2. 1.1 平面
【教学目标】
1.使学生掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系，有关平面的三个公理，
2.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系。
【教学重难点】
教学重点：三个公理的教学是重点。
教学难点：公理的理解与运用是难点。
【教学过程】
1．提问：在长方体中，顶点、棱所在的直线、侧面、底面之间的关系应该怎么说呢？
2．新课
（1）、生活中的平面
生活中的一些物体通常呈平面形，如课桌面、黑板面、海面都是平面，几何里说
的平面（plane）是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面限延展的。
（2）、平面的画法与表示法
常常把水平的平面画成一个平行四边形，锐角通常画成45°，且横边等于其邻边长的2倍
平面表示：平面通常用α、β、γ写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β、平面γ，也可以用平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母来表示，如平面ABCD，或平面AC或平面BD。
如果一个平面被另一个平面遮住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如右图。
平面内有无数个点，平面可以看成是点的集合，点P在平面α内，记作P∈α，点Q在平面α外，记作Qα。
（3）、公理1
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
此公理可以判断直线是否在平面内。
点动成线、线动成面。直线、平面都可以看成点的集合。点P在直线l上，记作P∈l，点P在直线l外，记作Pl。如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，记作lα；否则，就说直线l在平面α外，记作lα。
公理1也可以表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈αlα
（4）、公理2
三脚架可以声支撑照相机或测量用的平板仪或电子琴，自行车前后轮胎及支架。
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（补充3个推论）：
推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
（5）、公理3
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
P∈α∩βα∩β＝l，且P∈l
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。
解析：结合元素与集合间的关系表示点线面间的关系
解：左边的图中，
α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。
右边的图中，
α∩β＝l，aα，bβ，
a∩l=P，b∩l=P。
点评：结合元素与集合间的关系表示点线面间的关系
变式1：用符号表示下列语句
点A在平面α内，点B在平面α外 (A∈α, Bα)
直线l经过平面α外的一点M ( Mα, M∈l)
例2 不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？
解析：结合实物做出解答
解：不共面的四点可以确定4个平面（如三棱锥）
共点的三条直线可以确定1个或3个平面
点评：发展学生思维
变式2：判断正误
1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（√）
2.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（√）
【板书设计】
一、平面的三个公理
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】 教材P52 1、2
2.1.1 平面
课前预习学案
一.预习目标：点线面间的关系、符号表示
二.预习内容：2.1.1课本内容思考：在长方体中，顶点、棱所在的直线、侧面、底面之间的关系应该怎么说呢？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一．学习目标：应用公理及推论判断点线面间的关系
二．学习过程
1.点线面 的位置关系及符号表示
2.平面的画法与表示法
3．公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（补充3个推论）：
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共
用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。
变式1：用符号表示下列语句
点A在平面α内，点B在平面α外 (A∈α, Bα)
（2）直线l经过平面α外的一点M ( Mα, M∈l)
例2 不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？
变式2：判断正误
1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（√）
2.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（√）
课后练习与提高
一．选择题
空间中ABCDE五点中，ABCD在同一平面内，BCDE在同一平面内，那么这五点（）
A共面 B不一定共面C不共面D以上都不对
若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c的位置关系是（）
A相交、平行或异面 B相交或平行C异面D平行或异面
3.空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点是PQR，PQ=3，QR=4，PR=5，那么异面直线AC、BD所成的角是（） A900 B600 C450 D300
二．填空题
4.在空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD,AC⊥BD,则四边形EFGH为________
5.直线a、b不在平面α内，a、b在平面α内的射影是两条平行线，则a、b的位置关系是______
三．解答题
6. 完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，A(a，D(a，B(b，E(c
求证：BD和AE是异面直线
证明：假设__ 共面于(，则点A、E、B、D都在平面__内
(A(a，D(a，∴__(γ. (P(a，∴P(__.
(P(b，B(b，P(c，E(c ∴__((，__((，这与____矛盾 ∴BD、AE__________
第一课时 平 面
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图
（3）掌握平面的基本性质及作用；
（4）培养学生的空间想象能力.
2．过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；
（2）让学生归纳整理本节所学知识.
3．情感、态度与价值观
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.
难点：平面基本性质的掌握与运用.
（三）教学方法
师生共同讨论法
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
日常生活中有哪些东西给我们以平面的形象？
师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面，平静的湖面等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多的例子吗？引导学生观察、思考、举例和相交交流，教师对学生活动给予评价，点出主题.
培养学生感性认识
探索新知
1．平面的概念
随堂练习 判定下列命题是否正确：
①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50m，宽是20m；
④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.
师：刚才大家所讲的一些物体都给我们以平面的印象，几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是向四周无限伸展的，现在请大家判定下列命题是否正确？
生：平面是没有厚度，无限延展的；所以①②③错误；④正确.
加深学生对平面概念的理解.
探索新知
2．平面的画法及表示
（1）平面的画法
通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住. 我们常把被遮挡的部分用垂线画出来.
（2）平面的表示
法1：平面，平面.
法2：平面ABCD，平面AC或平面BD.
（3）点与平面的关系
平面内有无数个点，平面可看成点的集合. 点A在平面内，记作：A. 点B在平面外，记作：B.
师：在平面几何中，怎样画直线？(一学生上黑板画)
师：这位同学画的实质上是直线的部分，通过想象两端无限延伸而认为是一条直线，仿照直线的画法，我们可以怎样画一个平面？
生：画出平面的一部分，加以想象，四周无限延展，来表示平面.
师：大家画一下.
学生动手画平面，将有代表性的画在黑板上，教师给予点评，并指出一般画法及注意事项(作图)
加深学生对平面概念的理解，培养学生知识迁移能力，空间想象能力和发散思想能力.
探索新知
3．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（1）公理1的图形如图
（2）符号表示为：
（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.
（1）公理2的图形如图
（2）符号表示为：C 直线AB 存在惟一的平面，
使得
注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.
“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”
（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
（1）公理3的图形如图
（2）符号表示为：
（3）公理3作用：判断两个平面是否相交.
师：我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据. 先研究下列问题：将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内.
生：当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内.
师：这处结论就是我们要讨论的公理1（板书）
师：从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集.
直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P l；如果直线l上所有的点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l，记作l，否则就说直线l在平面外，记作.
下面请同学们用符号表示公理1.
学生板书，教师点评并完善.
大家回忆一下几点可以确定一条直线
生：两点可确定一条直线.
师：那么几点可以确定上个平面呢？
学生思考，讨论然后回答.
生1：三点可确定一个平面
师：不需要附加条件吗？
生2：还需要三点不共线
师：这个结论就是我们要讨论的公理2
师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.
师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？它们有什么特点.
生：这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上.
师：我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3.
通过实验，培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.
加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力.
学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨性.
典例分析
例1 如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.
分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.
解：在（1）中，，，.
在（2）中，，，，，.
学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评
巩固所学知识
随堂练习
1．下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？
（2）共点的三条直线可以确定几个平面？
3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）平面与平面相交，它们只有有限个公共点. （ ）
（2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
（ ）
（3）经过两条相交直线，有且只有一个平面. （ ）
（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. （ ）
4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
（1）点A在平面内，但点B在平面外；
（2）直线a经过平面外的一点M；
（3）直线a既在平面内，又在平面内.
学生独立完成
答案：
1．D
2．（1）不共面的四点可确定4个平面.
（2）共点的三条直线可确定一个或3个平面.
3．（1）×（2）√（3）√（4）√
4．（1）A，B.
（2）M，M.
（3）a，a.
巩固所学知识
归纳总结
1．平面的概念，画法及表示方法.
2．平面的性质及其作用
3．符号表示
4．注意事项
学生归纳、总结教学、补充完善.
回顾、反思、归纳知识，提升自我整合知识的能力，培养思维严谨性固化知识，提升能力.
课后作业
2.1第一课时 习案
学生独立完成
备选例题
例1 已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．
证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，
但A(d，如图1．∴直线d和A确定一个平面α．
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，
则A，E，F，G∈α．
∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．
同理可证bα，cα．
∴a，b，c，d在同一平面α内．
2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．
设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．
又 H，K∈c，∴cα．
同理可证dα．
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．
例2 正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M共线.
分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可.
解答：如图所示A1A∥C1C确定平面A1C
A1C平面A1C
又O∈A1C
平面BC1D∩直线A1C = O
O∈平面BC1D
O在平面A1C与平面BC1D的交线上.
AC∩BD = MM∈平面BC1D
且M∈平面A1C
平面BC1D∩平面A1C = C1M
O∈C1M，即O、C1、M三点共线.
评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.
课后提升作业 七
平 面
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.下列叙述正确的是 ( )
A.若P∈α，Q∈α，则PQ∈α
B.若P∈α，Q∈β，则α∩β=PQ
C.若AB?α，C∈AB，D∈AB，则CD∈α
D.若AB?α，AB?β，则A∈α∩β且B∈α∩β
【解析】选D.点在直线或平面上，记作A∈l，A∈α，直线在平面内记作AB?α或l?α，故D正确.
2.下面说法中(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：
①因为A?α，B?α，所以AB?α；
②因为A∈α，B∈α，所以AB∈α；
③因为A?a，a?α，所以A?α；
④因为A?α，a?α，所以A?a.
其中正确的说法的序号是 ( )
A.①④ B.②③ C.④ D.③
【解析】选C.点在平面上，用“∈”表示，不能用“?”表示，故①不正确；AB在α内，用“?”表示，不能用“∈”表示，故②不正确；由A?a，a?α，不能得出A?α，故③不正确；由A?α，a?α，知A?a，故④正确.
3.下列说法中正确的个数为 ( )
①三角形一定是平面图形；
②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；
③圆心和圆上两点可确定一个平面；
④三条平行线最多可确定三个平面.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.由公理2可知①正确；因为两对角线相交，故可确定一平面，故②正确；当圆上两点与圆心共线时，不能确定平面，故③错误；每两条平行线可确定一个平面，故最多可确定3个平面，④正确.
4.已知A，B是点，a，b，l是直线，α是平面，如果a?α，b?α，l∩a=A，l∩b=B，那么下列关系中成立的是 ( )
A.l?α B.l∈α
C.l∩α=A D.l∩α=B
【解析】选A.因为l∩a=A，a?α，所以A∈α，又l∩b=B，b?α，所以B∈α，故l?α.
5.用符号语言表示下列语句，正确的个数是 ( )
(1)点A在平面α内，但不在平面β内：A?α，A?β.
(2)直线a经过平面α外的点A，且a不在平面α内：A∈a，A?α， a?α.
(3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P：α∩β=l，P∈l.
(4)直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M：P∈l， l∩α=M.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.(1)错误，点A和平面的关系应是A∈α，A?β，(4)错误，缺少P?α，(2)(3)正确.
6.(2018·青岛高一检测)一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是
( )
A.4 B.6 C.7 D.10
【解析】选A.当直线外这三点不共线且任意两点的连线不平行于该直线时，确定的平面个数最多为4个.
【误区警示】本题易选C.产生错误的原因是先在已知直线上任取2点，这样共5点构成一个四棱锥，这样4个侧面，两个对角面，一个底面共7个，将条件作了转换，由原来的一条直线转换成两个点.
7.如图所示，平面α∩平面β=l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C?l.又AB∩l=R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ是 ( )
A.直线AC B.直线BC
C.直线CR D.以上均错
【解析】选C.由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ=CR.
8.(2018·成都高一检测)在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么 ( )
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D.M既不在直线AC上，也不在直线BD上
【解析】选A.如图，因为EF∩HG=M，
所以M∈EF，M∈HG，
又EF?平面ABC，HG?平面ADC，
故M∈平面ABC，M∈平面ADC，
所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.AB，AD?α，CB，CD?β，E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，若直线EH与FG相交于点P，则点P必在直线________上.
【解析】P∈EH，EH?α，故P∈α，同理P∈β，而α∩β=BD，所以P∈BD.
答案：BD
10.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是__________.
【解析】如图，因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记为β，
则α∩β=CD，
因为l∩α=O，所以O∈α，又O∈AB?β，所以O∈β，所以O∈CD.故O，C，D共线.
答案：共线
三、解答题
11.(10分)如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点.
【证明】如图所示，因为A1B1∥AB，
所以A1B1与AB确定一平面，记为平面α.
同理，将B1C1与BC所确定的平面记为平面β，C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.
易知β∩γ=C1C.
又△ABC与△A1B1C1不全等，
所以AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.
而AA1?γ，BB1?β，所以P∈γ，P∈β，
所以P在平面β与平面γ的交线上.
又β∩γ=C1C，所以P∈C1C，
所以AA1，BB1，CC1交于一点.
【补偿训练】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和D1C1的中点，P，Q分别为EF和BD的中点，对角线A1C与平面EFDB交于H点，求证：P，H，Q三点共线.
【证明】EF∥DB，确定平面BF，
?P∈平面BF.
同理，Q∈平面BF，
所以P，H，Q∈平面BF，A1C1∥AC，确定平面A1C，
P∈A1C1，Q∈AC，H∈A1C，
所以P，H，Q∈平面A1C.
根据公理3，P，H，Q三点一定在平面BF与平面A1C的交线上，故P，H，Q三点共线.
课件35张PPT。
第 二 章 点、直线、平面之间的位置关系无限延展平行四边形2倍虚线所有点经过A∈lA?lA∈αA?αl?αl?αl∩m＝Aα∩β＝l两点此平面内不在同一条直线上有且只有公共直线l?αα∩β＝l且P∈l答案： D答案： D答案： 共点教案·课堂探究
谢谢观看！课件30张PPT。第二章 § 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平 面1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系；
2.掌握有关平面的三个公理；
3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 平面思考 几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
答案 没有.
平行四边形.1.平面的概念
(1)平面是一个不加定义，只需理解的原始概念.
(2)立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象.答案答案2.平面的画法3.平面的表示方法
(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.
(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.平行四边形2虚线45°知识点二 点、直线、平面之间的关系思考 直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？
答案 点和直线，平面的位置关系可用数字符号“∈”或“?”表示，
直线和平面的位置关系，可用数学符号 “?”或“?”表示.答案点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达A∈lA?lA∈α答案答案A?αl?αl?αα∩β＝l知识点三 平面的基本性质思考1 直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？
答案 前者不在，后者在.答案思考2 观察右图，你能得出什么结论？
答案 不共线的三点可以确定一个平面.思考3 观察正方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点A、B吗？
答案 不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
解 在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.
在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，b∩l＝P.反思与感悟解析答案反思与感悟借助集合中的符号来表示几何中点、线、面的关系就是几何中的符号语言，符号语言的运用简洁明了地表达了几何中的各元素的关系，比文字语言更适合于几何关系的表示，因此，要逐步适应并掌握.跟踪训练1 若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为( )
A.M∈a，a∈α B.M∈a，a?α
C.M?a，a?α D.M?a，a∈α解析 点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈”，直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”.解析答案B类型二 平面性质的应用
例2 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1、l2、l3在同一平面内.解析答案证明 方法一 (纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内.解析答案反思与感悟方法二 (辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.反思与感悟反思与感悟证明点、线共面问题，一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内.跟踪训练2 已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面.证明 如图，
∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l?α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l?β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，
∴a，b，c和l共面.解析答案例3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示.
求证：P、Q、R三点共线.解析答案反思与感悟证明 方法一 ∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P、Q、R三点共线.解析答案反思与感悟方法二 ∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC?平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，
又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P、Q、R三点共线.反思与感悟反思与感悟证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上.也可考虑为点P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法.跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE、D1F、DA三线交于一点.解析答案返回返回证明 如图，连接EF，D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴E，F，D1，C四点共面，
∴D1F与CE相交于点P.
又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD.
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据公理3，可得P∈DA，
即CE、D1F、DA相交于一点.123达标检测 45解析答案1.若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( )
A.C∈α B.C?α
C.AB?α D.AB∩α＝C
解析 因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB?α.
又因为C∈直线AB，所以C∈α.A12345解析答案2.下列说法正确的是( )
A.三点可以确定一个平面
B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.四边形是平面图形
D.两条相交直线可以确定一个平面
解析 A选项中，三点若在同一直线上就不能确定一个平面；
B中，这一点在直线上不能确定一个平面；
空间四边形ABCD就不是平面图形，故C错. D123453.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.答案(1)A?α，a?α____.
(2)α∩β＝a，P?α且P?β____.
(3)a?α，a∩α＝A____.
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O___.CDAB123454.空间两两相交的三条直线可以确定的平面数是________.1或3答案12345解析答案5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是___________.
解析 因为P∈AB，AB?平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.P∈直线DE规律与方法1.三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；
公理2——判定点共面、线共面的依据；
公理3——判定点共线、线共点的依据.
2.证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上.
3.证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用.
4.证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.返回第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
一、基础过关
1．下列命题：
①书桌面是平面；
②有一个平面的长是50 m，宽是20 m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2．下列图形中，不一定是平面图形的是 ( )
A．三角形 B．菱形
C．梯形 D．四边相等的四边形
3．空间中，可以确定一个平面的条件是 ( )
A．两条直线 B．一点和一条直线
C．一个三角形 D．三个点
4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有 ( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．
6．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．
7．如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
8．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点．
二、能力提升
9．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是 ( )
A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定
10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是 ( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合
11．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
12. 如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
三、探究与拓展
13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．
求证：(1)C1、O、M三点共线；
(2)E、C、D1、F四点共面．
答案
1．A 2.D 3.C 4.D
5．0
6．A∈m
7. 解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，
即点S在交线上，
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的
交线．
8．证明 ∵l1?β，l2?β，l1D∥l2，
∴l1、l2交于一点，记交点为P.
∵P∈l1?α，P∈l2?γ，∴P∈α∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3交于一点．
9．C 10.C
11．③
12．证明 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
13．证明 (1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴E、C、D1、F四点共面．
