1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
【教学目标】
1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
【教学重难点】
教学重点：运用公式解决问题
教学难点：理解计算公式的由来.
【教学过程】
（一）情景导入
讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？
讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？
那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标
这也是我们今天要学习的主要内容:
1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习
1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。
2．几何体的表面积是指 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求 、 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、
、 、 。
3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于 。
（四）合作探究
面积探究:
讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）
讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
体积探究:
讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？
五）交流展示
略
（六）精讲精练
1. 教学表面积计算公式的推导：
① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）
② 练习：1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.(教材P24页例1)
2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.
③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。
圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=， S=，其
中为圆锥底面半径，为母线长。
圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.
例1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。
解：设圆锥的母线长为，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为，即，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为，由题意得圆锥的高为，又圆柱的底面半径为，根据勾股定理，圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式得
变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
分析：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为
2. 教学柱锥台的体积计算公式：
① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）
② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？
→给出柱体体积计算公式： （S为底面面积，h为柱体的高）→
③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？
④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？
→给出锥体的体积计算公式： S为底面面积，h为高）
⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？
⑥ 给出台体的体积公式： （S，分别上、下底面积，h为高）
→ （r、R分别为圆台上底、下底半径）
⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式
讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？
公式记忆：
例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为
答案：A
变式训练: 如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征。
分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图中所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为
答案：D
（七）反馈测评
1．三棱锥的中截面是，则三棱锥与三棱锥的体积之比是（ ）
A．1:2 B．1:4 C．1:6 D．1:8
分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1:4，将三棱锥转化为三棱锥，这样三棱锥与三棱锥的高相等，底面积之比为1:4，于是其体积之比为1:4。
答案：B
【板书设计】
一、柱体、锥体、台体的表面积与体积
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
课前预习学案
一、预习目标
1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
二、预习内容
1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。
2．几何体的表面积是指 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求 、 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、
、 、 。
3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于 。
三、提出疑惑
1．利用斜二测画法叙述正确的是（ ）
1．一个长方体的三个面的面积分别为，则这个长方体的体积为（ ）
A．6 B． C．3 D．
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（ ）
A．2 B． C． D．8
3．长、宽、高分别为的长方体的表面积S= 。
4．圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为，则这个圆台的体积V= 。
课内探究学案
一、学习目标
1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
学习重点：运用公式解决问题
学习难点：理解计算公式的由来.
二、学习过程
（一）台体、柱体面积问题探究:
讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）
讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
（二）台体、柱体体积探究:
讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？
方法：组内讨论,自我展示.
(二)精讲点拨、有效训练
1. 教学表面积计算公式的推导：
讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。
圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=， S=，其
中为圆锥底面半径，为母线长。
圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.
例1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。
变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2. 教学柱锥台的体积计算公式：
给出台体的体积公式： （S，分别上、下底面积，h为高）
→ （r、R分别为圆台上底、下底半径）
探究：比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式
讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？
公式记忆：
例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式训练: 如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
三、反思总结
S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。
S=， S=，其中为圆锥底面半径，为母线长。
S=，S=.
四、当堂检测
1．三棱锥的中截面是，则三棱锥与三棱锥的体积之比是（ ）
A．1:2 B．1:4 C．1:6 D．1:8
课后练习与提高
1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则这个正三棱锥的体积是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
4．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的 倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的 倍。
5．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是 。
6．右图是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点。现在沿所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？
参考答案：1.C 2.D 3.B 4. 4 16 5. S/2
6. 解：设正方体的棱长淡，则正方体的体积为
三棱锥的底面是，即为，G、F又分别为AD、AA1的中点，所以所以的面积为又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以所以锯掉的部分的体积为
又因，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的
第一课时 柱体、锥体、台体的表面积
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.
3．情感、态度与价值观
通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.
（二）教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.
难点：展开图与空间几何体的转化.
（三）教学方法
学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题：现有一棱长为1的正方体盒子AC′，一只蚂蚁从A点出发经侧面到达A′点，问这只蚂蚁走边的最短路程是多少？
学生先思考讨论，然后回答.
学生：将正方体沿AA′展开得到一个由四个小正方形组成的大矩形如图
则即所求.
师：(肯定后)这个题考查的是正方体展开图的应用，这节课，我们围绕几何体的展开图讨论几何体的表面积.
情境生动，激发热情教师顺势带出主题.
探索新知
1．空间多面体的展开图与表面积的计算.
（1）探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.
（2）已知棱长为a，各面均为等边三角形S – ABC (图1.3—2)，求它的表面积.
解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交B于D，因为BC = a，
∴.
∴四面体S – ABC的表面积
.
师：在初中，我们已知学习了正方体和长方体的表面积以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？
生：相等.
师：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积.
生：多面体的表面积就是各个面的面积之和，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.
师：（肯定）棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的体积？
……
生：它的表面积都等于表面积与侧面积之和.
师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它们的展开图，并肯定学生说法.
师：下面让我们体会简单多面体的表面积的计算.
师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.
生：由于四面体S – ABC的四个面都全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面积的4倍.
学生分析，教师板书解答过程.
让学生经历几何体展开过程感知几何体的形状.
推而广之，培养探索意识会
探索新知
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导
S圆柱 = 2r (r + 1)
S圆锥 = r (r + 1)
S圆台 = (r12 + r2 + r1l + rl )
（2）讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系
（3）例题分析
例2 如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？
分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积，再减去底面圆孔的面积.
解：如图所示，由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积
≈1000(cm2) = 0.1(m2).
涂100个花盆需油漆：0.1×100×100 =1000(毫升).
答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.
师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？
生：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形.
师：如果它们的底面半径均是r，母线长均为l，则它们的表面积是多少？
师：打出投影片（教材图1.3.3和图1.3—4）
生1：圆柱的底面积为，侧面面积为，因此，圆柱的表面积：
生2：圆锥的底面积为，侧面积为，因此，圆锥的表面积：
师：(肯定)圆台的侧面展开图是一个扇环，如果它的上、下底面半径分别为r、r′，母线长为l，则它的侧面面积类似于梯形的面积计算S侧 =
所以它的表面积为
现在请大家研究这三个表面积公式的关系.
学生讨论，教师给予适当引导最后学生归纳结论.
师：下面我们共同解决一个实际问题.
（师放投影片，并读题）
师：本题只要求出花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量，你会怎样用它的表面积.
生：花盆的表积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.(学生分析、教师板书)
让学生自己推导公式，加深学生对公式的认识.
用联系的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题.
随堂练习
1．练习圆锥的表面积为a cm2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.
2．如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）形，上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）形. 电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问电镀10 000个零件需锌多少千克（结果精确到0.01kg）
答案：1． m；
2．1.74千克.
学生独立完成
归纳总结
1．柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.
2．柱体、锥体、台体表面积公式的关系.
学生总结，老师补充、完善
作业
1.3 第一课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备用例题
例1 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积.
【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.
【解析】如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即BD = c，AC = d，则
由（1）得，由（2）得，代入（3）得，
∴，∴.
∴S侧 =.
例2 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积.
【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm.
由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为mm.
设底面边长为a，则，∴a = 4.
∴正三棱柱的表面积为
S = S侧 + 2S底 = 3×4×2 + 2×
(mm2).
例3 有一根长为10cm，底面半径是0.5cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01cm）
【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.
由题意知，BC=10cm，AB = 2cm，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.
∴AC =(cm).
所以，铁丝的最短长度约为27.05cm.
【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.
例4．粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是80mm和440mm，高是200mm. 计算制造这一下料斗所需铁板是多少？
【分析】 问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.
【解析】如图所示，O、O1是两底面积的中心，则OO1是高，设EE1是斜高，在直角梯形OO1E1E中，
EE1=
=
∵边数n = 4，两底边长a = 440，a′= 80，斜高h′=269.
∴S正棱台侧 = = （mm2）
答：制造这一下料斗约需铁板2.8×105mm2.
课后提升作业 五
柱体、锥体、台体的表面积与体积
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为
( )
A. B.π+ C.+ D.+
【解析】选C.由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，所以表面积S=×2×+×π×12+×π×1×2=+.
2.(2018·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )
A. B. C. D.1
【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=×1×1=,所以体积V=Sh=.
3.(2018·太原高一检测)如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积 ( )
.Com]
A.与点E，F的位置有关
B.与点Q的位置有关
C.与点E，F，Q的位置都有关
D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值
【解析】选D.VA′-EFQ=VQ-A′EF=××EF×AA′×A′D′，所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关.
4.(2018·邯郸高二检测)已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )
A.16 B.24 C.32 D.48
【解析】选D.由三视图知，该几何体是一个四棱锥E-ABCD，底面ABCD是一个直角梯形，各边长如图所示，BC⊥AB，EB⊥底面ABCD，AB=6，所以由棱锥的体积公式得，V=××(6+2)×6×6=48.
5.(2018·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为 ( )
A.+π B.+π
C.+π D.1+π
【解析】选C.由三视图可知,半球的半径为,四棱锥底面正方形边长为1,高为1,所以该组合体的体积=π·×+×1×1×1=+π.
6.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ( )
A.8-π B.8-π C.8-2π D.π
【解析】选A.这个几何体是一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，这个圆锥的高为2，底面半径为1，故这个几何体体积为23-π×12×2=8-π.
【延伸探究】本题条件不变，求该几何体的表面积.
【解析】这个几何体是一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，这个圆锥的高为2，底面半径为1，可求得圆锥的母线l==.所以该几何体的表面积为S表=5×22+22-π×12+π×1×
=24-π+π=24+(-1)π.
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )
A.180 B.200 C.220 D.240
【解析】选D.由三视图可知该几何体为底面为梯形的直四棱柱.底面积为2××(8+2)×4=40，由三视图知，梯形的腰为=5，梯形的周长为8+2+5+5=20，所以四棱柱的侧面积为20×10=200，表面积为240.
8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( )
A.10+ B.10+
C.6+2+ D.6++
【解析】选C.由三视图知四边形ABCD为直角梯形，其面积为S1==3.三角形PAB为直角三角形，其面积为S2=×2×1=1.
三角形PAD面积为S3=×2×2=2，PD=2，
三角形PDC面积为S4=×2×2=2.
又PB=BC=，PC=2，作BE⊥PC于E，
则BE===，
所以三角形PBC的面积为S5=×2×=，
故表面积为S=S1+S2+S3+S4+S5=6+2+.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2018·宁波高二检测)若如图为某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为________，三棱锥D-BCE的体积为________.
【解析】根据题意分析可知，正视图为两条直角边分别是2，4的直角三角形，所以S=×2×4=4，
VD-BCE=VB-DCE=××4×2×2=.
答案：4
10.(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积V=12×π×2+2××12×π×1=π(m3).
答案：π
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.(2018·郑州高二检测)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，
(1)求此几何体的表面积.
(2)求此几何体的体积.
【解析】(1)由题意知，该几何体是一个组合体，上边是长方体，长为4cm，宽为4cm，高为2cm，下边是一个四棱台，上底边长为4cm，下底边长为8cm，高是3cm，四棱台的斜高为=，则该几何体的表面积S=4×4+4×2×4+8×8+(4+8)×÷2×4=(112+24)cm2.
(2)该几何体的体积V=4×4×2+(42+82+4×8)×3=144(cm3).
12.如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥D′-A′DC，求棱锥D′-A′DC的体积与剩余部分的体积之比.
【解析】设AB=a，AD=b，DD′=c，
则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc，因为V三棱锥D′-A′DC=V三棱锥C-A′DD′，
又S△A′DD′=bc，且三棱锥C-A′DD′的高为CD=a.
所以V三棱锥C-A′DD′=S△A′DD′·CD=abc.
则剩余部分几何体的体积V剩=abc-abc=abc.
故V三棱锥D′-A′DC∶V剩=abc∶abc=1∶5.
【一题多解】已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-
BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.因为
V三棱锥D′-A′DC=V三棱锥C-A′DD′，
而棱锥C-A′DD′的底面面积为S，高为h，
因此棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′=×Sh=Sh.余下的体积是Sh-Sh=Sh.
所以棱锥C-A′DD′，即棱锥D′-A′DC的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh=1∶5.
【能力挑战题】
如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积.
【解析】由已知条件可知，正三棱锥O-ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形，
经计算得底面△ABC的面积为.
所以该三棱锥的体积为××1=.
设O′是正三角形ABC的中心.
由正三棱锥的性质可知，OO′⊥平面ABC.
延长AO′交BC于D，连接OD，得AD=，O′D=.
又因为OO′=1，所以正三棱锥的斜高OD=.
故侧面积为3××2×=2.
所以该三棱锥的表面积为+2=3，
因此，所求三棱锥的体积为，表面积为3.
课件31张PPT。第一章 § 1.3 空间几何体的表面积与体积第1课时 柱体、锥体、台体
的表面积1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法；
2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题；
3.培养空间想象能力和思维能力.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
思考1 正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？答案答案 相等.思考2 棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？答案 是.答案各个面展开图知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1 圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 S侧＝2πrl，
S表＝2πr(r＋l).答案思考2 圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案答案 底面周长是2πr，
利用扇形面积公式得：S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l).思考3 圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案答案 如图，圆台的侧面展开图是扇环，
内弧长等于圆台上底周长，
外弧长等于圆台下底周长，S扇环＝S大扇形－S小扇形＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以，S圆台侧＝π(r＋R)l，
S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).答案2πr22πrlπr22πr(r＋l)πrlπr(r＋l)πr′2πr2π(r′l＋rl) π(r′2＋r2＋r′l＋rl)返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积例1 已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.反思与感悟解析答案反思与感悟解 如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，
O、O1分别是下、上底面正方形的中心，
则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.
连接OE、O1E1，过E1作E1H⊥OE，垂足为H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，反思与感悟解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决.跟踪训练1 在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？解析答案解析答案解析 如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.
取B1C1、BC的中点E1、E，
则EE1的延长线必过P点(以后可以证明).
O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心.
由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，所以PO1＝O1O＝12.在Rt△PO1E1中，在Rt△POE中，
PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝62×17，类型二 圆柱、圆锥、圆台的表面积例2 (1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3π B.4π
C.2π＋4 D.3π＋4解析答案解析 由三视图可知：该几何体为：
故表面积为：＝π＋2π＋4＝3π＋4.D解析答案反思与感悟解析 如图所示，设圆台的上底面周长为c，
因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，
同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，
所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2).
故圆台的表面积为1 100π cm2.(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是___________ (结果中保留π)1 100π cm2反思与感悟解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长.跟踪训练2 (1)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A.4倍 B.3倍 D.2倍解析 设圆锥底面半径为r，
由题意知母线长l＝2r，
则S侧＝πr×2r＝2πr2，解析答案D(2)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A.7 B.6 C.5 D.3解析 设圆台较小底面半径为r，
则另一底面半径为3r，
S侧＝π(r＋3r)×3＝84π，
∴r＝7.解析答案A类型三 简单组合体的表面积例3 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是________cm2.解析答案反思与感悟解析 将三视图还原为长方体与直三棱柱的组合体，再利用表面积公式求解.
该几何体如图所示，
长方体的长，宽，高分别为6 cm，4 cm ，3 cm，
直三棱柱的底面是直角三角形，
边长分别为3 cm，4 cm,5 cm，
所以表面积反思与感悟＝99＋39＝138(cm2).答案 138反思与感悟对于此类题目：
(1)将三视图还原为几何体；
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.返回跟踪训练3 一个几何体的三视图如图所示
(单位：m)，则该几何体的表面积为__________m2.解析 由三视图可以得到原几何体是一个圆柱与
圆锥的组合体，
其表面积为解析答案123达标检测 45解析答案1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )解析 设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，
由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2.
S表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，A12345解析答案2.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，
则该几何体的表面积为( )解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，
底面半径为1，高为 ，C123453.一个几何体的三视图(单位长度：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )解析 该几何体是四棱锥与正方体的组合，A解析答案12345解析答案4.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为___.解析 设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.2∴r＝1，即圆锥的底面直径为2.12345解析答案5.如图所示，直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积.12345解析答案解 设此直角三角形为ABC，
AC＝20，BC＝15，AC⊥BC，则AB＝25.
过C作CO⊥AB于O，
直角三角形绕AB所在直线旋转生成的旋转体，
它的上部是圆锥(1)，它的下部是圆锥(2)，
两圆锥共同底面圆的半径是OC，是圆锥(1)的高，圆锥(1)的表面积S1＝π×12(12＋20)＝384π，12345圆锥(2)中BO＝9是它的高，
圆锥(2)的表面积S2＝π×12(12＋15)＝324π.
旋转体的表面积应为两个圆锥表面积之和减去圆O面积的2倍，
即S＝S1＋S2－2×π×122＝384π＋324π－288π＝420π.规律与方法1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.
2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.
3.S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).返回§1.3 空间几何体的表面积与体积
第1课时 柱体、锥体、台体的表面积
一、基础过关
1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
A．8 B. C. D.
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为 ( )
A. B. C. D.
3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于 ( )
A．6 B．6π C．3π D．6π
4．三视图如图所示的几何体的全面积是 ( )
A．7＋ B.＋ C．7＋ D.
5．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．
6．一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示(单位：cm)，则该组合体的表面积为________cm2.
7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
8．长方体ABCD—A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，求其路程的最小值．
二、能力提升
9．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于 ( )
A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8
10．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 ( )
A．372 B．360 C．292 D．280
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
12．有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．
三、探究与拓展
13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．
答案
1．B 2．A 3．C 4.A 5.60° 6.12 800 7.2
8．解 把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为、、.
由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为.
9．A 10．B
11．38
12．解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．
AC＝＝5π cm，
故铁丝的最短长度为5π cm.
13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1.
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．
∴S表＝2S下＋S侧
＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36.
∴该几何体的表面积为36.
