x – 5y + 1 = 0
（2）设PQ′与l的交点M，由（1）知|QM| = |Q′M|
所以|PM| + |MQ| = |PM| + |MQ′| = |PQ′| =
所以沿这光线从P到Q的长度为.
入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.
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3.3.3 点到直线的距离
（一）教学目标
1．知识与技能
理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.
2．过程和方法
会用点到直线距离公式求解两平行线距离.
3．情感和价值
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.
（二）教学重点、难点
教学重点：点到直线的距离公式.
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
（三）教学方法
学导式
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离. 用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？ 设置情境导入新课
概念形成 1．点到直线距离公式点P (x0，y0)到直线l：Ax + By + C = 0的距离为推导过程方案一：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法. （1）教师提出问题已知P (x0，y0)，直线l：Ax + By + C = 0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？学生自由讨论（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.画出图形，分析任务，理清思路，解决问题. 寻找最佳方案，附方案二.方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，由得所以由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.所以可证明，当A = 0时仍适用.这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高. 通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法.
应用举例 例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离. 解：例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积. 学生分析求解，老师板书 例2 解：设AB边上的高为h，则AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在直线方程为即x + y – 4 = 0.点C到x + y – 4 = 0的距离为h，因此， 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.
概念深化 2．两平行线间的距离d已知l1：Ax + By + C1 = 0l2：Ax + By + C2 = 0证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为.又Ax0 + By0 + C2 = 0 即Ax0 + By0= –C2，∴ 教师提问：能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？ 学生交流后回答. 再写出推理过程 进一步培养学生化归转化的思想.
应用举例 例3 求两平行线l1：2x + 3y – 8 = 0l2：2x + 3y – 10 =0的距离.解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是解法二：直接由公式 课堂练习：已知一直线被两平行线3x + 4y – 7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程. 在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书. 开拓学生思维，培养学生解题能力.
归纳总结 小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式. 老师和学生共同总结——交流——完善 培养学生归纳、概括能力，构建知识网络.
课后作业 布置作业见习案3.3的第三课时 独立完成 巩固深化
备选例题
例1 求过点M(–2，1)且与A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.
解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A、B两点距离不相等.
所以可设直线方程为：y – 1 = k(x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0.
由，
解得k = 0或.
故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.
解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点.
若l∥AB且，则l的方程为x + 2y = 0.
若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y = 1.
所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.
例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P(0，1)对称的直线方程.
（2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l对称，求l的方程.
【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C=0
由P点到两直线的距离相等，即
，所以C = –38.
所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0.
（2）依题可知直线l的方程为：6x + 8y + C = 0.
则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离，
到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为
所以d1 = d2即，所以.
即l的方程为：.
例3 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点A的坐标是(1，–2).求边AB、AC所在直线方程.
【解析】已知BC的斜率为，因为BC⊥AC
所以直线AC的斜率为，从而方程
即3x – 2y – 7 = 0
又点A(1，–2)到直线BC：2x + 3y – 6 = 0的距离为，
且.
由于点B在直线2x + 3y – 6 = 0上，可设，
且点B到直线AC的距离为
所以或，所以或
所以或
所以直线AB的方程为或
即x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0
所以AC的直线方程为：3x – 2y – 7 = 0
AB的直线方程为：x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.
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