1.2.2空间几何体的直观图
【教学目标】
1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。
2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。
3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。
4．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图。
【教学重难点】
教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.
教学难点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.
【教学过程】
（一）情景导入
1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱
把实物圆柱放在讲台上让学生画。
2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标
这也是我们今天要学习的主要内容:
1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。
2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。
3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。
4．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图。
（三）检查预习
1．表示空间图形的 ，叫做空间图形的直观图。
2．用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成 于轴、轴或轴的线段。平行于轴和轴的线段，在直观图中长度 ；平行于轴的线段，长度变为原来的 。
3．斜二测画法是一种特殊的 投影画法。
4．用斜二测画法画水平放置的平面图形时会改变两线段的关系吗？
（四）合作探究
用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。
（五）交流展示
略
（六）精讲精练
例1. 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解
分析:画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。
变式训练1:根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。
例2.用斜二测画法画水平放置的圆的直观图
分析:教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。
教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并详细板书画法。
变式训练2:探求空间几何体的直观图的画法
用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。
教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。
（七）反馈测评
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把、、轴画成对应的、、，做与的度数分别为（ ）
A． B． C． D．或
2．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法不正确的是（ ）
A．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变
B．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的
C．画与直角坐标系对应的时，必须是
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
3．两条相交直线的平行投影是（ ）
A．两条相交直线 B．一条直线
C．一条折线 D．两条相交直线或一条直线
4．下列叙述中正确的个数是（ ）
①相等的角，在直观图中仍相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；
③若两条线平行，在直观图中对应的线段仍平行；
④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直。
A．0 B．1 C．2 D．3
【板书设计】
一、空间图形的直观图
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
1.2.2空间几何体的直观图
课前预习学案
一、预习目标
1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。
2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。
二、预习内容
1．表示空间图形的 ，叫做空间图形的直观图。
2．用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成 于轴、轴或轴的线段。平行于轴和轴的线段，在直观图中长度 ；平行于轴的线段，长度变为原来的 。
3．斜二测画法是一种特殊的 投影画法。
4．用斜二测画法画水平放置的平面图形时会改变两线段的关系吗？
三、提出疑惑
1．利用斜二测画法叙述正确的是（ ）
A．正三角形的直观图是正三角形 B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．矩形的直观图是矩形 D．圆的直观图一定是圆
2．下列结论正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
C．两个全等三角形的直观图一定也全等
D．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形是全等三角形
3．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4cm，若AB//轴，则画出直观图后对应的线段 ，若轴，则画出直观图后对应的线段= 。
4．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则AB边上的中线的实际长度为 。
课内探究学案
一、学习目标
1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。
2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。
3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。
4．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图。
学习重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.
学习难点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.
二、学习过程
(一) 掌握直观图的斜二测画法及步骤
探究: 直观图的斜二测画法及步骤
组内讨论,自我展示.
(二)精讲点拨、有效训练
例1. 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解
变式训练:根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，独立完成后，组内讨论
例2.用斜二测画法画水平放置的圆的直观图
变式训练:探求空间几何体的直观图的画法
用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。
三、反思总结
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。
画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。
四、当堂检测
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把、、轴画成对应的、、，做与的度数分别为（ ）
A． B． C． D．或
2．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法不正确的是（ ）
A．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变
B．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的
C．画与直角坐标系对应的时，必须是
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
3．两条相交直线的平行投影是（ ）
A．两条相交直线 B．一条直线
C．一条折线 D．两条相交直线或一条直线
4．下列叙述中正确的个数是（ ）
①相等的角，在直观图中仍相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；
③若两条线平行，在直观图中对应的线段仍平行；
④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直。
A．0 B．1 C．2 D．3
课后练习与提高
1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）
A．16 B．64 C．16或64 D．都不对
2．一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．都不对
3．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
4．利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形。
以上结论中，正确的是 。
5．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点的直观图中对应点是，则点的找法是 。
6．根据图中所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状。
第二课时 空间几何体的直观图
（一）数学目标
1．知识与技能
（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.
（2）采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点.
2．过程与方法
学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.
3．情感态度与价值观
（1）提高空间想象力与直观感受.
（2）体会对比在学习中的作用.
（3）感受几何作图在生产活动中的应用.
（二）教学重点、难点
重点、难点：用斜二测面法画空间几何值的直观图.
（三）教学方法
在以水平放置的正六边形或正六棱柱为例画直观图，通过多媒体课件的具体准确逐步演示，使学生熟练掌握并归纳斜二测画法去画直棱柱的基本步骤.
教学环节
数学内容
师生互动
设计意图
创设情境
三视图用三个角度的正棱影图反映空间几何体的形状和大小，我们能否将空间图形用一个平面图形来表示呢？
学生讨论发现能，如教材图1.1—2如图1.1—10.
师：这些平面图形既富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们称这种图形为立体图形的直观图.
设疑激趣点出主题
探索新知
1．水平放置的平面图形的直观图的画法.
（1）例1 用斜二测法画水平放置的正六边形的直观图.
画法：（1）如图（1），在正方边开ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′ = 45°.
（2）在图（2）中，以O′为中点，在x′ 轴上取A′D′=AD，在y′ 轴上取M′ N ′ =MN. 以点N ′ 为中点，画B′C′ 平行于x′ 轴，并且等于BC；再以M ′为中点，画E′F′平行于x′ 轴，并且等于EF.
（3）连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′ 轴和y′ 轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′（图（3））
2） 斜二测画法基本步骤.
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平表示水平面.
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
教师用多媒体课件边演示边讲解.
学生观察、思考、归纳
师：从以上演示我们可以发现画一个水平放置的平面多边形直观图的关键是什么？
生：确定多边形顶点的位置.
师：请大家尝试归纳平面多边形直观图的基本步骤.
生：①选取恰当的坐标系.
②画平行线段，截取长度
③依次连结各顶点成图（老师板书）
师：有哪些注意事项
生1：平行于x轴，y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴.
生2：原图中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变平行于y轴的线段长度，为原来的一半.
师在连虚实线的使用等方面予以补充.
多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点.
2．简单几何体的直观图画法
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm，3cm，2cm的长方体ABCD – A′B′C′D′的直观图.
画法：（1）画轴. 如图，画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°.
（2）画底面. 以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN = 4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ =cm. 分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
（3）画侧棱. 过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段A′A，B′B，C′C，D′D.
（4）成图，顺次连接A，B，C，D，并加以整理（去掉辅助线，将被挡的部分改为虚线），就得长方体的直观图.
师：下面我们体会一下，用斜二测画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD、A′B′C′D′的直观图的画法.
教师边演示边讲解，学生边观察，边思考，边总结.
师：请大家归纳一下，直棱柱的直观图画法.
生：①画轴 ②画底画 ③画侧棱 ④成图
师：有什么注意事项吗？
生1：竖直方面保持平行关系和长度关系不变.
生2：被遮的部分用虚线.
多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点.
3．简单组合体画法
例3 已知几何体的三视图说出它的结构特征，并用斜二测画法画它的直观图.
画法：（1）画轴. 如图(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=90°.
（2）画圆的柱的下底面. 在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA = OB. 选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱下底面的作法作出圆柱的下底面.
（3）在Oz上截取点O′，使OO′ 等于正视图中OO′ 的长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.
（4）画圆锥的顶点. 在Oz上截取点P，使PO′ 等于正视图中相应的高度.
（5）成图. 连接PA′、PB′，AA′，BB′，整理得到三视图表示的几何体的直观图.（如图(2)）
画轴的下底面.
学生讨论然后简答.
生1：这个几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆柱上底面与圆锥底面相重合.
生2：我们可以先画出上部的圆锥.
师给予肯定然后点拔注意事项.
前后联系加强知识的系统性.
随堂练习
1．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）：
（1）任意三角形；（2）平行四边形；（3）正八边形.
答案：略
2．判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）角的水平放置的直观图一定是角. （ √ ）
（2）相等的角在直观图中仍然相等. （ × ）
（3）相等的线段在直观图中仍然相等. （ × ）
（4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行. （ √ ）
3．利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图是三角形.
②平行四边形的直观图是平行四边形.
③正方形的直观图是正方形.
④菱形的直观图是菱形.
以上结论，正确的是（ A ）
A．①② B．①
C．③④ D．①②③④
4．用斜二测画法画出五棱锥P – ABCDE的直观图，其中底面ABCDE是正五边形，点P在底面的投影是正五边形的中心O（尺寸自定）.
答案：略
学生独立完成
巩固所学知识
归纳总结
1．平面图形斜二测画法.
2．简单几何体斜二测画法.
3．简单组合斜二测画法.
4．注意事项.
学生归纳，然后老师补充、完善
前后联系加强知识的系统性
作业
1.2 第二课时 习案
学生独立完成
巩固知识
提升能力
备用例题
例1 用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图.
【分析】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图.
【解析】（1）如图1所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，对点O与y轴垂直的是x轴，分别过B、E作GB∥y轴，HE∥y轴，与x轴分别交于点G、H. 画对应的轴O′x′、O′y′，使∠x′O′y′ = 45°.
（2）如图2所示：以点O′为中点，在x′轴上取G′H′ = GH，分别过G′、H′，在x′轴的上方，作G′B′∥y′轴，使G′B′ =；作H′E′∥y′轴，使H′E′ =；在y′轴的点O′上方取O′A′ =OA，在点O′下方取O′F′ =OF，并且以点F′为中点，画C′D′∥x′轴，且使C′D′ = CD.
（3）连结A′B′、B′C′、D′E′、E′A′，所得正五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图，如图3所示.
1 2 3
【评析】在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点.
例2 已知一个正四棱台的上底面边长为2cm，下底面边长为6cm，高为4cm. 用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.
【分析】先画出上、下底面正方形的直观图，再画出整个正四棱台的直观图.
【解析】（1）画轴. 以底面正方形ABCD的中心为坐标原点，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°.
（2）画下底面. 以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF = AB = 6cm，在y轴上取线段GH，使得GH =AB，再过G、H分别作AB EF，CD EF，且使得CD的中点为H，AB的中点为G，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.
（3）画上底面. 在z轴上截取线段OO1 = 4cm，过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy，使∠x′O1y′ = 45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中重复（2）的步骤画出上底面的直观图A1B1C1D1.
（3）再连结AA1、BB1、CC1、DD1，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图（图2）.
【评析】用斜二测画法画空间图形的直观图时，对于图中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决：过与坐标轴不平行的线段的端点作坐标轴的平行线段，再借助于所作平行线段确定端点在直观图中的位置，有了端点在直观图中的位置，一切问题便可迎刃而解.
例3 如右图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图. 若A1D1∥O1y，A1B1∥C1D1，A1B1 =C1D1 = 2，A1D1 = O′D1 = 1. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.
【解析】如图，建立直角坐标系xoy，在x轴上截取OD=O′D1=1，OC=O′C 1=2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1 = 2.
连接BC，即得到了原图形.
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB = 2，CD = 3，直角腰长度为AD = 2.
所以面积为= 5.
【评析】给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二测画法规则，更要求我们具有逆向思维的能力. 画法关键之处同样是关键点的确定，逆向的规则为“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y′轴的为垂直.
课件26张PPT。z′轴x′O′y′竖直平面平行性和长度解析： 根据斜二测画法的规则可知B不正确．
答案： B答案： C答案： OD＜BD＜AB＜BO教案·课堂探究
谢谢观看！课件30张PPT。第一章 § 1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.3 空间几何体的直观图1.掌握斜二测画法的作图规则；
2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点 斜二测画法
思考1 边长2 cm的正方形ABCD
水平放置的直观图如下，在直
观图中，A′B′与C′D′有
何关系？A′D′与B′C′呢？
在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？答案 A′B′∥C′D′，
A′D′∥B′C′，
A′B′＝AB，答案思考2 正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？答案答案 没有都画成正方形.1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则答案保持原长度不变一半45°135°y′轴的线段x′轴或水平面2.立体图形直观图的画法规则
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度 ，其他同平面图形的画法.答案不变返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 水平放置的平面图形的画法
例1 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.反思与感悟解析答案反思与感悟解 (1)如图①所示，
以BC边所在的直线为x轴，
以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.连接A′B′，A′C′，
则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.反思与感悟此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图.要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便.跟踪训练1 将例1中三角形放置成如图所示，则直观图与例1中的还一样吗？
解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为y轴，
以BC边上的高AO所在的直线为x轴.
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′A′＝OA，
在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝ OC＝1 cm，
连接A′B′，A′C′，
则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.
显然与例1中的既不全等也不相似.解析答案类型二 简单几何体的直观图例2 已知某几何体的三视图如图，请画出它的直观图(单位：cm).解析答案反思与感悟 解析答案解 画法：(1)如图1，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，
使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)以O为原点，
在x轴上取线段OB＝8 cm，
在y轴上取线段OA′＝2 cm，
以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.反思与感悟 反思与感悟(3)在z轴上取线段OC＝4 cm，
过C分别作x轴、y轴的平行线，
并在平行线上分别截取CD＝4 cm，CC′＝2 cm.
以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.
(4)成图.
连接A′C′，BD，B′D′，
并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，
就得到几何体的直观图(如图2).反思与感悟直观图中应遵循的基本原则：
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.跟踪训练2 已知几何体的三视图如下图所示，用斜二测法画出它的直观图.解析答案解 如图，(1)画轴.
画x轴、y轴、z轴，三轴交于O点，
使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.
以O点为中心点，
在x轴上取线段MN，使它等于俯视图的长，
在y轴上取线段PQ等于俯视图宽的一半，
分别过M，N作y轴的平行线，过P，Q作x轴的平行线，
设它们的交点分别为：A，B，C，D，
则四边形ABCD是长方体的下底面.解析答案(3)画侧棱.
过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，
并在平行线上分别截取AA1，BB1，CC1，
DD1等于正视图中相应棱柱的高OO1，
顺次连接A1，B1，C1，D1得长方体的上底面.
(4)以长方体的上底面和z轴的交点O1为坐标原点，
作x轴的平行线x1轴，交A1D1于M1，交B1C1于N1，
选择椭圆模板中适当的椭圆过M1，N1两点使它为圆柱的下底面.解析答案(5)在z轴上截取点O1，
使O1O2等于正视图中圆柱的高，
过点O2作平行于x轴的轴x′，
类似步骤(4)作出圆柱的上底面.
(6)成图.
连线并去掉辅助线，将被遮住部分改为虚线，
就得到由三视图反映的简单几何体的直观图，如图所示.类型三 直观图的还原和计算问题例3 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1
试画出原四边形的形状，并求原图形的面积.解析答案反思与感悟解 如图，建立直角坐标系xOy，
在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形.
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.反思与感悟反思与感悟由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.
由此可得：直观图面积是原图形面 返回跟踪训练3 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为( )解析答案返回解析 画△ABC直观图如图(1)所示：画△ABC的实际图形，如图(2)所示，答案 C123达标检测 45解析答案1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.C12345解析答案2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )
A.16 B.64
C.16或64 D.无法确定
解析 等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.C123453.已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm解析 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D.D解析答案12345解析答案4.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC是______三角形.
解析 ∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，
∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，
故△ABC为直角三角形.直角12345解析答案5.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.12345解 (1)在已知图形中画坐标系x′O′y′，
使∠x′O′y′＝45°，
使C′A′在x′轴上，C′与O′重合，如图(1)；
(2)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，
即CA＝C′A′；
(3)在图(1)中过B′作B′D′∥y′轴，
交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，
过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；
(4)连接AB、BC，则△ABC即为原图形，如图(2)所示.规律与方法1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.
2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.返回1.2.3 空间几何体的直观图
一、基础过关
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有 ( )
A．①② B．①④ C．③④ D．①③④
2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于 ( )
A．45° B．135° C．90° D．45°或135°
3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是 ( )
4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的 ( )
5．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是______________．(填序号)
6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．
7．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S.求梯形OABC的面积．
8．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
二、能力提升
9．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是 ( )
A．8 cm B．6 cm
C．2(1＋) cm D．2(1＋) cm
10．如图所示的是水平放置的△ABC在直角坐标系的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
11．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
12．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
三、探究与拓展
13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
答案
1．B 2.D 3.C 4.C 5.①② 6.2.5
7．解 设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.
过C′作C′D′⊥O′A′于D′，
则C′D′＝h.
由题意知C′D′(C′B′＋O′A′)＝S.
即h(C′B′＋O′A′)＝S.
又原直角梯形面积为S′＝·2h(C′B′＋O′A′)
＝h(C′B′＋O′A′)＝＝2S.
所以梯形OABC的面积为2S.
8．解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图a所示；
(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图b；
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c.
9．A 10.2 11.
12．解 画法：步骤：
(1)如图a所示，在梯形ABCD中，
以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，
建立平面直角坐标系xOy.如图b所示，
画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在图b中，
在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，
A′E′＝AE＝≈2.598 cm；
过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝×＝0.75 cm，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm.
(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
13．解 四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′
＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
∵DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
