人教版高中数学文科选修1-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：45【提高】直接证明与间接证明（文）

直接证明与间接证明
【学习目标】
1. 掌握用综合法证题的思路和特点。
2. 掌握用分析法证题的思路和叙述方式．
3．掌握间接证明中的常用方法——反证法的思维过程和特点．
【要点梳理】
要点一、综合法证题
1．定义：
一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
2．综合法的的基本思路：执因索果
综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题．
综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．
3．综合法的思维框图：
用/表示已知条件，/为定义、定理、公理等，/表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
/
（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）
要点诠释
（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；
（2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；
（3）因用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为：
/
故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．
所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”．
4．综合法证明不等式时常用的不等式
（1）a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）；
（2）/（a，b∈R*，当且仅当a=b时取“=”号）；
（3）a2≥0，|a|≥0，(a－b)2≥0；
（4）/（a，b同号）；/（a，b异号）；
（5）a，b∈R，/，
（6）不等式的性质
定理1 对称性：a＞b/b＜a。
定理2 传递性：/。
定理3 加法性质：/。
推论 /。
定理4 乘法性质：/。
推论1 /。
推论2 /。
定理5 开方性质：/。
要点二、分析法证题
1．定义：
一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.
2．分析法的基本思路：执果索因
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。
3．分析法的思维框图：
用/表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，/所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：
/
（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）
4．分析法的格式：
要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。
要点诠释：
（1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件．
（2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述．
5．综合法与分析法的横向联系
（1） 综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用．
分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁．
我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程．分析法一般用于综合法难以实施的时候．
（2） 有些不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”．
分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．
命题“若P则Q”的推演过程可表示为：
/
要点三、反证法证题
间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法．
　1．反证法定义：
一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.　
2．反证法的基本思路：假设——矛盾——肯定”
①分清命题的条件和结论．
②做出与命题结论相矛盾的假设．
③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．
3．反证法的格式：
用反证法证明命题“若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：
/
要点诠释：
（1）反证法是间接证明的一种基本方法.
它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.
(2) 反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.
4．反证法的一般步骤：
（1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；
（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；
（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．
要点诠释：
（1）结论的反面即结论的否定，要特别注意：
“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”，不是“都不是”；
“都有”的反面为“不都有”，即“至少有一个没有”，不是“都没有”；
“都不是”的反面是“部分是或全部是”，即“至少有一个是”，不是“都是”；
“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少有一个有”，不是“都有”
（2）归谬的主要类型：
①与已知条件矛盾；
②与假设矛盾（自相矛盾）；
③与定义、定理、公理、事实矛盾．
5．宜用反证法证明的题型：
① 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等；
② 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.
要点诠释：
反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果．
【典型例题】
类型一、利用综合法证明有关命题
例1．如果/都是正数，且/，求证：/．
【思路点拨】当不等式左右结构形式不易直接用公式时，考虑比差法。
【解析】 因为/
/
　　　 ＝/
＝/，
又因为/且/，
所以//，
即/．
【总结升华】
比差法属于综合法的一种，利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论。本题首先做差，然后对差式分解因式，判断各因式的正负，进而判断出差值为正。
举一反三：
【变式1】 已知a，b是正数，且a+b=1，求证：/。
【答案】
证法一：∵a，b∈R，且a+b=1，
∴/，∴/，
∴/。
证法二：∵a，b∈R+，∴/，/，
∴/。
又a+b=1，∴/。
证法三：/。
当且仅当a=b时，取“=”号。
【变式2】求证：/
【答案】
待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式，/转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.
∵ /，∴左边////∵/，　
∴/.
例2．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1。
（1）设bn=an+1－2an（n=1，2，…），求证：数列{bn}是等比数列。
（2）设/（n=1，2，…）， 求证：数列{cn}是等差数列。
【思路点拨】根据等比数列的定义变形。
【解析】（1）∵Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2，
两式相减，得Sn+2―Sn+1=4an+1―4an（n=1，2，3，…）,
即an+2=4an+1―4an，变形得an+2―2an+1=2(an+1―2an)。
∵bn=an+1－2an（n=1，2，…），
∴bn+1=2bn（n=1，2，…）。
由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列。
由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1，
得a2=5，b1=a2―2a1=3。故bn=3·2n―1。
（2）∵/（n=1，2，…）
∴/
将bn=3·2n－1代入，得/（n=1，2，…）。
由此可知，数列{cn}是公差/的等差数列，它的首项/，故/。
【总结升华】 本题从已知条件入手，分析数列间的相互关系，合理实现了数列间的转化，从而使问题获解，综合法是直接证明中最常用的证明方法。
举一反三：
【变式1】已知数列/满足/, /，/．
求证：/是等比数列；
【答案】 由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2)
∵a1＝5，a2＝5∴a2＋2a1＝15
故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列
【变式2】在△ABC中，若a2=b(b+c)，求证：A=2B。
【答案】
∵a2=b(b+c)，/，
又/
/，∴cosA=cos2B。
又A、B是三角形的内角，故A=2B。
例3.如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是正方形，SA平面ABCD，
且 SA=AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．
求证：（1）EF⊥CD； （2）平面SCD⊥平面SCE．
【解析】（1）∵SA⊥平面ABCD，F为SC的中点，
∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线。∴/。
又∵四边形ABCD是正方形，∴CB⊥AB。
而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA，∴CB⊥平面SAB。
又∵SB/平面SAB，∴CB⊥SB。
∴BF为Rt△SBC的斜边SC上的中线，∴/。
∴AF=BF，∴△AFB为等腰三角形。
又E为AB的中点，∴EF⊥AB。
又CD∥AB，∴EF⊥CD。
（2）由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE，
SE=EC，即△SEC是等腰三角形，∴EF⊥SC。
又∵EF⊥CD且SC∩CD=C，∴EF⊥平面SCD。
又EF/平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE。
【总结升华】 利用综合法证明立体几何中线线、线面和面面关系的关键在于熟练地运用判定定理和性质定理。
举一反三：
【变式】如图，设在四面体/中，/，/，/是/的中点.
求证：/垂直于/所在的平面.
/
【答案】
连/、/
因为/是/斜边上的中线，
所以/
又因为/,而/是/、/、/的公共边，
所以///
于是/,
而/，因此/
∴/，/
由此可知/垂直于/所在的平面.
类型二、 利用分析法证明有关命题
例4．（2018 宿迁三模）已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：ba＞ab。
【解析】证明：∵ba＞0，ab＞0，
∴要证：ba＞ab
只要证：alnb＞blna
只要证。（∵a＞b＞e）
取函数，∵
∴当x＞e时，f＇（x）＜0，∴函数f（x）在（e，+∞）上是单调递减。
∴当a＞b＞e时，有f（b）＞f（a），
即。得证。
【总结升华】　　1. 在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法.　　2. 用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”“也即证”等词语．
举一反三：
【变式1】设/、/，且/，用分析法证明：/．
【答案】
要证/成立，
只需证/ 成立，
即证/成立，
即证/成立，
也就是要证/成立，
因为/、/，且/，
所以/显然成立，由此原不等式得证.
【变式2】设a，b，c，d∈R，求证：/．
【答案】
当ac+bc≤0时，不等式显然成立。
当ac+bd＞0时，要证明/，
只需证明(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)，
即证明a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，
只需证明2abcd≤a2d2+b2c2，
只需证明(ad－bc)2≥0。
而上式成立，∴/成立。
【变式3】求证：/
【答案】分析法：
要证/成立，
只需证明/，
两边平方得//，
所以只需证明//，
两边平方得/，
即/，
∵/恒成立，
∴原不等式得证.
例5.若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg/+ lg/+ lg/＞lga+lgb+lgc。
【思路点拨】注意到不等式左右两边均为和式结构，考虑用若干次均值不等式后相加。
【解析】要证lg/+ lg/+ lg/＞lga+lgb+lgc，
只需证lg/·/·/>lg（a·b·c），
只需证/·/·/＞abc。
但是，//，//，//。
且上述三式中的等号不全成立，所以，
/·/·/＞abc。
因此lg/+ lg/+ lg/＞lga+lgb+lgc。
【总结升华】这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法。
在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的。没有分析就没有综合；没有综合也没有分析。问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚刚相反，是综合法导主导地位，而分析法伴随着它。
举一反三：
【变式1】设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：/＋/＞/
【答案】
证明一：(分析法)
要证/+/＞/成立，
只需证(a+b)( /-ab+/)＞ab(a+b)成立，
即需证/-ab+/＞ab成立。(∵a+b＞0)
只需证/-2ab+/＞0成立，
即需证/＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以/＞0显然成立，由此命题得证。
证明二：(综合法)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴/＞0，即/-2ab+/＞0
亦即/-ab+/＞ab
由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)( /-ab+/)＞(a+b)ab
即/+/＞/，由此命题得证。
【变式2】/的三个内角/成等差数列，求证：/
【答案】要证原式成立，只要证/，
即只要证/
即只要证/；
而/，所以/，
由余弦定理得/
所以/.
【变式3】已知/，求证：/
要证/
只需证/，
/，/只需证/，即/
欲证/，只需证/，即/显然成立。
欲证/，只需证/，即/显然成立。
/成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立。
类型三、反证法证明相关问题
例6．证明/不可能成等差数列．
【思路点拨】证明含有“不”“没有”“无”等否定性词语的命题，应考虑反证法。
【解析】（一）：假设/成等差数列，即/，下面用分析法证明。
要证/，
只需证/，
即证/，即证/，
即证/，而该式显然成立，
故/，这与假设相矛盾，
所以假设不成立，从而/不成等差数列．
（二）：假设/成等差数列，即/，下面用综合法证明．
/，/，/，
即/，
即/，
//，这与假设相矛盾，
故假设不成立，从而/不成等差数列．
【总结升华】
结论中含有“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适宜应用反证法．
举一反三：
【变式1】已知a、b、c成等差数列且公差/，求证：/、/、/不可能成等差数列
【答案】/ a、b、c成等差数列，/
假设/、/、/成等差数列，则/，/从而/与/矛盾，/、/、/不可能成等差数列
【变式2】
设{an}是公比为q的等比数列，Sn为它的前n项和．
（1）求证：数列{Sn}不是等比数列．
（2）数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
【答案】
假设{Sn}是等比数列，则/，
即/．
∵a1≠0，∴(1+q)2=1+q+q2．
即q=0，与等比数列中公比q≠0矛盾．
故{Sn}不是等比数列．
（2）解：①当q=1时，Sn=na1，n∈N*，数列{Sn}是等差数列．
②当q≠1时，{Sn}不是等差数列，下面用反证法证明：
假设数列{Sn}是等差数列，则S1，S2，S3成等差数列，即2S2=S1+S3，
∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2)．
∵a1≠0，∴2+2q=1+1+q+q2，得q=q2．
∵q≠1，∴q=0，这与等比数列中公比q≠0矛盾．
从而当q≠1时，{Sn}不是等差数列．
综上①②可知，当q=1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．
例7. 若/、/、/均为实数，且/，/，/.求证：/、/、/中至少有一个大于0.
【思路点拨】“至多”或“至少”语句的证明宜用反证法。
【解析】设/、/、/都不大于0，则/、/、/，
所以/.
而/
/
/，
所以/，这与/矛盾，
故/、/、/中至少有一个大于0.
【总结升华】从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形的问题多用反证法.比如这类带有“至少有一个”等字样的数学问题.
举一反三：
【变式】
已知/，求证：/中至少有一个大于/.
【答案】
假设/都小于或等于/，
因为 /，所以/三者同为正或一正两负，
又因为/，所以/三者中有两负一正，
不妨设/，则/
由均值不等式得/，即/，
解得/，与假设矛盾，所以 /中至少有一个大于/.
例8．已知：直线a以及A/a．
求证：经过直线a和点A有且只有一个平面．
【解析】
（1）“存在性”，在直线a上任取两点B、C，如图．
∵A/a，B∈a，C∈a，∴A、B、C三点不在同一直线上．
∴过A、B、C三点有且只有一个平面/
∵B∈/，C∈/，∴a//，即过直线a和点A有一个平面/．
（2）“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面β．
∵A/a，B∈a，C∈a，∴B∈/，C∈/．
∴过不共线的三点A、B、C有两个平面/、/，这与公理矛盾．
∴假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面/，而只能有一个平面/。
【总结升华】 这里证明“唯一性”时用了反证法．对于“唯一性”问题往往使用反证法进行证明，要注意与“同一法”的区别与联系．
举一反三：
【变式】求证：两条相交直线有且只有一个交点．
【答案】假设结论不成立，即有两种可能：
（1）若直线a、b无交点，那么a∥b，与已知矛盾；
（2）若直线a、b不止有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A、B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
【变式2】证明：函数/的最小正周期为/.
【答案】对任意实数/，由于/与/的终边重合，根据正弦函数的定义
可知/，
所以/是函数/的周期.
下面证明/是最小的正数周期.假设存在实数/，满足/，
且/对任意实数x都成立，则
当/时，有/，
因为/，所以/.
又当 /时，因为/，而
/，所以/，从而/不是周期，
与假设矛盾.从而不存在比/小的实数/，使得/恒成立，
从而/是最小正周期.
【巩固练习】
一、选择题
1.命题“对于任意角/，/”的证明：
//
上面的证明过程应用了 （ ）
A．分析法 B．综合法 C．分析法与综合法结合使用 D．间接证法
2．a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3. （2018春 广西期末）用反证证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为（ ）
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少两个偶数
4．已知tan/=2，则sin2/+sin/cos/－2cos/=（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．/
5．设x、y、z∈(0，＋∞)，a＝x＋/，b＝y＋/，c＝z＋/，则a、b、c三数(　　)
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
6．已知函数/，若0＜x1＜x2＜1，则（ ）
A．/ B．/
C．/ D．无法判断/与/的大小
7．已知二次函数/的导数为/，/，对于任意实数/，都有/，则/的最小值为 ( )
A 3 B / C 2 D /
二、填空题
8. （2018秋 湘桥区校级期末）比较大小：（用“＞”或“＜”符号填空）.
9．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件：
①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.
如果命题“α∩β＝a，b?γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．
10．函数//的图象恒过定点A，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则/的最小值为________。
11．完成反证法证题的全过程．
已知：设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p=(a1－1)(a2－2)·…·(a7－7)为偶数．
证明：反设p为奇数，则________均为奇数．
因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数=________
=________
=0．
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
三、解答题
12．在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，
a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
13.求证：在锐角三角形中，两内角的正切之积大于1．
14. 已知/，求证：/
15．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B<90°.
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】这种由已知推向结论的方法，显然为综合法。
2．【答案】C
【解析】 当a=3时，直线/，/，显然/，故选C。
3. 【答案】D
【解析】∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”，可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数，∴反设的内容是假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数。故选D。
4．【答案】D
【解析】 方法1：∵tan/=2，∴/在第Ⅰ或第Ⅲ象限，而无论/在第Ⅰ或第Ⅲ象限，sin/与cos/均同号，故不妨设/在第Ⅰ象限，然后利用直角三角形知识求解。
如图所示，可得/，/，
则/，故选D。
方法2：/
/，故选D。
5. 【答案】C
【解析】a＋b＋c＝x＋/+/+ y＋/+ z ≥ 6，因此a、b、c至少有一个不小于2，故选C.
6．【答案】C
【解析】 画出函数/的图象（如图），根据/及/的几何意义即OA、OB的斜率，以及0＜x1＜x2＜1，可得出答案为C。
/
7．【答案】D
【解析】 /，由/，得/；
又对于任意实数/，都有/，所以/且/，于是/.
所以/，所以/，即/；
所以/.
8. 【答案】>
【解析】∵，，
又∵，∴，故答案为：＞。
9. 【答案】①或③
【解析】若填入①，则由a∥γ，b?β，b?γ，b＝β∩γ，则a∥b.
若填入③，则由a?γ，a＝α∩β，则a＝(α∩β∩γ)，又b?γ，b∥β，则b∥a.
若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，b?γ，a?β，则此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b.或直接通过反例否定②.
10. 【答案】8
【解析】 由题意得A（―2，―1），点A在直线mx+ny+1=0上，则―2m―n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0。
∴/。当且仅当/，即当/，/时等号成立。故/的最小值为8。
11．【答案】
a1―1，a2―2，…，a7―7 (a1―1)+(a2―2)+…+(a7―7) (a1+a2+…+a7)―(1+2+…+7)
【解析】典型的反证法证题思路。
12.【解析】
　要证明三角形ABC为正三角形，可证三条边相等或三个角相等．
证明　由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C. ①
因为A、B、C为△ABC的内角，
所以A＋B＋C＝π. ②
由①②得，B＝/. ③
由a、b、c成等比数列，有b2＝ac. ④
由余弦定理及③可得，
b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.
再由④得，a2＋c2－ac＝ac.
即(a－c)2＝0，因此a＝c.
从而有A＝C. ⑤
由②③⑤得，A＝B＝C＝/.
所以△ABC为等边三角形．
13. 【解析】
设锐角三角形的三内角为/、/、/，依题意，即证/.
要证上式成立，只需证明/，
因为/、/都是锐角，所以/、/都大于零，
所以即证 /，
只需证/成立，
即证/成立，
因为/也为锐角，所以/为钝角，所以/成立
所以在锐角三角形中，两内角的正切之积大于1．
14.【解析】
///
//，
/显然成立，故/成立
15. 【解析】
假设∠B<90°不成立，即∠B≥90°，从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，即b>a，b>c.∴/>/，/>/.相加得/＋/>/＋/＝/，与/＋/＝/矛盾．故∠B≥90°不成立．故∠B<90°.