4.3.1 空间直角坐标系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景
（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示
2．过程与方法
建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示
3．情态与价值观
通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.
（二）教学重点和难点
空间直角坐标系中点的坐标表示.
（三）教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 （1）我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x，y)表示。那么假设我们对立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢？ 师：启发学生联想思考，生：感觉可以师：我们不能仅凭感觉，我们要对它的认识从感性化提升到理性化. 让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系.
概念形成 （2）空间直角坐标系该如何建立呢？[1] 师：引导学生看图[1]，单位正方体OABC – D′A′B′C′，让学生认识该空间直角系O –xyz中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面.师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系. 体会空间直角坐标系的建立过程.
（3）建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？[2] 师：引导学生观察图[2]，生：点M对应着唯一确定的有序实数组(x，y，z)，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标.师：如果给定了有序实数组(x，y，z)，它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢/生：（思考）是的师：由上我们知道了空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x，y，z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x，y，z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.师：大家观察一下图[1]，你能说出点O，A，B，C的坐标吗？生：回答 学生从（1）中感性向理性过渡.
应用举例 （4）例1 如图，在长方体OABC – D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 2.写出D′、C、A′、B′四点的坐标.解：D′在z轴上，且O D′ = 2，它的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以点D′的坐标是(0，0，2).点C在y轴上，且O D′ = 4，它的纵坐标是4；它的横坐标x与竖坐标z都是零，所以点C的坐标是(0，4，0).同理，点A′的坐标是(3，0，2).点B′在xOy平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同.在xOy平面上，点B横坐标x = 3，纵坐标y = 4；点B′在z轴上的射影是D′，它的竖坐标与点D′的竖坐标相同，点D′的竖坐标z = 2.所点B′的坐标是(3，4，2)例2结晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)，其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系O – xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标. 下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，； 中层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是，； 上层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，1)，(0，1，1)， 师：让学生思考例一一会，学生作答，师讲评。 师：对于例二的讲解，主要是引导学生先要学会建立合适的空间直角坐标系，然后才涉及到点的坐标的求法。 生：思考例一、例二的一些特点。总结如何求出空间中的点坐标的方法。 学生在教师的指导下完成，加深对点的坐标的理解，例2更能体现出建立一个合适的空间直角系的重要性
（5）练习2 如图，长方体OABC – D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 3，A′C′于B′D′相交于点P.分别写出点C、B′、P的坐标. 师：大家拿笔完成练习2然后上黑板来讲解生：完成解：C、B′、P各点的坐标分别是(0，4，0)，(3，4，3)， 学生在原有小结的经验的基础上，动手操作，并且锻炼学生的口才
归纳总结 （6）今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？ 生：谈收获师：总结 让学生的自信心得到增强
课外练习 布置作业见习案4.3的第一课时 学生独立完成 巩固所学知识
备选例题
例1 如图，长方体OABC – D′A′B′C′中，OA = 3，OC = 4，OD′= 3，A′B与AB′相交于点P，分别写出点C、B′、P的坐标.
【解析】C在y轴正半轴上，坐标C(0，4，0)，
B′的横坐标与A点相同，纵坐标与C点相同，竖坐标与D′点相同，
所以B′（3，4，3）.
P 为正方形的对角线交点，坐标为.
例2 如图，正方体ABCD – A1B1C1D1，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求点E、F的坐标和B1关于原点D的对称点坐标.
【解析】由B(1，1，0)，B1(1，1，1)
则中点E为，
由B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，
则中点.
设B1关于点D的对称点M(x0，y0，z0)，
即D为B1M的中点，因为D(0，0，0)，
所以，
所以M (–1，–1，–1 ).
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4.3.2 空间两点间的距离公式
（一）教学目标
1．知识与技能
使学生掌握空间两点间的距离公式
2．过程与方法
3．情态与价值观
通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程
（二）教学重点、难点
重点：空间两点间的距离公式；
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
（三）教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 在平面上任意两点A (x1，y1)，B (x2，y2)之间的距离的公式为|AB| =，那么对于空间中任意两点A (x1，y1，z1)，B (x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？ 师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。生：踊跃回答 通过类比，充分发挥学生的联想能力。
概念形成 （2）空间中任间一点P (x，y，z)到原点之间的距离公式会是怎样呢？ 师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出|OP| =. 从特殊的情况入手，化解难度
概念深化 （3）如果|OP| 是定长r，那么x2 + y2 + z2 = r2表示什么图形？ 师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x2 + y2 = r2表示的图形中，方程x2 + y2 = r2表示图形，让学生有种回归感。生：猜想说出理由 任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x2 + y2 = r2表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
（4）如果是空间中任间一点P1 (x1，y1，z1)到点P2 (x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？ 师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。得出结论：|P1P2| = 人的认识是从特殊情况到一般情况的
巩固练习1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：（1）A(2，3，5)，B(3，1，4)； （2）A(6，0，1)，B(3，5，7) 2．在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，–3，1)的距离相等. 3．求证：以A(10，–1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.4．如图，正方体OABD – D′A′B′C′的棱长为a，|AN| = 2|CN|，|BM| = 2|MC′|.求MN的长. 教师引导学生作答1．解析（1），图略（2），图略 2．解：设点M的坐标是(0，0，z). 依题意，得=. 解得z = –3. 所求点M的坐标是(0，0，–3). 3．证明：根据空间两点间距离公式，得，. 因为7+7＞，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形. 4．解：由已知，得点N的坐标为， 点M的坐标为，于是 培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理解
课外练习 布置作业 见习案4.3的第二课时 学生独立完成 巩固深化所学知识
备选例题
例1 已知点A在y轴 ，点B(0，1，2)且，则点A的坐标为 .
【解析】由题意设A(0，y，0)，则，
解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)
例2 坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A?(3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标.
【解析】由题意设P(0，y，z)，则
解得：
故点P的坐标为(0，1，1)
例3 在yOz平面上求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.
【解析】设P(0，y，z)，由题意
所以
即，所以，
所以P的坐标是(0，1，–2).
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想
先推导特殊情况下空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
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