人教版高中数学文科选修1-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：44【基础】直接证明与间接证明（文）

直接证明与间接证明
【学习目标】
1. 掌握用综合法证题的思路和特点。
2. 掌握用分析法证题的思路和叙述方式．
3．掌握间接证明中的常用方法——反证法的思维过程和特点．
【要点梳理】
要点一、综合法证题
1．定义：
一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
2．综合法的的基本思路：执因索果
综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题．
综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．
3．综合法的思维框图：
用/表示已知条件，/为定义、定理、公理等，/表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
/
（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）
要点诠释
（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；
（2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；
（3）因用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为：
/
故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．
所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”．
4．综合法证明不等式时常用的不等式
（1）a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）；
（2）/（a，b∈R*，当且仅当a=b时取“=”号）；
（3）a2≥0，|a|≥0，(a－b)2≥0；
（4）/（a，b同号）；/（a，b异号）；
（5）a，b∈R，/，
（6）不等式的性质
定理1 对称性：a＞b/b＜a。
定理2 传递性：/。
定理3 加法性质：/。
推论 /。
定理4 乘法性质：/。
推论1 /。
推论2 /。
定理5 开方性质：/。
要点二、分析法证题
1．定义：
一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.
2．分析法的基本思路：执果索因
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。
3．分析法的思维框图：
用/表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，/所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：
/
（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）
4．分析法的格式：
要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。
要点诠释：
（1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件．
（2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述．
5．综合法与分析法的横向联系
（1） 综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用．
分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁．
我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程．分析法一般用于综合法难以实施的时候．
（2） 有些不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”．
分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．
命题“若P则Q”的推演过程可表示为：
/
要点三、反证法证题
间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法．
　1．反证法定义：
一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.　
2．反证法的基本思路：假设——矛盾——肯定”
①分清命题的条件和结论．
②做出与命题结论相矛盾的假设．
③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．
3．反证法的格式：
用反证法证明命题“若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：
/
要点诠释：
（1）反证法是间接证明的一种基本方法.
它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.
(2) 反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.
4．反证法的一般步骤：
（1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；
（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；
（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．
要点诠释：
（1）结论的反面即结论的否定，要特别注意：
“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”，不是“都不是”；
“都有”的反面为“不都有”，即“至少有一个没有”，不是“都没有”；
“都不是”的反面是“部分是或全部是”，即“至少有一个是”，不是“都是”；
“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少有一个有”，不是“都有”
（2）归谬的主要类型：
①与已知条件矛盾；
②与假设矛盾（自相矛盾）；
③与定义、定理、公理、事实矛盾．
5．宜用反证法证明的题型：
① 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等；
② 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.
要点诠释：
反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果．
【典型例题】
类型一、利用综合法证明有关命题
例1．求证：/
【思路点拨】综合法常常变形不等式左边，然后利用公式和性质往右推。
【解析】∵ /，∴左边////∵/，　
∴/.
【总结升华】 利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论，
本题待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式，/转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.
举一反三：
【变式1】设/、/是互不相等的正数，且/，试用综合法证明：/．
【答案】因为/，
所以/.
【变式2】已知/，/，试用综合法证明： /.
【答案】 因为/，/， 所以/；
又因为/，/；所以/.
因此/.
例2. 已知数列/满足/, /，/．
求证：/是等比数列；
【思路点拨】根据等比数列的定义变形。
【解析】由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2)
　　　　　　∵a1＝5，a2＝5　　∴a2＋2a1＝15
故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列
【总结升华】
本题从已知条件入手，分析数列间的相互关系，合理实现了数列间的转化，从而使问题获解，综合法是直接证明中最常用的证明方法。
举一反三：
【变式】已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1。
（1）设bn=an+1－2an（n=1，2，…），求证：数列{bn}是等比数列。
（2）设/（n=1，2，…），求证：数列{cn}是等差数列。
【答案】（1）∵Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2，
两式相减，得Sn+2―Sn+1=4an+1―4an（n=1，2，3，…）,
即an+2=4an+1―4an，变形得an+2―2an+1=2(an+1―2an)。
∵bn=an+1－2an（n=1，2，…），
∴bn+1=2bn（n=1，2，…）。
由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列。
由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1，
得a2=5，b1=a2―2a1=3。故bn=3·2n―1。
（2）∵/（n=1，2，…）
∴/
将bn=3·2n－1代入，得/（n=1，2，…）。
由此可知，数列{cn}是公差/的等差数列，它的首项/，故/。
例3．如图，设在四面体/中，/，/，/是/的中点.
求证：/垂直于/所在的平面.
/
【思路点拨】要证/垂直于/所在的平面，只需在/所在的平面内找到两条相交直线与/垂直.
【解析】
连/、/
因为/是/斜边上的中线，
所以/
又因为/,而/是/、/、/的公共边，
所以///
于是/,
而/，因此/
∴/，/
由此可知/垂直于/所在的平面.
【总结升华】 利用综合法证明立体几何中线线、线面和面面关系的关键在于熟练地运用判定定理和性质定理。这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家，供参考：
（1）由已知/是/斜边上的中线，推出/，记为/（已知）//；
（2）由/和已知条件，推出三个三角形全等，记为/；
（3）由三个三角形全等，推出//，记为/；
（4）由/推出//，记为/（结论）.
这个证明步骤用符号表示就是/（已知）/（结论）.
举一反三：
【变式】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
求证：（1）PA∥平面EDB；
（2）PB⊥平面EFD。
【答案】
（1）连结AC交BD于O，连结EO。
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点，
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO。
而EO/平面EDB且PA/平面EDB，∴PA∥平面EDB。
（2）PD⊥底面ABCD且DC/底面ABCD，∴PD⊥DC。
由PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，
而DE是斜边PC上的中线，∴DE⊥PC。①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。
而DE/平面PDC，∴BC⊥DE。②
由①和②推得DE⊥平面PBC。而PB/平面PBC，∴DE⊥PB。
又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD。
类型二、 利用分析法证明有关命题
例4．（2018春 福州期中）证明：当x≥4时，。
【解析】当x≥4时
要证
只需证
只需证
即证
只需证x2－5x+6＞x2－5x+4
即证6＞4
显然上式成立，
所以原不等式成立，即
【总结升华】　　1. 在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法.　　2. 用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”“也即证”等词语．
举一反三：
【变式1】 已知/、/是正数，用分析法证明: /.
【答案】
要证 /成立，
只需证/成立，
即证/.
即证/，
也就是要证/,即/.
该式显然成立，所以/.
【变式2】已知/，求证：/
【答案】要证/
只需证/，
/，/只需证/，即/
欲证/，只需证/，即/显然成立。
欲证/，只需证/，即/显然成立。
/成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立。
例5.求证：/
【思路点拨】
由于本题所给的条件较少，且不等式中项都是根式的形式，因而用综合法证明比较困难.这时，可从结论出发，逐步反推，寻找使命题成立的充分条件；此外，若注意到/，/，也可用综合法证明.
【解析】
法一：分析法
要证/成立，
只需证明/，
两边平方得//，
所以只需证明//，
两边平方得/，
即/，
∵/恒成立，
∴原不等式得证.
法二：综合法
∵/，/，
/，
∴/.
∴/.
∴/. 即原不等式成立.
【总结升华】
1.在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法.
2．综合法写出的证明过程条理清晰，易于理解；但综合法的证题思路并不容易想到，因此，在一般的证题过程中，往往是先用分析法寻找解题思路，再用综合法书写证明过程.
?举一反三：
【变式】设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：/＋/＞/
证明一：(分析法)
要证/+/＞/成立，
只需证(a+b)( /-ab+/)＞ab(a+b)成立，
即需证/-ab+/＞ab成立。(∵a+b＞0)
只需证/-2ab+/＞0成立，
即需证/＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以/＞0显然成立，由此命题得证。
证明二：(综合法)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴/＞0，即/-2ab+/＞0
亦即/-ab+/＞ab
由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)( /-ab+/)＞(a+b)ab
即/+/＞/，由此命题得证。
类型三、反证法证明相关问题
例6. 求证:若一个整数的平方是偶数，则这个数也是偶数.
【解析】假设这个数是奇数,可以设为/，/，
则有/，
而/不是偶数，这与原命题的条件矛盾.
【总结升华】
结论中含有“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适宜应用反证法．
?举一反三：
【变式1】设{an}是公比为q的等比数列，Sn为它的前n项和．
（1）求证：数列{Sn}不是等比数列．
（2）数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
【答案】
假设{Sn}是等比数列，则/，
即/．
∵a1≠0，∴(1+q)2=1+q+q2．
即q=0，与等比数列中公比q≠0矛盾．
故{Sn}不是等比数列．
【变式2】 证明/不可能成等差数列．
【答案】
（一）：假设/成等差数列，即/，下面（用分析法）证明/．
要证/，
只需证/，
即证/，即证/，
即证/，而该式显然成立，
故/，这与假设相矛盾，
所以假设不成立，从而/不成等差数列．
（二）：假设/成等差数列，即/，下面（用综合法）证明/．
/，/，/，
即/，
即/，
//，这与假设相矛盾，
故假设不成立，从而/不成等差数列．
【变式2】证明：/是无理数.
【答案】假设/不是无理数.即/是有理数，那么必存在整数/，
使得/，其中/为既约分数，则/，所以/，于是
/能整除/，从而/为偶数，设/，所以/，
即/，所以2能整除/，于是m,n均为偶数，这与/为既约分数
矛盾，所以假设不成立。从而原命题成立，即/是无理数.
例7. 如图所示，已知a，b，c是同一平面内的三条直线，a⊥c，b与c不垂直，
求证：a与b必相交．
【解析】
证法一：
假设a与b不相交，则a∥b，所以∠1=∠2．
由于b与c不垂直，则∠2≠90°，即∠1≠90°，
所以a与c不垂直，这与已知条件矛盾，所以a与b必相交．
证法二：
假设a与b不相交，则a∥b，所以∠1=∠2．
因为a⊥c，所以∠1=90°，即∠2=90°，
所以b⊥c，这与已知b与c不垂直矛盾，所以a与b必相交．
证法三：
假设a与b不相交，则a∥b，所以∠1=∠2．
又b与c不垂直，则∠2≠90°，即∠1≠90°．
又因为a⊥c，所以∠1=90°，得出∠1≠90°与∠1=90°自相矛盾，所以a与b必相交．
【总结升华】题设简单明了，从正面入手较难，而反面易于导出矛盾的命题，常用反证法．
用直接法难以下手，但其结论的反面非常明显，因此用反证法证明比较方便．上面用三种证法推出不同的矛盾，可见导出矛盾的方法并不唯一，找准证明方向，推理过程严密，问题便迎刃而解．
举一反三：
【变式】求证：两条相交直线有且只有一个交点．
【答案】假设结论不成立，即有两种可能：
（1）若直线a、b无交点，那么a∥b，与已知矛盾；
（2）若直线a、b不止有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A、B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
例8.若/都是正实数，/，求证: /、/中至少有一个成立.
【思路点拨】“至多”或“至少”语句的证明宜用反证法。
【解析】
假设/和/都不成立，则有/和/同时成立.
因为/且/，所以/且/.
两式相加得 /，
所以/， 这与已知条件/矛盾，
所以/、/中至少有一个成立.
【总结升华】从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形的问题多用反证法.比如带有“至少有一个”等字样的数学问题.
举一反三：
【变式】已知/，求证：/中至少有一个大于/.
【答案】假设/都小于或等于/，
因为 /，所以/三者同为正或一正两负，
又因为/，所以/三者中有两负一正，
不妨设/，则/
由均值不等式得/，即/，
解得/，与假设矛盾，所以 /中至少有一个大于/.
【巩固练习】
一、选择题
1．分析法是（ ）
A．执果索因的逆推法 B．执因导果的顺推法
C．因果分别互推的两头凑法 D．逆命题的证明方法
2．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立(　　)
A．不成立 B．成立
C．不能断定 D．能断定
3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是(　　)
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
4．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5.设a，b是两个实数，给出下列条件：
(1)a＋b>1；(2)a＋b＝2；(3)a＋b>2；(4)a2＋b2>2；(5)ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)
A．(2)(3) B．(1)(2)(3)
C．(3) D．(3)(4)(5)
6. （2018春 赣州期末）若，则P，Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值确定
7.（2018 石景山区一模）德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1。对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（ ）
A．4 B．6 C．32 D．128
8．设a、b、c都是正数，则三个数/，/，/（ ）．
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
二、填空题
9．用反证法证明命题：若p则q，其第一步是反设命题的结论不成立，正确的反设是________。
10.要证明不等式/成立，只需证明：
11．如果x，y，x满足z＜y＜x，且xz＜0，那么①xy＞xz；②z(y－x)＞0；③zy2＜xy2；④xz(x－z)＜0中，正确命题的序号是________。
12．若x≥1，则x与lnx的大小关系为________．
三、解答题
13.. 若/且/，求证：/
14．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.证明l1与l2相交；
15．在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 由分析法的定义知A正确，故选A。
2.【答案】　B
【解析】　∵Sn＝2n2－3n，
∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式．
∵an＋1－an＝4(n≥1)为常数，
∴{an}是等差数列．
3. 【答案】　B
【解析】　至少有一个不大于60°的反面是都大于60°.
4. 【答案】C
【解析】在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，
即2/·a＝c.
∴a2＋c2－b2＝c2，∴a2＝b2，∴a＝b.
∴△ABC是等腰三角形，选C.
5.【答案】　C
【解析】　本题可用特值法，令a＝b＝/知(1)不行，令a＝b＝1知(2)不行，令a＝b＝－2知(4)(5)都不成立．
6.【答案】C
【解析】∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证：，
只要证：a2+7a＜a2+7a+12，只要证：0＜12，∵0＜12成立，∴P＜Q成立，故选C。
7.【答案】B
【解析】如果正整数n按照上述规则施行变换后的第八项为1，则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是15，变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第项是1或8，变换中的第1项是2或16变换中的第4项是16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128，21，或20，3，则n的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128共6个，故选B。
8．【答案】C
【解析】 /，当且仅当a=b=c=1时取“=”。故选C。
9．【答案】非q
【解析】 对“若p则q”的否定已经不是“四种命题”中的任何一种，而是命题：p且非q，即反设命题的结论不成立为非q。
10. 【答案】/
【解析】 常见的变形手段是平方，这样可消去或减少根号。
11．【答案】①②④
【解析】 ①∵/成立；
②∵/成立；
③∵z＜y＜x且xz＜0，∴x＞0且z＜0，
当y=0时，zy2=xy2；
当y≠0时，zy2＜xy2。故③不正确。
④∵x＞z，∴x－z＞0，
又∵xz＜0，∴(x－z)xz＜0成立。
12. 【答案】x>lnx
【解析】　设f(x)＝x－lnx(x≥1)，
则f′(x)＝1－/＝/，
当x≥1时，f′(x)≥0恒成立，
∴f(x)＝x－lnx在[1，＋∞)上是增函数．
又f(1)＝1－ln1＝1>0，∴x>lnx.
13. 【解析】
要证/，只需证/
即/，因/，只需证/
即/，
设/，则/
/成立，从而/成立
14. 【解析】
　假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，则k1＝k2
∵k1·k2＋2＝0，
∴k1·k1＋2＝0，
即k2＝－2不可能，故假设错误，∴l1与l2相交
15. 【解析】
由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C. ①
因为A、B、C为△ABC的内角，
所以A＋B＋C＝π. ②
由①②得，B＝/. ③
由a、b、c成等比数列，有b2＝ac. ④
由余弦定理及③可得，
b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.
再由④得，a2＋c2－ac＝ac.
即(a－c)2＝0，因此a＝c.
从而有A＝C. ⑤
由②③⑤得，A＝B＝C＝/.
所以△ABC为等边三角形．