抄作业风波
中考内容
中考要求
A
B
C
图形的相似
了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系
会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小
相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题
三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。
估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将在圆的有关计算等解答题中加大知识的横向与纵向联系的力度。
年份
2010年
2011年
2012年
题号
3
4，20
11，20
分值
4分
9分
9分
考点
相似三角形的简单计算
根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合
根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合
位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形．
位似中心：对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心．
位似比：相似比叫做位似比．
位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
如图所示，已知与是位似图形，点为位似中心，
那么
（为位似比）
⑴三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示.
若，，则这个三角尺的周长与
它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）
A．5∶2 B．2∶5
C．4∶25 D．25∶4
⑵如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标
分别为(4，0) 、(8，2)、(6，4) ．已知△
的两个顶点的坐标为(1，3)、(2，5)．若△ABC
与△位似，则△的第三个顶点的
坐标为 ．
⑶如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△是以
坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，
B′(6，2)．
① 若点A(，3)，则A′的坐标为 ；
② 若△ABC的面积为m，则△的面积＝ ．
图形
重要结论
⑴ 如图，在△ABC中，，，，
则BC= ．
⑵ 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下
列结论不正确的是（ ）
A.BC=2DE B. △ADE∽△ABC
C. D.
⑴已知菱形的边长是6，点在直线上，，连接，与对角线相
交于点，求的值．
⑵若D为BC中点，ED交AB于点F，且EF：FD=2：3，试求AF：FB的值．
如图，和相交于点，.
⑴求证：，.
⑵求证：.
一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)．
【例6】如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于
C1交AB的延长线于B1.
⑴请你探究： 是否都成立？
⑵请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问 一定成立吗？并证明你的判断.
⑶如图2所示，在Rt△ABC中，，，， E为AB上一点且
，CE交其内角角平分线AD于F.试求的值.
如图，个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上.
⑴证明：，并写出的值.
⑵设的面积为，的面积为，…，的面积为，则 ； （用含的式子表示）．
下列说法正确的是 .
⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；
⑵ 两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似；
⑶ 三边对应成比例的两个三角形相似.
_____________________
如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则此三角形移动的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积分别为，则的面积是 ．
如图，点为内一点，过点作，，交的边于、、、、、.
⑴求证：.
⑵若，，，则 .
已知：如图，点、、、在射线上，点、、在射线上，且，，若，的面积分别为1，4，求图中三个阴影三角形面积之和．
知识模块一 位似 课后演练
如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为，，
． 以点为位似中心，按在位似中心的同侧将
放大为△，放大后点的对应点分别为．画出，并写出点
的坐标.
知识模块二 相似三角形的两种基本模型 课后演练
如图，平行四边形中，是边上的点，交
于点，如果，那么 ．
如图，已知，，求证：.
如图1，图2，两个全等的等腰直角三角形中，各有一个内接正方形．如果图1中正
方形的面积是，求图2中正方形的面积．
如图，、为边上的两点，且满足，一条平行于的
直线分别交、和的延长线于点、和.求证：.
抄作业风波
中考内容
中考要求
A
B
C
图形的相似
了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系
会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小
相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题
三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。
估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将在圆的有关计算等解答题中加大知识的横向与纵向联系的力度。
年份
2010年
2011年
2012年
题号
3
4，20
11，20
分值
4分
9分
9分
考点
相似三角形的简单计算
根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合
根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合
位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形．
位似中心：对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心．
位似比：相似比叫做位似比．
位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
如图所示，已知与是位似图形，点为位似中心，
那么
（为位似比）
⑴三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示.
若，，则这个三角尺的周长与
它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）
A．5∶2 B．2∶5
C．4∶25 D．25∶4
（2013西城期末）
⑵如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标
分别为(4，0) 、(8，2)、(6，4) ．已知△
的两个顶点的坐标为(1，3)、(2，5)．若△ABC
与△位似，则△的第三个顶点的
坐标为 ．
（2012山东威海）
⑶如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△是以
坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，
B′(6，2)．
① 若点A(，3)，则A′的坐标为 ；
② 若△ABC的面积为m，则△的面积＝ ．
（2013朝阳期末）
【解析】⑴B
⑵如图，作出位似中心，即可得出△的第三个顶点的坐标(3，4)或(0，4) ．
⑶① (5，6)；② 4m．
图形
重要结论
⑴ 如图，在△ABC中，，，，
则BC= ．
（2013石景山期末）
⑵ 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下
列结论不正确的是（ ）
A.BC=2DE B. △ADE∽△ABC
C. D.
（2012山东聊城）
【解析】⑴9 ⑵D
⑴已知菱形的边长是6，点在直线上，，连接，与对角线相
交于点，求的值．
或．
提示：注意题中给出的“点在直线上”这个条件，因此有两种情况．
① 点在线段上时，如左图，．
∴；
② 点在的延长线上时，如右图，，
∴．
⑵若D为BC中点，ED交AB于点F，且EF：FD=2：3，试求AF：FB的值．
【解析】如下图，作平行线，构造基本相似模型，AF：FB=1：4．
如图，和相交于点，.
⑴求证：，.
⑵求证：.
⑴ ∵
∴
∴，
⑵ 由⑴可知，
∴
∴
即
∴
一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)．
（2013大兴期末）
【解析】 甲同学的加工方法好
∵S△ABC=AB·BC=，
∵AB=，
∴BC=2 .
∵∠B=90°，
∴AC==.
如图甲∵四边形DBFE是正方形，
∴DE∥AB .
∴△CDE∽△CBA .
∴ .
设DE=x,则CD=2-x，
∴ .
∴x= .
如图乙过B点作BM⊥AC于点M交DE于点N，
由S△ABC=AB·BC=AC·BM，
可得BM= .
∵DE∥AC，
∴BN⊥DE .
∴△BDE∽△BAC .
∴ .
设DE=y，
∴ .
∴y= .
∵＞，
∴甲同学的正方形面积大.
【例6】如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于
C1交AB的延长线于B1.
⑴请你探究： 是否都成立？
⑵请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问 一定成立吗？并证明你的判断.
⑶如图2所示，在Rt△ABC中，，，， E为AB上一点且
，CE交其内角角平分线AD于F.试求的值. （2012湖北黄石）
【解析】(1) 易验证，．
这两个等式都成立；
(2) 可以判断结论仍然成立，证明如下：
如右图所示ΔABC为任意三角形，过B点作BE∥AC
交AD的延长线于E点
∵∠E=∠CAD=∠BAD
∴BE=AB
又∵ΔEBD∽ΔACD
∴又∵BE=AB
∴即对任意三角形结论仍然成立. (3) 如图2所示，连结ED
∵AD为ΔABC的内角角平分线
∴
而
∴ , ∴DE∥AC
∴ΔDEF∽ΔACF
∴
如图，个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上.
⑴证明：，并写出的值.
⑵设的面积为，的面积为，…，的面积为，则 ； （用含的式子表示）．
⑴ ∵和都是等边三角形
∴
又∵
∴
∴
⑵ .
下列说法正确的是 .
⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；
⑵ 两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似；
⑶ 三边对应成比例的两个三角形相似.
⑴⑶.
_____________________
第05讲精讲：三角形内接正方形问题探究；
三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形，正方形有4个顶点，而三角形只有3条边，所以，正方形一定有两个顶点在同一条边上，即正方形一定有一条边落在三角形的边上.
【变式1】如图，Rt△ABC（∠C=90°）中有三个内接正方形，DF=9厘米，GK=6厘
米，猜想第三个正方形的边长PQ的长．
【解析】，设，
∵，∴∠FKG=∠KQP．
又∵∠FGK=∠KPQ=90°，∴△FGK∽△KPQ．
∴ ．
∴ ．
解得．
答：第三个正方形的边长为4厘米．
【变式3】如图所示，四边形EFGH是三角形ABC的内接
矩形，AD⊥BC，垂足为D，BC=21cm，AD=14cm，
EF：FG=1：2，求矩形EFGH的面积．
【解析】如图，设矩形的边长EF=x，则FG=2x，
∵四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，
∴EH∥BC，EH=FG，
∴△AEH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，则ID=x，，
∴ ，BC=21cm，AD=14cm，
∴ ，
解得，x=6cm，即2x=12cm，∴S矩形EFGH=EF×FG=6×12=72cm2．
答：矩形EFGH的面积为72cm2．
【变式4】四边形为正方形，在线段
上，在上，如果，
，求的面积．
辅助线同变式2．设正方形边长为，则．
由，得，
∴，解得，
∴，
∴
【变式5】如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，
动点 (与点A、C不重合)在AC边上，
∥交BC于点．试问在上是
否存在点，使得为等腰直角三角
形？若不存在，请简要说明理由；若存在，
请求出的长．
【解析】① 如图过(或)，分别作垂线，垂足为(或)，当 (或
)时，(或)为等腰直角三角形．过作于
，交于，
则，设，
，得
∵∽
∴，即
∴，∴
② 作的中垂线，交于，
当时为等腰直角三角形．
设，则．
∵∽
∴，即
解得，即．
【变式6】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为．
探究与计算：
（1）如图13—2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为 ；
（2）如图13—3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为 ．
猜想与证明：
如图13—4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．
【解析】探究与计算：（1）；（2）．猜想与证明：若
三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内
接于△ABC，正方形的边长是．证明如下：
如图2，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点
M．设小正方形的边长为x．∵四边形GDEF为矩形，
∴GF∥AB． CM⊥GF．容易算出．∴．
即．∴x=．即小正方形的边长是．
如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则此三角形移动的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
D．
如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积分别为，则的面积是 ．
【解析】设的面积为，
则，
故．
如图，点为内一点，过点作，，交的边于、、、、、.
⑴求证：.
⑵若，，，则 .
⑴ ∵，，
∴
∴
⑵ 由⑴可知
又∵，，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
已知：如图，点、、、在射线上，点、、在射线上，且，，若，的面积分别为1，4，求图中三个阴影三角形面积之和．
由，，
可得．
∴．
∴．
∴．
由，，可得
．
∴
∴．
同理，．
∴图中三个阴影三角形的面积之和．
知识模块一 位似 课后演练
如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为，，
． 以点为位似中心，按在位似中心的同侧将
放大为△，放大后点的对应点分别为．画出，并写出点
的坐标.
如图所示，点的坐标分别为.
知识模块二 相似三角形的两种基本模型 课后演练
如图，平行四边形中，是边上的点，交
于点，如果，那么 ．
．
如图，已知，，求证：.
【解析】∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
如图1，图2，两个全等的等腰直角三角形中，各有一个内接正方形．如果图1中正
方形的面积是，求图2中正方形的面积．
正方形的面积为，所以正方形的边长为．
又∵为等腰直角三角形
∴
故和是等腰直角三角形
∴
∴
∵，
故和都是等腰直角三角形
设，则，，
∴，解得
∴
∴图2中正方形的面积为．
如图，、为边上的两点，且满足，一条平行于的
直线分别交、和的延长线于点、和.求证：.
【解析】过，分别作的平行线交于、两点，交于，
∵，
∴，
易知，，
∴，
即，
又∵，
∴
∴，
即.
如图，矩形中，于点，点恰是的中点，下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】D.
如图，已知平行四边形中，过点的直线顺
次与、及的延长线相交于点、、，
若，，则的长是 ．
【解析】10.5
如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则此三角形移动的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
D．
