股票图==血压图？
中考内容
中考要求
A
B
C
二次函数
了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象
能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题
二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份
2010年
2011年
2012年
题号
24
7，8，23
8，23
分值
8分
11分
11分
考点
确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合
抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）
函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围
定 义
示例剖析
二次函数的定义：一般地，形如
（是常数，）的函数，叫做二次函数．其中是自变量，，，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．
例如是二次函数，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
⑴ 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的．也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是，如果存款额是元，一年到期后，本息和 元；若一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，则两年后的本息和 元（不考虑利息税）．
⑵ 下列函数中哪些是二次函数，哪些不是，如果是二次函数，指出二次项系数、一次
项系数、常数项．
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．
⑶ ①如果函数是关于的二次函数，则 ．
②是关于的二次函数，则 ．
③若函数为二次函数，则的值为 ．
④已知是关于的二次函数，则的值为 ．
二次函数的图象：一般地，二次函数的图象叫做抛物线．每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．二次函数的图象是对称轴平行于轴的一条抛物线．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
①二次函数的性质
向上
轴
当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；
时，有最小值．
向下
轴
当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；
时，有最大值．
②二次函数的性质
向上
轴
当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；
时，有最小值．
向下
轴
当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；
时，有最大值．
③二次函数的性质
向上
当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；
时，有最小值．
向下
当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；
时，有最大值．
④二次函数的性质
向上
当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；
时，有最小值．
向下
当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；
时，有最大值．
⑤二次函数的性质
向上
当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
二次函数图象与系数的关系
⑴决定抛物线的开口方向
当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．
决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．
温馨提示：几条抛物线的解析式中，若相等，则其开口大小相同，即若相等，则开口
方向及大小相同，若互为相反数，则开口大小相同、开口方向相反．
⑵和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）
当时，抛物线的对称轴为轴；
当、同号时，对称轴在轴的左侧；
当、异号时，对称轴在轴的右侧．
简称“左同右异”.
⑶的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）
当时，抛物线与轴的交点为原点；
当时，交点在轴的正半轴；
当时，交点在轴的负半轴．
在同一平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数①、②、③和
④的图象，指出各个二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并根据二次函数图象判断 的图象开口最大．
⑴ 若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则
a的值为 ．
⑵ 已知二次函数、、，它们的图象开口由小到大的顺序
是（ ）
A． B．
C． D．
⑶ 如图，抛物线①②③④对应的解析式为，，， ，将、、、从小到大排列为 ．
⑴关于x的二次函数，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是 ．
⑵抛物线经过点，，，则该抛物线上纵坐标为的另一个点的坐标是 ．
⑶已知点，是函数上两点，则当时，函数值
___________．
⑴判断下列哪一组的a、b、c，可使二次函数在坐标平
面上的图形有最低点？ （ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
⑵二次函数的图象如图，一次函数
的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
⑶顶点为，开口方向、大小与函数的图象相同的抛物线是( )
A． B．
C． D．
⑷ 二次函数的最小值为 ．
⑸ 二次函数的顶点在轴上，则 ，若顶点在轴上，则 ．
⑴二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为、、，则、、的大小关系为 ．
⑵二次函数的图象经过点A(，0)、O(0，0)、B(，y1)、
C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是 ．
已知二次函数．
⑴ 将其化成的形式；
⑵ 写出开口方向，对称轴，顶点坐标；
⑶ 求图象与两坐标轴的交点坐标；
⑷ 画出函数图象；
⑸ 说明其图象与抛物线的关系；
⑹ 当取何值时，随增大而减小；
⑺ 当取何值时，，，；
⑻ 当取何值时，函数有最值？其最值是多少？
⑼ 求函数图象与两坐标轴交点所确定的三角形面积．
若点P与Q在抛物线上(点P、Q不重合)，且y1=y2，求代数式的值.
若函数为二次函数，则的值是 ．
．
抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
．
若二次函数的图象上有两个点、，则下列判断中正确
的是（ ）
A． B． C． D．与的大小不确定
【探索】若二次函数的图象上有两个点、，则，的大小关系为 ；若二次函数的图象上有两个点、，则，的大小关系为 ；若二次函数的图象上有两个点、，则，的大小关系为 ．
已知二次函数，当自变量取时，其相应的函数值小于，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．以上都可能
抛物线对称轴为，函数的最小值是，求实数，．
⑴函数与在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）
⑵设、是常数，且，抛物线为下图中四个图象之一，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
知识模块一 二次函数的定义 课后演练
二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
知识模块二 二次函数的图象与性质 课后演练
一抛物线和抛物线的开口大小、开口方向完全相同，顶点坐标是(，)，则该抛物线的解析式为( )
A． B.
C． D.
已知函数的部分图象如图所示，则_____．
已知二次函数，为常数，当达到最小值时，的值
为（ ）
A． B． C． D．
二次函数的图象如图所示，若点、是图象上的两点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
已知，点，，，，，都在二次函数的图象上，则（ ）
股票图==血压图？
中考内容
中考要求
A
B
C
二次函数
了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象
能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题
二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份
2010年
2011年
2012年
题号
24
7，8，23
8，23
分值
8分
11分
11分
考点
确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合
抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）
函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围
定 义
示例剖析
二次函数的定义：一般地，形如
（是常数，）的函数，叫做二次函数．其中是自变量，，，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．
例如是二次函数，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
⑴ 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的．也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是，如果存款额是元，一年到期后，本息和 元；若一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，则两年后的本息和 元（不考虑利息税）．
⑵ 下列函数中哪些是二次函数，哪些不是，如果是二次函数，指出二次项系数、一次
项系数、常数项．
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．
（北京市十一学校练习）
⑶ ①如果函数是关于的二次函数，则 ．
（八中期中）
②是关于的二次函数，则 ．
（海淀期末复习题）
③若函数为二次函数，则的值为 ．
（铁二期中）
④已知是关于的二次函数，则的值为 ．
（西外期中）
⑴ （或），（或）．
⑵ ①②④是二次函数，其余的都不是．
①的一般式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
②的一般式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
④的一般式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
⑶ ① ；②；③ ；④ ．
【点评】⑴主要作用是通过一次函数类比提出二次函数的定义；⑵熟练掌握二次函数的有关概念．
⑶主要考查二次项系数不为0这一易错点.
二次函数的图象：一般地，二次函数的图象叫做抛物线．每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．二次函数的图象是对称轴平行于轴的一条抛物线．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
①二次函数的性质
向上
轴
当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；
时，有最小值．
向下
轴
当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；
时，有最大值．
②二次函数的性质
向上
轴
当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；
时，有最小值．
向下
轴
当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；
时，有最大值．
③二次函数的性质
向上
当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；
时，有最小值．
向下
当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；
时，有最大值．
④二次函数的性质
向上
当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；
时，有最小值．
向下
当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；
时，有最大值．
⑤二次函数的性质
向上
当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
二次函数图象与系数的关系
⑴决定抛物线的开口方向
当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．
决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．
温馨提示：几条抛物线的解析式中，若相等，则其开口大小相同，即若相等，则开口
方向及大小相同，若互为相反数，则开口大小相同、开口方向相反．
⑵和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）
当时，抛物线的对称轴为轴；
当、同号时，对称轴在轴的左侧；
当、异号时，对称轴在轴的右侧．
简称“左同右异”.
⑶的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）
当时，抛物线与轴的交点为原点；
当时，交点在轴的正半轴；
当时，交点在轴的负半轴．
在同一平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数①、②、③和
④的图象，指出各个二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并根据二次函数图象判断 的图象开口最大．
⑴对二次函数进行列表、描点、用光滑的曲线连起来如图所示．
⑵对二次函数进行列表、描点、用光滑的曲线连起来如图所示．
⑶对二次函数进行列表，描点，用光滑的曲线连起来如图所示．
⑷对二次函数进行列表，描点，用光滑的曲线连起来如图所示．
根据图象可知①②开口向上，③④开口向下，四个函数的对称轴都是轴，四个函数的顶点都是原点，的图象开口最大．
提示：课本上至少选取个点．通过此例题让学生掌握二次函数图象的画法，并借助图象介绍抛物线的开口方向、对称轴和顶点，对称轴两边的图象的走势．并进一步引导学生思考与图象的关系．
老师可继续利用图象讲清与的图象性质.
⑴ 若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则
a的值为 ． (2012四川广元)
⑵ 已知二次函数、、，它们的图象开口由小到大的顺序
是（ ）
A． B．
C． D．
⑶ 如图，抛物线①②③④对应的解析式为，，， ，将、、、从小到大排列为 ．
⑴；⑵ C；⑶ ．
⑴关于x的二次函数，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是 ．
（2012江苏镇江）
⑵抛物线经过点，，，则该抛物线上纵坐标为的另一个点的坐标是 ． （山东中考）
⑶已知点，是函数上两点，则当时，函数值
___________．
⑴；⑵ ；
⑶3.
法一：由题意可知：，关于抛物线的对称轴对称，故，
∴当时，
法二：因为当取不同的值，时函数值相等，所以与关于对称轴对称，所以对称轴可以表示为：．题目等价于求横坐标为的点关于对称轴对称的点，即对应的纵坐标为3.
⑴判断下列哪一组的a、b、c，可使二次函数在坐标平
面上的图形有最低点？ （ ） (2012台湾)
A．，， B．，，
C．，， D．，，
⑵二次函数的图象如图，一次函数
的图象经过（ ） （2012泰安）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
⑶顶点为，开口方向、大小与函数的图象相同的抛物线是( )
A． B．
C． D．
⑷ 二次函数的最小值为 ． (2012人大附统练)
⑸ 二次函数的顶点在轴上，则 ，若顶点在轴上，则 ．
（清华附中统练）
⑴ D；⑵ C；⑶ C；⑷；⑸ ，或．
⑴二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为、、，则、、的大小关系为 ． (2012江苏常州)
⑵二次函数的图象经过点A(，0)、O(0，0)、B(，y1)、
C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是 ．
(2012崇左)
【解析】⑴＜＜．
⑵.
已知二次函数．
⑴ 将其化成的形式；
⑵ 写出开口方向，对称轴，顶点坐标；
⑶ 求图象与两坐标轴的交点坐标；
⑷ 画出函数图象；
⑸ 说明其图象与抛物线的关系；
⑹ 当取何值时，随增大而减小；
⑺ 当取何值时，，，；
⑻ 当取何值时，函数有最值？其最值是多少？
⑼ 求函数图象与两坐标轴交点所确定的三角形面积．
⑴ ；
⑵ 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；
⑶ 图象与轴的交点为，与轴的交点为
和；
⑷ 对二次函数进行列表，描点，用光滑
的曲线连起来如图所示．
⑸ 函数的图象向左平移个单位，再向下平移
个单位可得到的图象；
⑹ 当时，随增大而减小；
⑺ 当时，；当或，；
当或时，．
⑻ 当时，函数有最小值，其最小值为；
⑼ 函数图象与两坐标轴交点所确定的三角形面积为．
若点P与Q在抛物线上(点P、Q不重合)，且y1=y2，求代数式的值. （2012海淀一模）
法一：∵点P与Q在抛物线上,
∴.
∵
∴.
可得 .
即 .
∵ 点P, Q不重合,
∴ n(0.
∴ .
∴
法二：∵ =(x+2)2-1，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=-2.
∵ 点P与Q在抛物线上, 点P, Q不重合, 且
∴ 点 P, Q关于直线 x=-2对称.
∴
∴ .
下同法一.
若函数为二次函数，则的值是 ． （海淀教研练习）
【解析】，解得，，又∵，∴．
抛物线的顶点坐标是（ ） （平谷期末）
A． B． C． D．
【解析】B．
抛物线，故顶点为．
建议：易错点内容只是给出范例，对于不同学生易错点不同，教师可根据班级错误情况自行总结．
第01讲精讲：二次函数之轴对称的应用
抛物线y＝是以直线x＝－为对称轴的轴对称图形，不难得到如下性质：
（1）抛物线上对称两点的纵坐标相等；抛物线上纵坐标相同的两点是对称点．
（2）如果抛物线交x轴于两点，那么这两点是对称点．
（3）若设抛物线上对称两点的横坐标分别为x1、x2，则抛物线的对称轴为．
（4）若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是，且其对称轴是，则另一个交点B的坐标可以用，表示出来．
灵活应用上述性质，可使很多有关抛物线的问题获得速解．
1、根据对称点求对称轴
【变式1】(2012年北京)已知二次函数在和时的函数值相等，求二次函数的解析式.
【解析】由题意可知依二次函数图象的对称轴为，则。
∴，∴
【变式2】(1)已知二次函数，其中，，满足
和，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．
(2) 抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
【解析】(1); (2)A
2、根据对称轴求对称点
【变式3】抛物线的对称轴是直线，且过点，则的值为( )
A. 0 B. 1 C. D. 2
【解析】D
【变式4】（南通市）已知二次函数，当自变量取两个不同的值、时，函数值相等，则当自变量取时的函数值与 ( )
A、时的函数值相等 B、时的函数值相等
C、时的函数值相等 D、时的函数值相等
【解析】B.
3、1与2结合
【变式4】（长春市）在二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
y
则的值为 ．
【解析】－1．
【变式5】（宁夏回族自治区）二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：
x
－1
－
0
1
2
3
y
－2
－
1
2
1
－
－2
（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．
（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0，a，b，c是常数)的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个 ．
①－＜x1＜0，＜x2＜2 ；②－1＜x1＜－，2＜x2＜；③－＜x1＜0，2＜x2＜；④－1＜x1＜－，＜x2＜2．
【解析】（1）观察表中的数据特征，易知对应的点坐标都是关于直线x＝对称，从而知（1，2）为顶点坐标且抛物线开口向下．
（2）由此－＜x1＜0，2＜x2＜．所以两个根x1，x2的取值范围是③．
4、比较函数值大小
【变式6】(1) 已知点（，y1）、（，y2）、（0.5，y3）在函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
(2) 已知二次函数的图象上有三个点，坐标分别为
、、，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】(1)C; (2)D
若二次函数的图象上有两个点、，则下列判断中正确
的是（ ）
A． B． C． D．与的大小不确定
【探索】若二次函数的图象上有两个点、，则，的大小关系为 ；若二次函数的图象上有两个点、，则，的大小关系为 ；若二次函数的图象上有两个点、，则，的大小关系为 ．
B；，，.
已知二次函数，当自变量取时，其相应的函数值小于，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．以上都可能
A．
抛物线对称轴为，函数的最小值是，求实数，．
∵，∴
∴
由上面两式可得：，∴的值为，的值为．
⑴函数与在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）
⑵设、是常数，且，抛物线为下图中四个图象之一，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
⑴ A . ∵，∴，
∴抛物线与轴交于正半轴，∴排除、.
当时，双曲线在第一、三象限，抛物线开口向上，当时，双曲线在第二、四象限，抛物线开口向下，∴选择.
⑵D.
知识模块一 二次函数的定义 课后演练
二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
B．
知识模块二 二次函数的图象与性质 课后演练
一抛物线和抛物线的开口大小、开口方向完全相同，顶点坐标是(，)，则该抛物线的解析式为( )
A． B.
C． D.
B.
已知函数的部分图象如图所示，则_____．
（常州中考）
2．
已知二次函数，为常数，当达到最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】B. 考察二次函数最值问题．当函数取最值时的值，就是对称轴对应的值，所以
．
二次函数的图象如图所示，若点、是图象上的两点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
（深圳中考）
C．
已知，点，，，，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A. 因为，所以：，函数的对称轴为，开口向下，由图象知当时，随着的增大而增大，所以，．选A．
函数，当 时，函数值随的增大而减小．当 时，函数取得最
值，最 值 ．
（海淀期末复习题）
，，大，大，．
已知：二次函数中的满足下表：
…
…
…
…
则的值为 ．
（海淀期末）
．
已知点，，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B C D 不确定
A．
已知的图象如下图所示，则的图象一定过（ ）
A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限
C 第二、三、四象限 D 第一、三、四象限
C．
通过图象可以看出：，，∴，∴一次函数 的图象不经过第一象限．
