第二课时 柱体、锥体、台体的体积
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）
（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.
（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.
3．情感、态度与价值观
通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.
（二）教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的体积计算.
难点：简单组合体的体积计算.
（三）教学方法
讲练结合
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
1．复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.
教师设问，学生回忆
师：今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量：体积.
复习巩固
点出主题
探索新知
柱体、锥体、台体的体积
1．柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱体 = Sh (S是底面积，h为柱体高)
V锥体 =(S是底面积，h为锥体高)
V台体 =(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)
2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
师：我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？
生：V = Sh (S为底面面积，h为高)
师：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积. 公式：V = Sh (S为底面面积，h为高)
师：锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出). 锥体的体积公式都是V = (S为底面面积，h为高)
师：现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论.
生：锥体体积同底等高的柱体体积的.
师：台体的结构特征是什么？
生：台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体，截得两平行平面间的部分.
师：台体的体积大家可以怎样求？
生：台体的体积应该等于两个锥体体积的差.
师：利用这个原理我们可以得到台体的体积公式
V =
其中S′、S分别为上、下底面面积，Q为台体的高(即两底面之间的距离)
师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？
生：令S′=0，得到锥体体积公式.
令S′=S，得到柱体体积公式.
柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解，故采用讲授式效率会更高.
因台体的体积公式的推导需要用到后面知识，故此处不予证明，只要学生了解公式及公式的推导思路.
培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握.
典例分析
例1 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12cm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14，可用计算器)？
解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即
≈2956 (mm3) = 2.956(cm3)
所以螺帽的个数为
5.8×1000÷(7.8×2.956)≈ 252(个)
答：这堆螺帽大约有252个.
师：六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么？你准备怎样计算它的体积？
生：六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.
学生分析，教师板书过程.
师：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等.
空间组合体的体积计算关键在于弄清它的结构特征.
典例分析
例2 已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积.
【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r，则高h = 2r，
∵S = S侧 + 2S底 = 2 +，∴.
∴内接正四棱柱的底面边长a=2r sin45°=.
∴V = S底·h =
= 4·，
即圆柱的内接正四棱柱的体积为.
教师投影例2并读题
师：要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考，要求内接正四棱柱的体积，只需求出等边圆柱的底面圆半径r，根据已知条件可以用S表示它.大家想想，这个轴截面最好选择什么位置.
生：取内接正四棱柱的对角面.
师：有什么好处？
生：这个截面即包括圆柱的有关量，也包括正四棱柱的有关量.
学生分析，教师板书过程.
师：本题是正四棱柱与圆柱的相接问题. 解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.
旋转体类组合体体积计算关键在于找好截面，找到这个截面，就能迅速搭好已知和未知的桥梁.
随堂练习
1．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积.
答案：2325 cm2.
2．正方体中，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几？
答案：.
学生独立完成
培养学生理解能力，空间想象能力.
归纳总结
1．柱体、锥体、台体的体积公式及关系.
2．简单组合体体积的计算.
3．等积变换
学生归纳，教师补充完善.
巩固所学，提高自我整合知识能力.
课后作业
1.3 第二课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备用例题
例1：三棱柱ABC – A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2 = 7:5 .
【分析】不妨设V1对应的几何体AEF – A1B1C1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的；V2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1来表示.
【解析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V = V1 + V2 = Sh.
∵E、F分别为AB、AC的中点
∴.
∴V1:V2 = 7:5.
【评析】本题求不规则的几何体C1B1—EBCF的体积时，是通过计算棱柱ABC—A1B1C1和棱台AEF—A1B1C1的体积的差来求得的.
例2：一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(=3.14)
【解析】因为圆锥形铅锤的体积为
(cm3)
设水面下降的高底为x，则小圆柱的体积为(20÷2)2x = 100x (cm3)
所以有60=100x，解此方程得x = 0.6 (cm).
答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.
1. 3.2 球的体积和表面积
【教学目标】
（1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
（2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】
重点：球的体积和面积公式的实际应用
难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【教学过程】
一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。
教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？
球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积，表面积Ｓ＝４πR2
二、典例
例1．一种空心钢球的质量是732πg，外径是5cm，求它的内径. （钢密度9g/cm3）
求空心钢球的体积 。
解析：利用“体积=质量/密度”及球的体积公式
解：设球的内径为r,由已知得球的体积V=732π/9(cm3)
由V=(4/3) π(53-r3)得r=4(cm)
点评：初步应用球的体积公式
变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________()
例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。 （答案：2500π）
解析：利用轴截面解决
解：设球的半径为R,球心到较大截面的距离为x则R2=x2+202,R2=(x+9)2+72
解得x=15,R=25所以球的表面积Ｓ＝2500π
点评：数形结合解决实际问题
变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，
则这个球的表面积是 。 （答案50π）
【板书设计】
一、球的面积和体积公式
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】P30 1、2
1.3.2 球的体积和表面积
课前预习学案
预习目标：记忆球的体积、表面积公式
预习内容：1.3.2课本内容思考：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来 表示球的体积和面积
三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一．学习目标：应用球的体积与表面积公式的解决实际问题
学习重点：球的体积和面积公式的实际应用
学习难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。
二．学习过程：教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。
教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？
球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积，表面积Ｓ＝４πR2
例1．一种空心钢球的质量是732πg，外径是5cm，求它的内径. （钢密度9g/cm3）
求空心钢球的体积 。
变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________
例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。
变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，
则这个球的表面积是 。
课后练习与提高
一．选择题
将气球的半径扩大1倍，它的体积增大到原来的（）倍
A2 B4 C8 D16
2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A.16π B.20π C.24π D.32π
3.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）
A.1倍 B.2倍 C.倍 D.倍.
二．填空题
4.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.
5.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________..
三．解答题
6. 图5是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？
图5
课后提升作业 六
球的体积和表面积
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.(2018·杭州高二检测)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( )
A.2倍 B.2倍 C.倍 D.倍
【解析】选B.设原球的半径为R，表面积扩大2倍，则半径扩大倍，体积扩大2倍.
2.将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为 ( )
A.π B. C.π D.4π
【解析】选B.根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r=1，所以V=πr3=π.
3.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为 ( )
A.4∶3 B.3∶1 C.3∶2 D.9∶4
【解析】选C.作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h=3R，圆锥底面半径r=R，
则l==2R，
所以===.
【延伸探究】本题条件不变，求圆锥的体积与表面积之比.
【解析】设球的半径为R，则圆锥的高为h=3R，
圆锥底面半径r=R，
所以===.
4.已知某球的大圆周长为c，则这个球的表面积是 ( )
A. B. C. D.2πc2
【解析】选C.设球的半径为r，则2πr=c，所以r=，所以球的表面积为S=4πr2=4π·=.
5.(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π，则r=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选B.由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的底面半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为×4πr2+πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π，解得r=2.
6.把半径分别为6cm，8cm，10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为 ( )
A.3cm B.6cm C.8cm D.12cm
【解析】选D.由πR3=π·63+π·83+π·103，
得R3=1728，检验知R=12.
7.(2018·上饶高二检测)空间几何体的外接球，理解为能将几何体包围，几何体的顶点和弧面在此球上，且球的半径要最小.若如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.该几何体是一个圆柱和一个正方体的组合体，作出该几何体与其外接球的轴截面如图所示：
则R2=x2+1=(2-x)2+，
解得：x=，R2=x2+1=，
故该几何体的外接球的表面积S=4πR2=π.
8.(2014·湖南高考)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解题提示】先由三视图画出直观图，判断这个几何体是底面是边长为6，8，10的直角三角形，高为12的水平放置的直三棱柱，底面的内切圆的半径就是得到的最大球的半径.
【解析】选B.由三视图画出直观图如图，判断这个几何体是底面边长为6，8，10的直角三角形，高为12的水平放置的直三棱柱，直角三角形的内切圆的半径为r==2，这就是得到的最大球的半径.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2018·广州高一检测)已知高与底面直径之比为2∶1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500π，则球的体积为________.
【解析】设圆柱的底面半径为r，则高为4r，由题意知πr2·4r=500π，则r=5，设球的半径为R，则R2=r2+4r2=125，所以R=5，故V球=π×(5)3=
答案：
10.已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为________.
【解析】如图，构造正方体ANDM-FBEC.因为三棱锥A-BCD的所有棱长都为，所以正方体ANDM-FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.
易知三棱锥A-BCD的外接球就是正方体ANDM-FBEC的外接球，所以三棱锥A-BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S球=4π=3π.
答案：3π
三、解答题
11.(10分)某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r=1，l=3，试求该组合体的表面积和体积.
【解析】两半球的表面积为S1=4πr2=4π，
圆柱的侧面积为S2=2πrl=2π×1×3=6π，
故该组合体表面积为4π+6π=10π，
两半球的体积为V1=πr3=π，
圆柱的体积为V2=πr2·l=π×12×3=3π，
故该几何体的体积为V1+V2=π+3π=π.
【补偿训练】1.有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，若正方体的棱长为a，求这三个球的表面积.
【解析】(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)，所以有2r1=a，r1=，
所以S1=4π=πa2.
(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)，所以有2r2=a，r2=a，所以S2=4π=2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，所以有2r3=a，r3=a，
所以S3=4π=3πa2.
2.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.
【解析】由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.
根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π·(r)2·3r-πr3=πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，
从而容器内水的体积是V′=π··h=πh3，由V=V′，得h=r，即容器中水的深度为r.
课件30张PPT。第一章 § 1.3 空间几何体的表面积与体积第2课时 柱体、锥体、台体、球
的体积与球的表面积1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积；
2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积；
3.会求简单组合体的体积及表面积.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1.柱体的体积公式 (S为底面面积，h为高)；2.锥体的体积公式 (S为底面面积，h为高)；
3.台体的体积公式 (S′、S为上、下底面面积，h为高)；答案V＝Sh4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系答案知识点二 球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式S＝ (R为球的半径)；
2.球的体积公式 .4πR2返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 柱体、锥体、台体的体积
例1 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为____m3.解析 由所给三视图可知，
该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，
底面半径为1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的高为2 m，
因此该几何体的体积解析答案(2)在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M为AE的中点，设E—ABCD的体积为V，那么三棱锥M—EBC的体积为多少？反思与感悟解析答案解 设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2.
连接MD.
因为M是AE的中点，反思与感悟而VE—MBC＝VB—EMC，VE—MDC＝VD—EMC，因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，反思与感悟三棱锥的任一侧面都可以作为底面来求其体积；在已知三棱锥的体积时，可用等体积法求点到平面的距离.跟踪训练1 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )解析答案解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，
圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，C类型二 球的表面积与体积例2 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是____.解析答案解析 设圆锥的底面半径为R，(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.
解析 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，
且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母
线长等于5，
所以该几何体的表面积为
S＝2π×32＋π×3×5＝33π.解析答案反思与感悟33π反思与感悟对于(1)中关键要记住球的表面积公式和体积公式，对于关于球的三视图，要特别注意，球的三种视图都是直径相同的圆. 跟踪训练2 (1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于( )
A.1 B.2 C.4 D.8解析答案解析 由正视图与俯视图想象出直观图，然后进行运算求解.
如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，
球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，又S＝16＋20π，
∴(5π＋4)r2＝16＋20π，
∴r2＝4，r＝2，故选B.答案 B(2)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.解析答案反思与感悟解析 设球的半径为R，
则V柱＝πR2·2R＝2πR3，3∶1∶2类型三 组合体的表面积与体积
例3 (1)一球与棱长为2的正方体各个面相切，则该球的体积为_____.
解析 由题意可知球是正方体的内切球，
因此球的半径为1，解析答案反思与感悟(2)正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________.解析答案解析 正方体内接于球，
则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合.
可见，正方体的对角线是球的直径.设球的半径是r，
则正方体的对角线长是2r.反思与感悟解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来解决.跟踪训练3 (1)球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为( )
A.6∶13 B.5∶14 C.3∶4 D.7∶15解析答案解析 如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，
球的大圆O内切于梯形ABCD.
设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，
由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1＋r2.
∵∠AOB＝90°，OE⊥AB(E为切点)，
∴R2＝OE2＝AE·BE＝r1·r2.
由已知S球∶S圆台侧＝4πR2∶π(r1＋r2)2＝3∶4.返回(2)长方体的一个顶点处的三条棱长分别为2， 它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为________.解析答案123达标检测 45解析答案1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为( )D12345解析答案2.设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为 ，那么它的体积为( )解析 依题意得正六棱锥的高为B123453.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( )
A.2π B.4π
C.8π D.16π
解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，
所以表面积为S＝4π×12＝4π.B解析答案12345解析答案4.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为____.解析 由三视图可知，该几何体是一个半球，
∴其表面积为2π×12＋π＝3π.3π12345解析答案5.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________.12345解析答案解析 方法一 如图，过球心O作轴截面ABCD，
作DE⊥BC，垂足为E.设球的半径为r1，
则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.12345方法二 如图，过球心O作轴截面ABCD，
设球的半径为r1，AB与圆O相切于点F，
连接OA，OB，OF，
则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高.
由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，故球的表面积为S球＝4πRr.规律与方法1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为S′＝02.在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h， 这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.
4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.
5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.返回第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
一、基础过关
1．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的时，它的体积是原来的 ( )
A. B. C. D.
2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为 ( )
A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1
3．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为 ( )
A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2 D．b2∶a2
4．若球的体积与表面积相等，则球的半径是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________ cm.
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为______ cm3.
7．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是______；
(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是______．
8．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．
二、能力提升
9．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( )
A．24π cm2,12π cm3 B．15π cm2,12π cm3
C．24π cm2,36π cm3 D．以上都不正确
10．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的体积和表面积分别为 ( )
A．2π，6π B．3π，5π
C．4π，6π D．2π，4π
11．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.
12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
三、探究与拓展
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
答案
1．C 2.A 3.B 4.C 5.3 6．6
7．(1)球 (2)球
8．解 ∵PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a.
∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体．
又∵P、A、B、C四点是球面上四点，
∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径．
∴2R＝a，R＝a，
∴V＝πR3＝π(a)3＝πa3.
9．A 10.A 11.9π＋18
12．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，
而将球取出后，设容器内水的深度为h，
则水面圆的半径为h，
从而容器内水的体积是
V′＝π·(h)2·h＝πh3，
由V＝V′，得h＝r.
即容器中水的深度为r.
13．解 设正方体的棱长为a.如图所示．
(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，
所以有2r1＝a，
r1＝，
所以S1＝4πr＝πa2.
(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，
过球心作正方体的对角面得截面，
2r2＝a，r2＝a，
所以S2＝4πr＝2πa2.
(3)中正方体的各个顶点在球面上，
过球心作正方体的对角面得截面，
所以有2r3＝a，r3＝a，
所以S3＝4πr＝3πa2.
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
