4.1.1 圆的标准方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
（2）会用待定系数法求圆的标准方程.
2．过程与方法
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.
3．情感态度与价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：圆的标准方程
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.
（三）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？ 由学生回答，然后引入课题 设置情境引入课题
概念形成 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r (其中a、b、r都是常数，r＞0)设M (x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P = {M|MA| = r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件 ①化简可得：(x – a)2 + (y – b)2 = r2② 引导学生自己证明(x – a)2 + (y – b)2 = r2为圆的方程，得出结论.方程②就是圆心为A (a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程. 通过学生自己证明培养学生的探究能力.
应用举例 例1 写出圆心为A (2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，是否在这个圆上.分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.探究：点M(x0，y0)与圆(x – a)2 + (y – b)2 = r2的关系的判断方法：（1）(x0 – a)2 + (y0 – b)2＞r2，点在圆外.（2）(x0 – a)2 + (y0 – b)2 = r2，点在圆上. （3）(x0 – a)2 + (y0 – b)2 ＜r2，点在圆内. 引导学生分析探究从计算点到圆心的距离入手. 例1 解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x + 3)22 + ( y + 3)2 =25.把M1 (5，–7)，M2 (，–1) 的坐标代入方程(x –2)2 + (y +3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2 (，–1)的坐标代入方程(x – 2)2 + (y +3)22 =25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上 通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.
例2 △ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.例2 解：设所求圆的方程是(x– a)2 + (y – b)2 = r2. ①因为A (5，1)，B (7，–3)，C (2，– 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是解此方程组，得所以，△ABC的外接圆的方程是(x– 2)2 + (y +3)2 =25.22222 师生共同分析：从圆的标准方程(x – a)2 + (y – b)2 = r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)
例3 已知圆心为C的圆C. 经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在l : x – y + 1 = 0上，求圆心为C的圆的标准方程.比较例(2)、例（3）可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：①根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 练习：课本P127 第1、3、4题 师生共同分析：如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，–2)，由于圆心C与A、B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于|CA|或|CB|.(教师板书解题过程)例3 解：因为A (1，1)，B (2，– 2)，所以线段AB的中点D的坐标为(，)，直线AB的斜率kAB == –3， 因为线段AB的垂直平分线l′的方程是y +， 即x –3y –3 = 0. 圆心C的坐标是方程组的解. 解此方程组，得 所以圆心C的坐标是(–3，–2) .圆心为C的圆的半径长r =|AC|== 5.所以，圆心为C的圆的标准方程是(x + 3)22 + (y +2)2 =25.
归纳总结 1．圆的标准方程. 2．点与圆的位置关系的判断方法. 3．根据已知条件求圆的标准方程的方法. 教师启发，学生自己比较、归纳. 形成知识体系
课外作业 布置作业：见习案4.1第一课时 学生独立完成 巩固深化
备选例题
例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径
（1）x2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a2 (a≠0)
【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为；
（2）圆心为(–2，1)，半径为|a|.
例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程.
解法1：设所求的圆的方程为(x – a)2 + (y – b)2 = r2
由条件知
解方程组得
即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10
解法2：，AB的中点是(0，–4)，
所以AB的中垂线方程为2x + y + 4 = 0
由得
因为圆心为(–1, –2 )又.
所以所求的圆的方程是(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10.
例3 已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.
【解析】要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|、|PB|、|PC|中的中间值.
.
因为|PA|＜|PB|＜|PC|
所以圆的半径.
故所求的圆的方程为(x – 2)2 + (y + 1)2 = 13.
6 –
–
4 –
–
2 –
–
–
–2 –
–
–4 –
–
–
–5
5
A
M
B
m
A
C
PAGE
4.1.2 圆的一般方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.
（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.
（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
2．过程与方法
通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
3．情感态度与价值观
渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.
（二）教学重点、难点
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
（三）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
课题引入 问题：求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程. 让学生带着问题进行思考 设疑激趣导入课题.
概念形成与深化 请同学们写出圆的标准方程：(x – a)2 + (y – b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2 – r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2 + E2 – 4F＞0时，方程②表示以为圆心，为半径的圆；（2）当D2 + E2 – 4F = 0时，方程只有实数解，即只表示一个点；（3）当D2 + E2 – 4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D2 + E2 – 4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程. 整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.
应用举例 例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0（2）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x2 + y2 – x + 3y += 0D = –1，E =3，F =.∵D2 + E2 – 4F = 1＞0∴此方程表示圆，圆心（，），半径r =.（2）将原方程化为x2 + y2 – x + 3y += 0D = –1，E =3，F =.D2 + E2 – 4F = –1＜0∴此方程不表示圆. 学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D = –1，E = 3，而不是D = –4，E = 12，F = 9. 通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决问题的能力.
例2 求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：即解此方程组，可得：D= –8，E=6，F = 0∴所求圆的方程为：x2 + y2 – 8x + 6y = 0；.得圆心坐标为(4，–3).或将x2 + y2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3). 例2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： 1．根据题设，选择标准方程或一般方程. 2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； 3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.
例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x + 1)2 + y2 = 4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)由于点B的坐标是(4，3)且M是线段AB中重点，所以，① 于是有x0 = 2x – 4，y0 = 2y – 3 因为点A在圆(x + 1)2 + y2 = 4上运动，所以点A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 ②把①代入②，得(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4， 整理得 所以，点M的轨迹是以为圆心，半径长为1的圆.课堂练习：课堂练习P130第1、2、3题. 教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书. 分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4.建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程.
归纳总结 1．圆的一般方程的特征 2．与标准方程的互化 3．用待定系数法求圆的方程 4．求与圆有关的点的轨迹 教师和学生共同总结 让学生更进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业 布置作业：见习案4.1的第二课时 学生独立完成 巩固深化
备选例题
例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.
（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；
（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0)；
（3）2x2 + 2y2 + 2ax – 2ay = 0 (a≠0).
【解析】（1）因为D ＝ 1，E ＝ 0，F ＝ 1，
所以D2 + E2 – 4F＜0 方程（1）不表示任何图形；
（2）因为D ＝ 2a，E ＝ 0，F ＝ a2，
所以D2 + E2 – 4F ＝ 4a2 – 4a2 = 0， 所以方程（2）表示点(–a，0)；
（3）两边同时除以2，得x2 + y2 + ax – ay = 0，
所以D = a，E = – a，F = 0. 所以D2 + E2 – 4F＞0，
所以方程（3）表示圆，圆心为，半径.
点评：也可以先将方程配方再判断.
例2 已知一圆过P (4，–2)、Q(–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程.
【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.
【解析】法一：设圆的方程为：
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ①
将P、Q的坐标分别代入①得
令x = 0，由①，得y2 + Ey + F = 0 ④
由已知|y1 – y2?| = ，其中y1，y2是方程④的两根.
∴(y1 – y2)2 = (y?1 + y2) – 4y1y2 = E2 – 4F = 48 ⑤
解②③⑤联立成的方程组，得
故所求方程为：x2 + y2 – 2x – 12 = 0或x2 + y2 – 10x – 8y + 4 = 0.
法二：求得PQ的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ①
∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为(a，a – 1)，
又圆C的半径 ②
由已知圆C截y轴所得的线段长为，而圆C到y轴的距离为|a|.
代入②并将两端平方，得a2 – 5a + 5 = 0，
解得a1 = 1，a2 = 5.
∴
故所求的圆的方程为：(x – 1)2 + y2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37.
【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.
（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.
例3 已知方程x2 + y2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t2)y + 16t4 + 9 = 0表示一个圆，求
（1）t的取值范围；
（2）该圆半径r的取值范围.
【解析】原方程表示一个圆的条件是
D2 + E2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0
即7t2 – 6t – 1＜0，∴
（2）
∴
M
A
x
y
O
B
②
③
PAGE
