黄金比例？？
中考内容
中考要求
A
B
C
图形的相似
了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系
会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小
相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题
三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。
估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将在圆的有关计算等解答题中加大知识的横向与纵向联系的力度。
年份
2010年
2011年
2012年
题号
3
4，20
11，20
分值
4分
9分
9分
考点
相似三角形的简单计算
根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合
根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合
一、比例的性质
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：、
或
※（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
※（7）等比性质：
（其中为正整数，且）
①
② ，当时
二、成比例线段及相关概念
概 念
1．两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比．
2．成比例线段：如果线段和的比等于线段和的比，那么线段，，，叫做成比例线段，记作或．
3．比例中项：若，则称是，的比例中项．
4．黄金分割点：
如图，点把线段分成两条线段和（），若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．
注意：线段的黄金分割点有两个．
三、平行线分线段成比例定理及推论
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
如图1，所示，如果，则，，．
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
如图2，所示，若，则有，，．
如图3，若，则有．
图⑴ 图⑵ 图⑶
⑴ 若，则（ ）
A． B． C． D．
⑵ 已知，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． (且) D．
⑶ 已知，则 ．
⑷ 在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5，则AB两地间的
实际距离为 m．
⑸ 已知b是a、c的比例中项，且，，则 _____.
⑴ 在中，交于，交于，下列不能成立的比例式是（ ）
A． B． C． D．
⑵ 如图，已知，则
① ；
②若，则 cm，
③若的周长为16cm，则的周长为 ．
⑶ 如图，中有菱形，如果，则的
值为 ．
⑷ 如图，已知，，现得到下列结论：
①；②；③；④，
其中正确比例式的个数有（ ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
定 义
示例剖析
相似图形：形状相同的图形叫做相似图形．
两个正方形是相似图形
相似多边形：我们把形状相同，大小不同的多边形，叫做相似多边形．
放大后的图形和放大前的图形是相似多
边形．
相似三角形： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）
相似三角形的性质：
⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
相似三角形对应的高线、中线、角平分线的
比等于相似比；（需要证明）
⑵ 相似三角形的周长之比等于相似比.
⑶ 相似三角形的面积比等于相似比的平方．
若，
则（为相似比）
，
⑴ 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是
她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花
边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是
（ ）
A B C D
⑵ 如图，中，点在线段上，且，
则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
⑶ 如图，在平行四边形ABCD中，，，E
是AD的中点，在AB上取一点F，使，
则BF的长是（ ）
A. 5 B. 8.2 C. 6.4 D. 1.8
⑷如图，，点D、E分别在AB、AC上，
且∠ABC=∠AED．若DE=4，AE=5，BC=8；则AB的长
为 ．
相似三角形的判定定理
⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；
⑵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
⑶三边对应成比例的两个三角形相似.
由⑴得到
① 任何两个等边三角形都相似;
② 任何顶角相等的两个等腰三角形都相似;
③ 三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似;
④ 一个锐角相等的两个直角三角形相似．
⑴如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，
不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC
C． D．
⑵ 给出以下条件：
①的两个角分别是和，的两个角分别是和.
②的两边长分别为和，夹角为，的两边长分别为和，夹角为.
③的边长分别是、、，的边长分别是、、.
④中，，，，中，，，.
其中能判定和相似的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个
⑴ 如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①，②，③，④
，⑤，⑥，其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）
A．②③④ B．③④⑤
C．④⑤⑥ D．②③⑥
⑵ 如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，
是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点、、为顶点的三角形与相似（全等除外），则格点的坐标是 ．
⑶ ，，，，则 ．
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．
(1) 求证：△ABG∽△BFE；
(2) 设，，当四边形EFCD为平行四边形时，求BC的长度．
类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
(1) 如图1，在□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若，求的值．
(2) 拓展迁移：如图2，梯形ABCD中，DC//AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F．若，，则的值是__________(用含a，b的代数式表示) ．
下列命题中，假命题是 （ ）
A．若两个直角三角形中，各有一个角是，则两三角形相似
B．若两个等腰三角形中，各有一个角是，则两三角形相似
C．若两个等腰三角形中，各有一个角是，则两三角形相似
D．若两个等腰三角形中，各有一个角是，则两三角形相似
_____________________
如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
_____________________
若，则 ．
已知：如图，Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，DE∥AB．
⑴当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长；
⑵当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长．
如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排摆放，求．
如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接（）.
（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.
（2）设是否存在这样的值，使得∽，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.
知识模块一 成比例线段 课后演练
如图，在中，，延长到，在上取，连结与交于，求证：．
知识模块二 相似的相关知识点 课后演练
如图，在长为、宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的
矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形面积是（ ）
A． B． C． D．
知识模块三 相似三角形的判定 课后演练
如图，、是的边、上的点，且，
求证：.
梯形中，，，、分别为AB与BC中点．
求证：⑴ ；
⑵ ，求的长．
下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
黄金比例？？
中考内容
中考要求
A
B
C
图形的相似
了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系
会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小
相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题
三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。
估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将在圆的有关计算等解答题中加大知识的横向与纵向联系的力度。
年份
2010年
2011年
2012年
题号
3
4，20
11，20
分值
4分
9分
9分
考点
相似三角形的简单计算
根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合
根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合
一、比例的性质
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：、
或
※（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
※（7）等比性质：
（其中为正整数，且）
①
② ，当时
二、成比例线段及相关概念
概 念
1．两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比．
2．成比例线段：如果线段和的比等于线段和的比，那么线段，，，叫做成比例线段，记作或．
3．比例中项：若，则称是，的比例中项．
4．黄金分割点：
如图，点把线段分成两条线段和（），若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．
注意：线段的黄金分割点有两个．
三、平行线分线段成比例定理及推论
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
如图1，所示，如果，则，，．
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
如图2，所示，若，则有，，．
如图3，若，则有．
图⑴ 图⑵ 图⑶
建议老师使用面积法证明相关结论.（学生版不加这句话）
⑴ 若，则（ ）
A． B． C． D．
⑵ 已知，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． (且) D．
⑶ 已知，则 ．
⑷ 在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5，则AB两地间的
实际距离为 m．
⑸ 已知b是a、c的比例中项，且，，则 _____.
⑴ D．⑵ D．⑶ ∵，∴，∴．⑷ 100；⑸.
⑴ 在中，交于，交于，下列不能成立的比例式是（ ）
A． B． C． D．
⑵ 如图，已知，则
① ；
②若，则 cm，
③若的周长为16cm，则的周长为 ．
⑶ 如图，中有菱形，如果，则的
值为 ．
⑷ 如图，已知，，现得到下列结论：
①；②；③；④，
其中正确比例式的个数有（ ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
⑴ D；⑵ ；4；24；⑶ ；⑷ B.
定 义
示例剖析
相似图形：形状相同的图形叫做相似图形．
两个正方形是相似图形
相似多边形：我们把形状相同，大小不同的多边形，叫做相似多边形．
放大后的图形和放大前的图形是相似多
边形．
相似三角形： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）
相似三角形的性质：
⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
相似三角形对应的高线、中线、角平分线的
比等于相似比；（需要证明）
⑵ 相似三角形的周长之比等于相似比.
⑶ 相似三角形的面积比等于相似比的平方．
若，
则（为相似比）
，
⑴ 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是
她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花
边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是
（ ）
A B C D
⑵ 如图，中，点在线段上，且，
则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
⑶ 如图，在平行四边形ABCD中，，，E
是AD的中点，在AB上取一点F，使，
则BF的长是（ ）
A. 5 B. 8.2 C. 6.4 D. 1.8
⑷如图，，点D、E分别在AB、AC上，
且∠ABC=∠AED．若DE=4，AE=5，BC=8；则AB的长
为 ．
(2012湖北随州)
⑴ D. ⑵ C. ⑶ D. ⑷10．
相似三角形的判定定理
⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；
⑵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
⑶三边对应成比例的两个三角形相似.
由⑴得到
① 任何两个等边三角形都相似;
② 任何顶角相等的两个等腰三角形都相似;
③ 三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似;
④ 一个锐角相等的两个直角三角形相似．
⑴如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，
不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC
C． D．
(2012海南)
⑵ 给出以下条件：
①的两个角分别是和，的两个角分别是和.
②的两边长分别为和，夹角为，的两边长分别为和，夹角为.
③的边长分别是、、，的边长分别是、、.
④中，，，，中，，，.
其中能判定和相似的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个
（北京三帆中学期中试题）
⑴ 或或（答案不唯一）；
⑵ D.
⑴ 如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①，②，③，④
，⑤，⑥，其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）
A．②③④ B．③④⑤
C．④⑤⑥ D．②③⑥
⑵ 如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，
是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点、、为顶点的三角形与相似（全等除外），则格点的坐标是 ．
⑶ ，，，，则 ．
(2012新疆)
⑴ B；⑵、. ⑶．
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．
(1) 求证：△ABG∽△BFE；
(2) 设，，当四边形EFCD为平行四边形时，求BC的长度．
（2012湖北宜昌）
(1) 证明：∵AD∥BC；
∴∠AEB=∠EBF；
∵由折叠知△EAB≌△EGB，
∴∠AEB=∠BEG，∠EBF=∠BEF；
∴FE=FB，△FEB为等腰三角形；
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°；
∴∠ABG=∠EFB；
在等腰△ABG和△FEB中，
，；
∴∠BAG=∠FBE；
∴△ABG∽△BFE；
(2) ∵四边形EFCD为平行四边形， EF∥DC；
∵由折叠知，∠DAB=∠EGB=90°，∠DAB=∠BDC=90°；
又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC；
∴△ABD∽△DCB；
∴；
∵AD=4，AB=3，
∴BD=5；
∴；
即BC=.
【备选1】如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，
BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．
(1) 求证：△ABE∽△ECF；
(2) 找出与△ABH相似的三角形，并证明；
(3) 若E是BC中点，，，求EM的长．
（2012山东泰安）
【解析】(1) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．∵AE⊥EF，
∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEB+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF．
(2) △ABH∽△ECM．证明：∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠ABH=∠ECM，
由(1)知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM．
(3) 解：作MR⊥BC，垂足为R，∵AB=BE=EC=2，
∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，∴∠MER=45°，CR=2MR，∴，，∴．
【备选2】 如图，直角梯形中，，，点在上，点在上，
．
⑴求证：．
⑵当，，点、分别是、的中点时，求直角梯形的面积．
⑴ 在梯形中，
∴
∵
∴
∴
⑵ ∵，，
∴
又∵是的中点，∴
∵
∴
∴，∴
∵是的中点
∴
∴直角梯形的面积.
类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
(1) 如图1，在□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若，求的值．
(2) 拓展迁移：如图2，梯形ABCD中，DC//AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F．若，，则的值是__________(用含a，b的代数式表示) ． （2012河南）
(1)
作EH∥AB交BG于点H，则∽
∴
∵AB=CD，∴
EH∥AB∥CD，∴∽
∴，∴CG=2EH
∴
(2) ，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H．
【备选3】⑴ 如图所示，是的中线，点在上，是的延长线与的交点．
① 如果是的中点，求证：；
② 由①知，当是的中点时，成立，若是上任意一点（如图所示，与、不重合），上述结论是否成立？若成立，请写出证明；若不成立，请说明理由．
⑵ 如图所示，在中，是的中点，是上一点，
且，连接并延长，交的延长线于点，求的值． （北京师范大学附属中学期中测试）
⑴过点、、作平行线均可构造出平行线的基本图形，
然后利用这些基本图形的性质来解题．
①如图所示，过点作的平行线，交于点．
由可得，
由可得，
则；
②结论依然成立，解法同上．
⑵ 如图所示，过点作的平行线交于点．
因为，，
则．
而，
故．
又因为，
则.
第04讲精讲：作平行线构造相似三角形方法探究
引入新的概念：线段的分点与公共分点；
线段的分点：已知线段AB，在直线AB上有一点C，若AC与BC之间具有特殊的比例关系，则将点A、B、C称为线段AB的三个不同的分点；
公共分点：不在同一条直线上的具有特殊比例关系的两条线段的共同的分点；
过公共分点作平行线，构造基本相似模型，来沟通题设所给的两个特殊比例关系是常见的相似解题方法；
基本相似模型为“A字型”和“8字型”.
【探究1】如图，一条直线与△ABC的边AB、AC及BC的延长
线交于D、E、F三点.若，试说明：D是
AB的中点.
【分析】结论AD=BD，我们可视A、B、D为线段AB的三个不
同的分点；条件，我们可视A、E、C为线段AC的三个不同的分点.两者结合可得：A为公共分点，过A作BF的平行线交FD的延长线于点G.图中就可以出现与条件和结论都有密切联系的两个“8字型”的基本构图，如下图所示；
类似地：过点A作DF的平行线交BF的延长线于点H，我们可以得到两个“A字型”的基本构图，如下图所示；
【探究2】已知：如图，在△ABC中，，E为CD
的中点，AE的延长线交BC于点F.求.
【分析】由可知：A、D、B为线段AB的三个分点；
由CE=DE可知：C、D、E为线段CD的三个分点；
由可知：B、C、F为线段BC的三个分点，
故此共有三个公共分点：点D、点B、点C.
过这三个公共分点均可作两条平行线构造与条件和结论有联系的基本构图，
因此本题至少共有六种不同的求法.
辅助线如下图所示；
方法一：过点D作AC的平行线交BC与点G；
方法二：过点D作BC的平行线交AF与点G；
方法三：过点B作AF的平行线交CD的延长线于点G；
方法四：过点B作DC的平行线交AF的延长线于点G；
方法五：过点C作AB的平行线交AF的延长线于点G；
方法六：过点C作AF的平行线交BA的延长线于点G.
下列命题中，假命题是 （ ）
A．若两个直角三角形中，各有一个角是，则两三角形相似
B．若两个等腰三角形中，各有一个角是，则两三角形相似
C．若两个等腰三角形中，各有一个角是，则两三角形相似
D．若两个等腰三角形中，各有一个角是，则两三角形相似
（北京八中期中试题）
C.
_____________________
如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
D.
_____________________
若，则 ．
或.
① 若，由等比性质得
∴，，
于是有
② 若，∴，∴，
于是有．综上原式的值为或．
点评：对于连比等式，设参数法也是常用方法．
比如③设，从而用来表示．再用代入法即可求值．
已知：如图，Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，DE∥AB．
⑴当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长；
⑵当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长．
⑴ ⑵
如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排摆放，求．
方法一：如图，连接、，
，
∵
∴，∴
∴
∴=.
方法二：如图，延长到使，连接、，
∴
∴，易证，
∴，，∴
∴.
如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接（）.
（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.
（2）设是否存在这样的值，使得∽，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.
【解析】⑴延长、，交于点.易证≌，故.
又，故，≌
在中，，这个基本图形中，
∽，故∽
⑵由∽可知，
又，，
故∽
从而可知，
故，故.
知识模块一 成比例线段 课后演练
如图，在中，，延长到，在上取，连结与交于，求证：．
过作交于．
在中，有， ，∴①．
在中，∵，∴②．
由①②得．
知识模块二 相似的相关知识点 课后演练
如图，在长为、宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的
矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形面积是（ ）
A． B． C． D．
C．
知识模块三 相似三角形的判定 课后演练
如图，、是的边、上的点，且，
求证：.
∵，∴
∵∴∽，∴.
梯形中，，，、分别为AB与BC中点．
求证：⑴ ；
⑵ ，求的长．
⑴ ∵为的中点，且
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∴
∴
又∵
∴;
⑵ 由⑴知
由∵
∴
∵，∴.
下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
B．
已知：，则= ；⑵= .
∵，∴，，
∴⑴
⑵.
如图，平行四边形中，E是AB延长线上一点，连接DE，交BC于F，交于，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）对.
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
B.
如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．
⑴ 求证：．
⑵ 若，，，求的长．
⑴ ∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∵，
∴
∴;
⑵ ∵四边形是平行四边形
∴，
又∵
∴
在中，
∵
∴
∴
∴.
