2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
教学思路：
一、设置情景：
1、 复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、 情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和：
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：
（4）船速为，水速为，则两速度和：
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ， 规定： a + 0-= 0 + a
探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时， |+|<||+||；什么时候|+|=||+||，什么时候|+|=||－||，
当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；
当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，
当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；
若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，作 ，则.
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：+=+
５．你能证明：向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 吗？
6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P83—84）略
变式1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为，求水流的速度.
变式2、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
练习：P84面1、2、3、4题
四、小结
1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：《习案》作业十八。
六、备用习题 思考：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？
A B
C
A B
C
A B C
C A B
A
B
C
a+b
a+b
a
a
b
b
a
ｂ
ｂ
ａ＋ｂ
a
a
a
O
A
B
a
a
a
b
b
b
2.2.2向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
教学思路：
1、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
例：在四边形中， . 解：
2、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b， b = a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a b
∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O，
作= a， = b 则= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1表示a b. 强调：差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b)
4． 探究：
1） 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b a.
２）若a∥b， 如何作出a b ？
3、 例题：
例一、（P86 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.
解：在平面上取一点O，作= a， = b， = c， = d，
作， ， 则= ab， = cd
例二、平行四边形中，a，b， 用a、b表示向量、.
解：由平行四边形法则得： = a + b， = = ab
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a， b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相等向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
练习：1。Ｐ87面1、2题
2．在△ABC中， =a， =b，则等于( B )?
A.a+b? B.-a+(-b)? C.a-b? D.b-a?
四：小结：向量减法的定义、作图法|
五：作业：《习案》作业十九
O
a
b
B
a
b
ab
O
A
B
a
B’
b
b
b
B
a+ (b)
a
b
ab
A
A
B
B
B’
O
ab
a
a
b
b
O
A
O
B
ab
ab
B
A
O
b
A
B
C
D
O
b
a
d
c
A B
D C
2.2.3 向量的数乘运算及几何意义（1）
一、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
二、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律。
三、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量，求作和．
如图：，．
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
3．例1 计算：（1）； （2）；
（3）．
解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．
例2．已知向量和向量，求作向量
4．练习
计算： （1）
（2）
（3）教材P90面5题
5．思考
例3．
例4．教材例7。
三、课堂练习：教材P90面1、2、3、4题
四、小结：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
3．向量共线的条件
五、作业：《习案》作业二十。
2.2.3 向量数乘运算及几何意义（2）
一、教学目标：
（1）理解并掌握共线向量定理，并会判断两个向量是否共线。
（2）能运用向量判断点共线、线共点等。
二、教学重、难点：
（1）共线向量定理
（2）共线向量定理应用。
三、教学过程：
（一）复习：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
3．向量共线定理：
定理： 如果有一个实数，使 （），那么向量与是共线向量；反之，如果向量与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得．
（二）新课讲解：
1．向量共线问题：
例1、
例2、
例3、教材P89面例6
例4。
四、课堂练习： P90面6题
五、小结：1．掌握向量数乘运算的定义；
2．掌握向量数乘运算的运算律，并进行有关的计算；
3．理解两向量共线（平行）的条件，并会判断两个向量是否共线、点共线。
课后思考
1．
2．
3．
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