人教版高中数学文科选修1-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：46《推理与证明》全章复习与巩固
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学文科选修1-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：46《推理与证明》全章复习与巩固 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 465.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-18 11:56:31 | ||
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文档简介
《推理与证明》全章复习与巩固
【学习目标】
1. 了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理；
2. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；
3. 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；
4. 了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程、特点.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：有关推理概念
归纳推理：
又称归纳法，是从特殊到一般、部分到整体的推理．根据归纳对象是否完备，分为完全归纳法和不完全归纳法．完全归纳法是根据某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况作出的关于该类事物的一般性结论的推理；不完全归纳法是根据某类事物中的一部分对象具有某种特征而作出该类事物都具有这一特征的一般性结论的推理．由于仅列举了归纳对象中的一小部分，因此得出的结论与前提未必有必然的联系，故其结论未必正确，必须经过理论的证明和实践的检验．
类比推理：
又称类比法，是由特殊到特殊的推理．这是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的“开拓型”“发散型”思维方式．和归纳推理一样，能由已知推测未知，推理的结论也不一定为真，有待进一步证明，通常情况下，类比的相似性越多，类比得出的结论就越可靠．
演绎推理：
又称演绎法．是从一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式．演绎推理的结论完全蕴涵于前提之中．它是“封闭型”的思维方法，只要前提真实，逻辑形式正确，则结论必然真实，但由它一般不能取得突破性进展．故合情推理与演绎推理各有侧重，相辅相成．合情推理有助于发现新事物、新结论、新规律，演绎推理保证结论的可靠性，去伪存真．
要点诠释：
演绎推理更注重推理的形式规则，常见的有假言推理、关系推理、三段论推理．
三段论推理：其一般形式为：大前提：所有M都是P；小前提：S是M；结论：S是P．
要点二：有关证明方法
综合法
综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法，是数学推理证明中的主要方法．即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待征结论或需求问题．如果要证明的命题是，那么证明步骤用符号表示为p(已知)…．
分析法
分析法就是从待征结论出发，一步一步探索下去，寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．用分析法证明的逻辑关系：q(结论)…(已知)．
要点诠释：
综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难．在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用，转换解题思路，增加解题途径．
间接证法
间接证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真，间接达到目的．反证法就是间接证法的一种．
反证法证题步骤为：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．
(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾．
(3)由矛盾判断假设不成立．从而肯定命题的结论成立．
反证法导出矛盾常见的有以下几种情况：
①导出非p为真，即与原命题的条件矛盾．
②导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾．
③导出一个与定义、公理、定理等矛盾的命题．
要点诠释：
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p则q”的否定是“若p则q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p则q”为假，从而可以导出“若p则q”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性，唯一性命题；至多，至少型问题；几何问题．
【典型例题】
类型一：合情推理与演绎推理
例1. 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①________________________________；
充要条件②________________________________．
(写出你认为正确的两个充要条件)
【思路点拨】由平面几何图形的性质类比立体几何图形的性质时要做到点类比线、线类比面、面类比体．
【解析】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点，底面是平行四边形(填任意两个即可)
【总结升华】本题考查类比推理，其关键是掌握由平面几何图形的性质类比立体几何图形的性质时，元素间的对应关系．
举一反三：
【变式1】在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．
【答案】.
【变式2】观察图中各正方形图案，每条边上有n≥2个圆点，第n个图案中圆点的总数是．
按此规律推断出与n的关系式为_________．
【答案】
【解析】依图构造规律可以看出：，即四角四顶点重复计数一次．
S3＝3×4-4＝(3-1)×4；
S4＝4×4-4＝(4-1)×4，…
猜想：(n≥2，且n∈N+)．
例2. 已知函数(a＞0且a≠1)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1＜x2)是图象上两点，证明直线AB的斜率大于零．
【解析】 当a＞1时，是增函数，
设0＜x1＜x2，则1＜＜，于是0＜＜，
故，即．
当0＜a＜1时，是减函数，
设x1＜x2＜0，则，于是，
故，即y1＜y2．
∴ 无论a＞1时，还是0＜a＜1时，函数在其定义域上是增函数，即当x1＜x2时，一定有y1＜y2．
故直线AB的斜率．
【总结升华】依题设函数特征，要直接由斜率公式求解不易证出，但题设所给函数的单调性比较明确，可利用递增函数斜率一定大于零的性质求解．
举一反三：
【变式】纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是 ( )
A．南 B．北 C．西 D．下
【答案】 B
【解析】将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，
将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．
类型二：直接证明与间接证明
例3. 设a＞0，b＞0，a+b＝1，求证：．
【解析】 证法一(综合法)：
∵ a＞0，b＞0，a+b＝1，
∴ ，，ab≤，
∴ ≥4．
又≥4，
∴ ≥8．
证法二(分析法)：
∵ a＞0，b＞0，∴ 要证≥8，
只需证≥18，
即证≥8，
即证≥4，即证≥4，
即证≥2．
由基本不等式可知，当a＞0，b＞0时，≥2成立，所以原不等式成立．
【总结升华】本题既可用综合法，也可用分析法来解，解题时应灵活运用．
举一反三：
【变式】求证：以过抛物线(p＞0)焦点的弦为直径的圆必与直线相切．
【答案】如图所示，过A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′．要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证．
由抛物线的定义有，，
所以，
因此只需证．根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线焦点的弦为直径的圆必与直线相切．
例4. 设函数对定义域内任意实数都有，且成立．
求证：对定义域内任意x，都有．
【思路点拨】直接证明有些困难，考虑用反证法.
【解析】假设满足题设条件的任意x，不成立，即存在某个，有≤0．
∵ ，
∴ ．
又知．
这与假设矛盾，假设不成立．
故对任意的x都有．
【总结升华】此题证明过程中，“对任意x，都有”的否命题是：“存在x0，使≤0”，而不是“对所有的x，都有≤0”，因此在应用反证法时正确写出结论的否定形式是很重要的．
举一反三：
【变式1】用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是( )
A．假设是有理数
B．假设是有理数
C．假设或是有理数
D．假设＋是有理数
【答案】D
【变式2】已知a、b∈R，|a|+|b|＜1，求证：方程的两根的绝对值都小于1．
【答案】假设是的根，且≥1，
由得，
所以，
所以≥≥＝1，
这与矛盾，故两根绝对值都小于1．
【变式3】已知函数，问：是否存在这样的正数A，使得对定义域内的任意x，恒有成立?试证明你的结论．
【答案】不存在正数A，使得对定义域内的任意x，恒有＜A成立．
反证法：假设存在一个A＞0，
使得x∈(-∞，0)∪(0，+∞)时，恒成立．即恒成立．
取，则有，矛盾．
故不存在正数A，使得对定义域内的任意x，恒有成立．
【巩固练习】
一、选择题
1．凡自然数都是整数，而4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理 ( )
A．正确 B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致 D．两个“整数”概念不一致
2．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A． B．a C． D．
3．设x、y、z∈R+，，，，则a、b、c三数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
4．若，则下列不等式：(1)a+b＜ab，(2)|a|＞|b|，(3)a＜b，(4)中不正确的不等式的序号是( )
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(1)(4)
5．已知，，试通过计算，，，的值推测( )
A． B．五 C． D．
6．证明命题：“，在(0，+∞)上是增函数”现给出的证法如下：因为，，所以．因为x＞0，所以，0＜＜1，所以，即，所以在(0，+∞)上是增函数，使用的证明方法是( )
A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．以上都不是
7．下面几种推理是合情推理的是 ( )
(1)由圆的性质类比出球的有关性质；
(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
(3)某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n-2)·180°．
A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(2)(4) D．(2)(4)
二、填空题
8．已知x＞0，由不等式，
，…，启发我们可以得出推广结论：(n∈N+)，则a＝________．
9．若三角形内切圆半径为r，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，其四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则四面体的体积V＝________．
10．如图所示，连接函数上任意两点A(a，a2)，B(b，b2)，线段AB必在上方，设点C是线段AB的中点，则由图中C在C1的上方可得不等式：．请分析函数的图象，类比上述不等式可以得到__________．
11．考查下列一组不等式：
，
，
，…．
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是________．
三、解答题
12．若a＞6，试比较与的大小．
13．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对应边分别为a，b，c．
求证：．
14．用反证法证明：已知a与b均为有理数，且与都是无理数，证明是无理数．
15．已知函数，设，(n＞1，n∈N+)．
(1)求，的表达式，并猜想(n∈N+)的表达式；(直接写出猜想结果)
(2)求关于x的二次函数…(n∈N+)的最小值．
【答案与解析】
1.【答案】A
【解析】大前提、小前提及推理形式都正确，故选A．
2．【答案】A
【解析】 ，，，，归纳，故选A．
3．【答案】C
【解析】，
因此a、b、c至少有一个不小于2，故选C．
4．【答案】B
【解析】若，则0＞a＞b，故ab＞0，(1)正确；|a|＜|b|，(2)不正确；(3)不正确；(4)正确．故选B．
5．【答案】A
【解析】∵ ,，∴ ,
∴ ，，．
猜想：．
6．【答案】A
【解析】证明是从已知条件出发进行推论，故使用的证明方法是综合法．
7．【答案】C
【解析】(1)为类比推理；(2)(4)为归纳推理：(3)错误．
8．【答案】
【解析】由已知得，…．
≥，
∴ ．
9．【答案】
【解析】应用类比推理．
10．【答案】
【解析】如图：类比可得．
11．【答案】(a，b＞0，a≠b，m，n＞0)
12．【解析】解法一(作差)：
．
∵ ，
∴ ，，，．
又∵ ，
∴ ．
同样地有．
则．
即知(*)式＜0，
∴ ．
解法二：令，
，
即知)在定义域内为减函数，故，
∴ ．
13．【解析】要证，
只要证，即，
也就是．
∵ A，B，C成等差数列，∴ A+C＝2B．B＝60°．
由余弦定理，得，
∴
．
∴ 原式成立．
14．【解析】假设为有理数，
由a＞0，b＞0，得，
∵ ．
∴ ．
∴ 为有理数，
从而为有理数，与已知为无理数矛盾，
∴ 为无理数．
15．【解析】(1)∵ ，(n＞1，n∈N+)，
∴ ，
同理．从而猜想(n＞1，n∈N+)，
(2)∵ ，
由(1)知，…
(n∈N+)，
∵ x∈R．
∴ 关于x的二次函数(n∈N+)的最小值为．
【学习目标】
1. 了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理；
2. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；
3. 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；
4. 了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程、特点.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：有关推理概念
归纳推理：
又称归纳法，是从特殊到一般、部分到整体的推理．根据归纳对象是否完备，分为完全归纳法和不完全归纳法．完全归纳法是根据某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况作出的关于该类事物的一般性结论的推理；不完全归纳法是根据某类事物中的一部分对象具有某种特征而作出该类事物都具有这一特征的一般性结论的推理．由于仅列举了归纳对象中的一小部分，因此得出的结论与前提未必有必然的联系，故其结论未必正确，必须经过理论的证明和实践的检验．
类比推理：
又称类比法，是由特殊到特殊的推理．这是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的“开拓型”“发散型”思维方式．和归纳推理一样，能由已知推测未知，推理的结论也不一定为真，有待进一步证明，通常情况下，类比的相似性越多，类比得出的结论就越可靠．
演绎推理：
又称演绎法．是从一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式．演绎推理的结论完全蕴涵于前提之中．它是“封闭型”的思维方法，只要前提真实，逻辑形式正确，则结论必然真实，但由它一般不能取得突破性进展．故合情推理与演绎推理各有侧重，相辅相成．合情推理有助于发现新事物、新结论、新规律，演绎推理保证结论的可靠性，去伪存真．
要点诠释：
演绎推理更注重推理的形式规则，常见的有假言推理、关系推理、三段论推理．
三段论推理：其一般形式为：大前提：所有M都是P；小前提：S是M；结论：S是P．
要点二：有关证明方法
综合法
综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法，是数学推理证明中的主要方法．即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待征结论或需求问题．如果要证明的命题是，那么证明步骤用符号表示为p(已知)…．
分析法
分析法就是从待征结论出发，一步一步探索下去，寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．用分析法证明的逻辑关系：q(结论)…(已知)．
要点诠释：
综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难．在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用，转换解题思路，增加解题途径．
间接证法
间接证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真，间接达到目的．反证法就是间接证法的一种．
反证法证题步骤为：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．
(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾．
(3)由矛盾判断假设不成立．从而肯定命题的结论成立．
反证法导出矛盾常见的有以下几种情况：
①导出非p为真，即与原命题的条件矛盾．
②导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾．
③导出一个与定义、公理、定理等矛盾的命题．
要点诠释：
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p则q”的否定是“若p则q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p则q”为假，从而可以导出“若p则q”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性，唯一性命题；至多，至少型问题；几何问题．
【典型例题】
类型一：合情推理与演绎推理
例1. 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①________________________________；
充要条件②________________________________．
(写出你认为正确的两个充要条件)
【思路点拨】由平面几何图形的性质类比立体几何图形的性质时要做到点类比线、线类比面、面类比体．
【解析】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点，底面是平行四边形(填任意两个即可)
【总结升华】本题考查类比推理，其关键是掌握由平面几何图形的性质类比立体几何图形的性质时，元素间的对应关系．
举一反三：
【变式1】在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．
【答案】.
【变式2】观察图中各正方形图案，每条边上有n≥2个圆点，第n个图案中圆点的总数是．
按此规律推断出与n的关系式为_________．
【答案】
【解析】依图构造规律可以看出：，即四角四顶点重复计数一次．
S3＝3×4-4＝(3-1)×4；
S4＝4×4-4＝(4-1)×4，…
猜想：(n≥2，且n∈N+)．
例2. 已知函数(a＞0且a≠1)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1＜x2)是图象上两点，证明直线AB的斜率大于零．
【解析】 当a＞1时，是增函数，
设0＜x1＜x2，则1＜＜，于是0＜＜，
故，即．
当0＜a＜1时，是减函数，
设x1＜x2＜0，则，于是，
故，即y1＜y2．
∴ 无论a＞1时，还是0＜a＜1时，函数在其定义域上是增函数，即当x1＜x2时，一定有y1＜y2．
故直线AB的斜率．
【总结升华】依题设函数特征，要直接由斜率公式求解不易证出，但题设所给函数的单调性比较明确，可利用递增函数斜率一定大于零的性质求解．
举一反三：
【变式】纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是 ( )
A．南 B．北 C．西 D．下
【答案】 B
【解析】将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，
将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．
类型二：直接证明与间接证明
例3. 设a＞0，b＞0，a+b＝1，求证：．
【解析】 证法一(综合法)：
∵ a＞0，b＞0，a+b＝1，
∴ ，，ab≤，
∴ ≥4．
又≥4，
∴ ≥8．
证法二(分析法)：
∵ a＞0，b＞0，∴ 要证≥8，
只需证≥18，
即证≥8，
即证≥4，即证≥4，
即证≥2．
由基本不等式可知，当a＞0，b＞0时，≥2成立，所以原不等式成立．
【总结升华】本题既可用综合法，也可用分析法来解，解题时应灵活运用．
举一反三：
【变式】求证：以过抛物线(p＞0)焦点的弦为直径的圆必与直线相切．
【答案】如图所示，过A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′．要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证．
由抛物线的定义有，，
所以，
因此只需证．根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线焦点的弦为直径的圆必与直线相切．
例4. 设函数对定义域内任意实数都有，且成立．
求证：对定义域内任意x，都有．
【思路点拨】直接证明有些困难，考虑用反证法.
【解析】假设满足题设条件的任意x，不成立，即存在某个，有≤0．
∵ ，
∴ ．
又知．
这与假设矛盾，假设不成立．
故对任意的x都有．
【总结升华】此题证明过程中，“对任意x，都有”的否命题是：“存在x0，使≤0”，而不是“对所有的x，都有≤0”，因此在应用反证法时正确写出结论的否定形式是很重要的．
举一反三：
【变式1】用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是( )
A．假设是有理数
B．假设是有理数
C．假设或是有理数
D．假设＋是有理数
【答案】D
【变式2】已知a、b∈R，|a|+|b|＜1，求证：方程的两根的绝对值都小于1．
【答案】假设是的根，且≥1，
由得，
所以，
所以≥≥＝1，
这与矛盾，故两根绝对值都小于1．
【变式3】已知函数，问：是否存在这样的正数A，使得对定义域内的任意x，恒有成立?试证明你的结论．
【答案】不存在正数A，使得对定义域内的任意x，恒有＜A成立．
反证法：假设存在一个A＞0，
使得x∈(-∞，0)∪(0，+∞)时，恒成立．即恒成立．
取，则有，矛盾．
故不存在正数A，使得对定义域内的任意x，恒有成立．
【巩固练习】
一、选择题
1．凡自然数都是整数，而4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理 ( )
A．正确 B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致 D．两个“整数”概念不一致
2．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A． B．a C． D．
3．设x、y、z∈R+，，，，则a、b、c三数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
4．若，则下列不等式：(1)a+b＜ab，(2)|a|＞|b|，(3)a＜b，(4)中不正确的不等式的序号是( )
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(1)(4)
5．已知，，试通过计算，，，的值推测( )
A． B．五 C． D．
6．证明命题：“，在(0，+∞)上是增函数”现给出的证法如下：因为，，所以．因为x＞0，所以，0＜＜1，所以，即，所以在(0，+∞)上是增函数，使用的证明方法是( )
A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．以上都不是
7．下面几种推理是合情推理的是 ( )
(1)由圆的性质类比出球的有关性质；
(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
(3)某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n-2)·180°．
A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(2)(4) D．(2)(4)
二、填空题
8．已知x＞0，由不等式，
，…，启发我们可以得出推广结论：(n∈N+)，则a＝________．
9．若三角形内切圆半径为r，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，其四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则四面体的体积V＝________．
10．如图所示，连接函数上任意两点A(a，a2)，B(b，b2)，线段AB必在上方，设点C是线段AB的中点，则由图中C在C1的上方可得不等式：．请分析函数的图象，类比上述不等式可以得到__________．
11．考查下列一组不等式：
，
，
，…．
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是________．
三、解答题
12．若a＞6，试比较与的大小．
13．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对应边分别为a，b，c．
求证：．
14．用反证法证明：已知a与b均为有理数，且与都是无理数，证明是无理数．
15．已知函数，设，(n＞1，n∈N+)．
(1)求，的表达式，并猜想(n∈N+)的表达式；(直接写出猜想结果)
(2)求关于x的二次函数…(n∈N+)的最小值．
【答案与解析】
1.【答案】A
【解析】大前提、小前提及推理形式都正确，故选A．
2．【答案】A
【解析】 ，，，，归纳，故选A．
3．【答案】C
【解析】，
因此a、b、c至少有一个不小于2，故选C．
4．【答案】B
【解析】若，则0＞a＞b，故ab＞0，(1)正确；|a|＜|b|，(2)不正确；(3)不正确；(4)正确．故选B．
5．【答案】A
【解析】∵ ,，∴ ,
∴ ，，．
猜想：．
6．【答案】A
【解析】证明是从已知条件出发进行推论，故使用的证明方法是综合法．
7．【答案】C
【解析】(1)为类比推理；(2)(4)为归纳推理：(3)错误．
8．【答案】
【解析】由已知得，…．
≥，
∴ ．
9．【答案】
【解析】应用类比推理．
10．【答案】
【解析】如图：类比可得．
11．【答案】(a，b＞0，a≠b，m，n＞0)
12．【解析】解法一(作差)：
．
∵ ，
∴ ，，，．
又∵ ，
∴ ．
同样地有．
则．
即知(*)式＜0，
∴ ．
解法二：令，
，
即知)在定义域内为减函数，故，
∴ ．
13．【解析】要证，
只要证，即，
也就是．
∵ A，B，C成等差数列，∴ A+C＝2B．B＝60°．
由余弦定理，得，
∴
．
∴ 原式成立．
14．【解析】假设为有理数，
由a＞0，b＞0，得，
∵ ．
∴ ．
∴ 为有理数，
从而为有理数，与已知为无理数矛盾，
∴ 为无理数．
15．【解析】(1)∵ ，(n＞1，n∈N+)，
∴ ，
同理．从而猜想(n＞1，n∈N+)，
(2)∵ ，
由(1)知，…
(n∈N+)，
∵ x∈R．
∴ 关于x的二次函数(n∈N+)的最小值为．