原来如此
题型切片（四个）
对应题目
题型目标
平方差公式及几何意义
例1；
完全平方公式及几何意义
例2；例3；
简便计算
例4；
乘法公式的综合运用
例5；例6；例7；例8
公 式
示例剖析
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
注意：⑴ 负数的奇数次幂与偶数次幂结果完全不同，运算中要格外注意．
⑵ 运算性质中，字母a，b可表示一个数一个单项式或一个多项式．
⑶ 幂的运算法则的逆运用，可以解决很多相关问题，要求对运算法则熟练掌握才能做到准确地应用．
⑷ 零指数计算中底数不能为零．
⑴ 在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（＞）（如图甲），把余下的 部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
⑵如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为( )
A． B．
C． D．
⑶计算
①
②
③
④
⑤
⑥.
公 式
示例剖析
完全平方公式：
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，这两个公式叫做完全平方公式．
完全平方公式几何意义：
关于完全平方公式的重要变形：
计算⑴；
⑵；
⑶
⑷ ；
⑸；
⑹ .
⑴ 有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面
积为的正方形纸片，4张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则
还需要抽取面积为的正方形纸片为（ ）
A．2张 B．4张 C．6张 D．8张
⑵ 化简：
⑶；
⑷
⑸
⑹.
对于在形式上符合平方差公式和完全平方公式的数字运算，可以运用两个公式进行简便计算，注意无论公式还是公式的逆用都要很熟悉，才能熟练应用.
⑴ ;
⑵；
⑶ ;
⑷ .
首先要熟悉每个公式的特点，从而灵活应用.
⑴ 先化简，再求值:，其中
⑵ 已知，求代数式的值．
⑶，其中.
⑷若，求代数式的值.
⑴ 若，求的值.
⑵ 已知，求的值.
⑴已知，求的值.
⑵已知，求的值.
⑶已知，求① ；② .
⑷已知，，求的值.
已知，求 ① ；② .
知识模块一 平方差公式及几何意义 课后演练
【演练1】 计算= .
知识模块二 完全平方公式及几何意义 课后演练
【演练2】⑴ 计算 ；
⑵ 计算 ；
⑶ 化简：;
⑷ 如果是一个完全平方式，则（ ）
A．9y2 B．3y2 C．y2 D．6y2
知识模块三 简便运算 课后演练
【演练3】⑴ ;
⑵ .
知识模块四 乘法公式的综合应用 课后演练
【演练4】⑴先化简，再求值：，其中.
⑵先化简，再求值：，其中.
【演练5】，则= .
【演练6】已知实数、、满足，求的值.
原来如此
题型切片（四个）
对应题目
题型目标
平方差公式及几何意义
例1；
完全平方公式及几何意义
例2；例3；
简便计算
例4；
乘法公式的综合运用
例5；例6；例7；例8
考点一、平方差公式
若，且，则 .
2
考点二、完全平方公式及变形
若，则的值为 .
12
【例1】平方差公式及几何意义；
【例2】完全平方公式的计算；
【例3】完全平方公式几何意义和复杂计算；
【例4】利用两个公式简便计算；
【例5】先化简再代入求值；
【例6】平方差公式的应用；
【例7】完全平方公式的应用；
【例8】常考恒等变形.
公 式
示例剖析
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
注意：⑴ 负数的奇数次幂与偶数次幂结果完全不同，运算中要格外注意．
⑵ 运算性质中，字母a，b可表示一个数一个单项式或一个多项式．
⑶ 幂的运算法则的逆运用，可以解决很多相关问题，要求对运算法则熟练掌握才能做到准确地应用．
⑷ 零指数计算中底数不能为零．
⑴ 在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（＞）（如图甲），把余下的 部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
⑵如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为( )
A． B．
C． D．
⑶计算
①
②
③
④
⑤
⑥.
⑴ C；⑵C; ⑶①；②；③；④；⑤；⑥.
公 式
示例剖析
完全平方公式：
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，这两个公式叫做完全平方公式．
完全平方公式几何意义：
关于完全平方公式的重要变形：
计算⑴；⑵；⑶
⑷ ；⑸；⑹ .
⑴；⑵⑶；
⑷；⑸ ；⑹.
⑴ 有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面
积为的正方形纸片，4张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则
还需要抽取面积为的正方形纸片为（ ）
A．2张 B．4张 C．6张 D．8张
⑵ 化简：;
⑶；
⑷
⑸
⑹.
【解析】⑴ B；
⑵ ;
⑶ ； ⑷； ⑸；
⑹
对于在形式上符合平方差公式和完全平方公式的数字运算，可以运用两个公式进行简便计算，注意无论公式还是公式的逆用都要很熟悉，才能熟练应用.
⑴ ; ⑵；
⑶ ;
⑷ .
【解析】⑴ ;
⑵ 原式==20002；
⑶原式===；
⑷
首先要熟悉每个公式的特点，从而灵活应用.
⑴ 先化简，再求值:，其中
⑵ 已知，求代数式的值．
⑶，其中.
⑷若，求代数式的值.
⑴ 原式,
当时，原式.
⑵ 原式
当时，原式.
⑶ 原式===+=.
⑷ 原式=.
⑴ 若，求的值.
⑵ 已知，求的值.
⑴ .
⑵ ，.
⑴已知，求的值.
⑵已知，求的值.
⑶已知，求① ；② .
⑷已知，，求的值.
【解析】⑴ 条件化简得，.
⑵ ，所以，故.
⑶ ①=45.
②===.
⑷ ，
.
已知，求 ① ；② .
① ∵ ∴，
则两边同时除以得，
② =.
【备选】先化简：，若，求.
；.
请设计一个几何图形，验证.
已知实数，满足，，求的值．（北大附期末考试）
①
②
①+②得.
①②得.
∴.
⑴ 求的个位数字
⑵ 化简计算：
⑴
个位数字的循环个一周期，周期为：、、、，，所以个位为，故个位为．
⑵
⑴ 求的值.
⑵
⑴.
⑵ 设，
则==.
知识模块一 平方差公式及几何意义 课后演练
【练习1】 计算= .
【解析】.
知识模块二 完全平方公式及几何意义 课后演练
【练习2】⑴ 计算 ；
⑵ 计算 ；
⑶ 化简：;
⑷ 如果是一个完全平方式，则（ ）
A．9y2 B．3y2 C．y2 D．6y2
【解析】⑴ ;
⑵ ;
⑶ 原式;
⑷ A.
知识模块三 简便运算 课后演练
【练习3】⑴ ;
⑵ .
【解析】⑴ ;
⑵ 原式=++
==5050.
知识模块四 乘法公式的综合应用 课后演练
【练习4】⑴先化简，再求值：，其中.
⑵先化简，再求值：，其中.
⑴ 原式.
⑵
又，故原式=
【练习5】，则= .
11.
【练习6】已知实数、、满足，求的值.
将代入
得
，代入得8.
