4.2.1 直线与圆的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
（二）过程与方法
设直线l：ax + by + c = 0，圆C：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当d＞r时，直线l与圆C相离；
（2）当d＝r时，直线l与圆C相切；
（3）当d＜r时，直线l与圆C相交；
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.
（二）教学重点、难点
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系.
（三）教学过程设想
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？ 师；让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.生：看图，并说出自己的看法. 启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课.
概念形成 2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？三种（1）直线与圆相交，有两个公共点.（2）直线与圆相切，只有一个公共点.（3）直线与圆相离，没有公共点. 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想.生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系. 得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类.
概念深化 3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ 师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程.生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程. 使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力.
4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？方法一：利用圆心到直线的距离d.方法二：利用直线与圆的交点个数. 师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法.生：利用图形，寻找两种方法的数学思想. 抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法.
应用举例 5．你能用两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？例1 如图，已知直线l ：3x + y – 6 = 0和圆心为C的圆x2 + y2 –2y – 4 = 0，判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标. 分析：方法一：由直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系. 6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？ 例2 已知过点M (–3，–3)的直线l 被圆x2 + y2 + 4y –21 = 0所截得的弦长为，求直线l 的方程. 师：指导学生阅读教科书上的例1.生：仔细阅读教科书上的例1，并完成教科书第140页的练习题2.例1 解法一：由直线l 与圆的方程，得消去y，得x2 – 3x + 2 = 0，因为△= (–3)2 – 4×1×2 = 1＞0所以，直线l与圆相交，有两个公共点.解法二：圆x2 + y2 –2y – 4 = 0可化为x2 + (y – 1)2 =5，其圆心C的坐标为（0，1），半径长为，点C (0，1)到直线l 的距离d =＜.所以，直线l 与圆相交，有两个公共点.由x2 –3x + 2 = 0，解得x1 =2，x2 = 1.把x1=2代入方程①，得y1= 0；把x2=1代入方程①，得y2= 0；所以，直线l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是A (2，0)，B (1，3). 生：阅读例1.师：分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间.生：交流自己总结的步骤. 师：展示解题步骤.例2 解：将圆的方程写成标准形式，得x2 + (y2 + 2)2 =25， 所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长r =5. 如图，因为直线l 的距离为，所以弦心距为，即圆心到所求直线l的距离为.因为直线l 过点M (–3，–3)，所以可设所求直线l的方程为y + 3 = k (x + 3)，即k x – y + 3k –3 = 0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离d =. 因此，， 即|3k – 1| =， 两边平方，并整理得到 2k2 –3k –2 = 0， 解得k =，或k =2. 所以，所求直线l 有两条，它们的方程分别为y + 3 =(x + 3)， 或y + 3 = 2(x + 3). 即x +2y = 0，或2x – y + 3 = 0. 体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系.使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤.
7．通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗？8．通过例2的学习，你发现了什么？ 半弦、弦心距、半径构成勾股弦关系. 师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题. 生：阅读教科书上的例2，并完成137页的练习题.师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法. 生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法. 进一步深化“数形结合”的数学思想.明确弦长的运算方法.
9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4. 师：引导学生完成练习题.生：互相讨论、交流，完成练习题. 巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系.
归纳总结 10．课堂小结： 教师提出下列问题让学生思考： （1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？ （2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？ （3）如何求出直线与圆的相交弦长？ 师生共同回顾 回顾、反思、总结形成知识体系
课外作业 布置作业： 见习题4.2 第一课时 学生独立完成 巩固所学知识
备选例题
例1 已知圆的方程x2 + y2 = 2，直线y = x + b，当b为何值时，
（1）圆与直线有两个公共点；
（2）圆与直线只有一个公共点；
（3）圆与直线没有公共点.
解法1：圆心O (，0)到直线y = x + b的距离为，圆的半径.
（1）当d＜r，即–2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；
（2）当d = r，即b= 时，直线与圆相切，有一个公共点；
（3）当d＞r，即b＞2或b＜–2时，直线与圆相离， 无公共点.
解法2：联立两个方程得方程组.消去y2得
2x2 + 2bx + b2 – 2 = 0，=16 – 4b2.
（1）当＞0，即–2 ＜b＜2时，直线与圆有两个公共点；
（2）当＝0，即时，直线与圆有一个公共点；
（3）当＜0即b＞2或b＜–2时，直线与圆无公共点.
例2 直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25相交，截得弦长l为，求m的方程.
【解析】设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径r = 5，弦长的一半，
所以由勾股定理，得：，
所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即kx – y + 5 – 5k = 0.
由 ，得或k = 2.
所以直线m的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.
例3 已知圆C：x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. 问是否存在斜率为1的直线l， 使l被圆C截得弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点.
【解析】假设存在且设l为：y = x + m，圆C化为(x – 1)2 – (y + 2)2 = 9，圆心C (1，–2).
解方程组得AB的中点N的坐标，
由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN| = |ON|.
又，
所以
解得m = 1或m = –4.
所以存在直线l，方程为x – y + 1 = 0和x – y – 4 = 0，
并可以检验，这时l与圆是相交于两点的.
①
②
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4.2.2 圆与圆的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解圆与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
（3）会用连心线长判断两圆的位置关系.
2．过程与方法
设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当l ＞r1+r2时，圆C1与圆C2相离；
（2）当l = r1+r2时，圆C1与圆C2外切；
（3）当|r1 – r2|＜l＜r1+r2时，圆C1与圆C2相交；
（4）当l = |r1– r2|时，圆C1与圆C2内切；
（5）当l＜|r1 – r2|时，圆C1与圆C2内含.
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.
（二）教学重点、难点
重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系.
（三）教学设想
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？ 教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流. 结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣.
概念形成 2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？利用连心线的长与两圆半径和、差的关系. 教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考，发表自己的解题方法. 引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置关系的方法.
应用举例 3．例3 你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？ 教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给矛表扬. 同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科. 培养学生“数形结合”的意识.
应用举例 4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系. 如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？ 师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题.生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解. 进一步培养学生解决问题、分析问题的能力.利用判别式来探求两圆的位置关系.
5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？ 师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻找解题的途径. 进一步激发学生探求新知的精神，培养学生.
6．如何判断两个圆的位置关系呢？ 师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法. 从具体到一般总结判断两个圆的位置关系的一般方法.
7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题. 师：指导学生完成练习题.生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题. 巩固方法，并培养学生解决问题的能力.
方法拓展延伸 8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？ 师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法.生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程. 得出两个圆的相交弦所在直线的方程.
9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系呢？ 师：引导学生验证结论.生：互相讨论、交流，验证结论. 进一步验证相交弦的方程.
归纳总结 10．课堂小结：教师提出下列问题让学思考： （1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？ （2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？ （3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？ 回顾、反思、总结，构建知识体系.
课外作业 布置作业：见习案4.2第二课时 学生独立完成 巩固深化所学知识.
备选例题
例1 已知圆C1：x2 + y2 – 2mx + 4y + m2 – 5 = 0，圆C2：x2 + y2 + 2x – 2my + m2 – 3 = 0，m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切； （2）圆C1与圆C2内含.
【解析】对于圆C1，圆C2的方程，经配方后
C1：(x – m)2 + (y + 2)2 = 9，C2：(x + 1)2 + (y – m)2 = 4.
（1）如果C1与C2外切，则有，
所以m2 + 3m – 10 = 0，解得m = 2或–5.
（2）如果C1与C2内含，则有，
所以m2 + 3m + 2＜0，得–2＜m＜–1.
所以当m = –5或m = 2时，C1与C2外切；
当–2＜m＜–1时，C1与C2内含.
例2 求过直线x + y + 4 = 0与圆x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0的交点且与y = x相切的圆的方程.
【解析】设所求的圆的方程为x2 + y2 + 4x – 2y – 4 + (x + y + 4) = 0.
联立方程组
得：.
因为圆与y = x相切，所以=0.
即
故所求圆的方程为x2 + y2 + 7x + y + 8 = 0.
例3 求过两圆x2 + y2 + 6x – 4 = 0求x2 + y2 + 6y – 28 = 0的交点，且圆心在直线x – y – 4 = 0上的圆的方程.
【解析】依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(–3，0)和(0，–3).
则连心线的方程是x + y + 3 = 0.
由 解得.
所以所求圆的圆心坐标是.
设所求圆的方程是x2 + y2 – x + 7y + m = 0
由三个圆有同一条公共弦得m = –32.
故所求方程是x2 + y2 – x + 7y – 32 = 0.
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4.2.3 直线与圆的方程的应用
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.
（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.
2．过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.
（二）教学重点、难点
重点与难点：直线与圆的方程的应用.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 你能说出两点间的距离公式直线方程的四种形式及圆的方程的两种形式吗？ 学生思考后作答教师再引入课题现在我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用. 启发并引导学生回顾，从而引入新课.
应用举例 3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？例4 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB = 20m，拱高OP = 4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).解析：建立图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上.设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2 + (y – b)2 = r2.下面确定b和r的值.因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2 + (y – b)2 = r2.于是，得到方程组解得b = –10.5，r2 = 14.52所以，圆的方程是x2 + (y + 10.5)2 = 14.52.把点P2的横坐标x = –2代入圆的方程，得(–2)2 + (y + 10.5)2 = 14.52，取(P2的纵坐标y＞0平方根取正值).所以≈14.36 – 10.5=3.86(m) 师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面坐标系求解.生：自学例4，并完成练习题1、2.师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间. 指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择.
4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？ 教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值. 使学生加深对圆的方程的认识.
5．你能利用“坐标法”解决例5吗？例5 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半. 师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题.生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法.证明：如图，以四边形ABCD互直垂直的对角线CA，DB所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系.设A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(0，d).过四边形ABCD外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线，垂足分别为M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点.由线段的中点坐标公式，得所以又所以. 巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力.
6．完成教科书第140页的练习题2、3、4.练习2 赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程. 练习3 某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m.现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？ 练习4 等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且，|CE| = |CA|，AD、BE相交于点P.求证AP⊥CP. 教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4，教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据.练习2解：建立如图所示的直角坐标系.|OP| = 7.2m，|AB| = 37.4m.即有A(–18.7，0)，B (18.7，0)，C(0，7.2) .设所求圆的方程是(x – a)2 + (y – b)2 = r2.于是有 解此方程组，得a = 0，b = –20.7，r = 27.9. 所以这这圆拱桥的拱圆的方程是x2 + (y + 20.7)2 = 27.92 (0≤y≤7.2)练习3解：建立如图所示的坐标系.依题意，有A(–10，0)，B (10，0)，P(0，4)，D(–5，0)，E(5，0). 设所求圆的方程是(x – a)2 + (y – b)2 = r2.于是有 解此方程组，得a = 0，b = –10.5，r = 14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2 + (y + 10.5)2 = 14.52 (0≤y≤4). 把点D的横坐标x = –5代入上式，得y = 3.1.由于船在水面以上高3m，3＜3.1，所以该船可以从桥下穿过.练习4解： 以B为原点，BC边所在直线为x轴，线段BC长的为单位长，建立如图所示的坐标系.则.由已知，得D(2,0)，.直线AD的方程为. 直线BE的方程为. 解以上两方程联立成的方程组，得. 所以，点P的坐标是. 直线PC的斜率. 因为， 所以，AP⊥CP. 使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤.
练习题 直角△ABC的斜边为定长m，以斜边的中点O为圆心作半径为长定长n的圆，BC的延长线交此圆于P、Q两点，求证|AP|2 + |AQ|2 + |PQ|2为定值.7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？ 学生独立解决练习题，教师组织学生讨论交流.证明：如图， 以O为原点，分别以直线PQ为x轴，建立直角坐标系. 于是有，， 设A(x，y)，由已知，点A在圆上.AP2 + AQ2 + PQ2= =(定值) 反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识.
归纳总结 8．小结：（1）利用“坐标法”解决问题的需要准备什么工作？（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？ 师：指导学生完成练习题.生：阅读教科书的例3，并完成.教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究. 对知识进行归纳概括，体会利用“坐标法”解决实际问题的作用.
课后作业 布置作业习案4.2第2课时 学生独立完成 巩固所学知识
备选例题
例1 一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？
【解析】建立坐标系如图所示：
C(–11，0 )，D(11，0)，M(0，9)
可求得过C、D、M三点的圆的方程是
故A点坐标是(2，y1)，则
得y1≈8.82，(取y1＞0)
∴y1＞7.5，因此船不能从桥下通过.
例2 设半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3:1，问A、B两人在何处相遇.
【解析】由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北为y轴的正方向，建立直角坐标系，设A、B两人的速度分别的为3vkm/h，vkm/h，设A出发ah，在P处改变方向，又经过bh到达相遇点Q，则P(3av，0)Q?(0，(a + b)v)，则
|PQ| = 3bv，|OP| = 3av，|OQ| = （a + b）v
在Rt△OPQ中|PQ|2 = |OP|2 + |OQ|2 得5a = 4b
∴
设直线PQ方程为
由PQ与圆x2 + y2 = 9相切，
解得
故A、B两人相遇在正北方离村落中心km.
例3 有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A、B相距10km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)
【解析】以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.
|AB| = 10，所以A(–5，0)，B(5，0)
设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则运住A地的运费|PA|·3a
当运费相等时，就是|PB|·a = 3a·|PA| ，
即
整理得 ①
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买.
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