2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
【教学目标】
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】
重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】
（一）创设情景、导入课题
问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？
问题2：没有公共点的直线一定平行吗？
问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？
1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出
异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？
2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：
3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？
生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点
求证：四边形EFGH是平行四边形
证明：连接BD
因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD且EH=BD
同理FG∥BD且FG=BD
因为EH∥FG且EH=FG
所以四边形 EFGH是平行四边形
点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用
变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？
4、组织学生思考教材P46的思考题
让学生观察、思考：
∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
5、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1,
哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？
哪些棱所在的直线与AA1垂直？
解析：考察异面直线的理解
解：（1）棱AD.DC.CC1.DD1.D1C1.B1C1所在直线分别与直线BA1是异面直线
（2）直线AB.BC.CD.DA.A1B1.B1C1.C1D1.D1A1分别与AA1垂直
点评：理解异面直线，垂直包括相交垂直与异面垂直
变式：在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。（6条）
【板书设计】
一、空间中两条直线的位置关系
二、异面直线所成角
三、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】P49 1、2
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
课前预习学案
一．预习目标：明确直线间的位置关系
二预习内容：2.1.2课本内容思考：空间两条直线有多少种位置关系
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一． 学习目标
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
学习重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
学习难点：异面直线所成角的计算。
学习过程
1 共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2.以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角
例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点
求证：四边形EFGH是平行四边形
变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？
例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1,
哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？
哪些棱所在的直线与AA1垂直？
变式：在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。（6条）
课后练习与提高
一．选择题
1.垂直于两条异面直线的直线有（ ）条
A 1 B2 C无数 D以上都不对
2.两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB与CD（ ）
A 垂直 B平行 C相交 D以上都不对
3．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60o角；
④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）
（A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④
二．填空题
4.在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为 ________
5. 空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线所成的角为_________
三．解答题
6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.
第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角公理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法
让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.
难点：异面直线所成角的计算.
（三）教学方法
师生的共同讨论与讲授法相结合；
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？
师投影问题，学生讨论回答
生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.
生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……
师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.
以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.
探索新知
1．空间的两条直线位置关系：
共面直线
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点
②平行直线—在同一平面内，没有公共点.
③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.
随堂练习：
如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对.
答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.
现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类
生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.
师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”
学生讨论发现不能去掉“任何”
师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”
培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解
（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行
（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接BD，
因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且.
同理FG∥BD，且.
因为EH∥FG，且EH = FG，
所以 四边形EFGH为平行四边形.
师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.
师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.
生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.
师（肯定）下面我们来看一个例子
观察图，在长方体ABCD – A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC 与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：从图中可以看出，
∠ADC = ∠A′D′C′，
∠ADC + ∠A′B′C′=180°
师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.
师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.
师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.
培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.
通过分析和引导，培养学生解题能力.
探索新知
3．异面直线所成的角
（1）异面直线所成角的概念.
已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
（2）异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.
例3 如图，已知正方体ABCD – A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？
（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？
解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.
（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.
（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.
师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角
；
③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；
④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；
⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.
然后师生共同分析例题
加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.
随堂练习
1．填空题：
（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有 条.
（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ .
答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.
2．如图，已知长方体ABCD – A′B′C′D′中，AB =，AD =，AA′ =2.
（1）BC和A′C′所成的角是多少度？
（2）AA′ 和BC′ 所成的角是多少度？
学生独立完成
答案：.
2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′ = 45°.
（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′ 和BB′ 所成的角.
在Rt△BB′C′中，B′C′ = AD =，BB′= AA′=2，
所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
归纳总结
1．空间中两条直线的位置关系.
2．平行公理及等角定理.
3．异面直线所成的角.
学生归纳，教师点评并完善
培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.
作业
2.1 第二课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
附加例题
例1 “a、b为异面直线”是指：
①a∩b =，且a∥b；
②a面，b面，且a∩b =；
③a面，b面，且∩=；
④a面，b面；
⑤不存在面，使a面，b面成立.
上述结论中，正确的是（ ）
A．①④⑤正确 B．①③④正确
C．仅②④正确 D．仅①⑤正确
【解析】 ①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D
例2 如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有 条.
【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线
a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有
∠A′PO =∠B′PO = 25°.
∵∠APA′＞A′PO，
∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条.
例3 空间四边形ABCD，已知AD =1，BD =，且AD⊥BC，对角线BD =，AC =，求AC和BD所成的角。
【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.
则 MG
EM
∵AD⊥BC ∴EM⊥MG
在R t△EMG中，有
在RFG中，∵EF =
∴EF 2 +FG 2 = EG 2
∴EF⊥FG，即AC⊥BD
∴AC和BD所成角为90°.
【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是.
课后提升作业 八
空间中直线与直线之间的位置关系.Com]
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.( 2018·杭州高二检测)正方体AC1中，E，F分别是边BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是 ( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
【解析】选A.如图所示，连接CD1，则CD1与C1D的交点为点F，由正方体可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1内，E，F分别是边BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交.
2.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是 ( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
【解题指南】由于l2∥l3，所以l1与l4的位置关系可以通过同垂直于一条直线的两条直线加以判断.
【解析】选D.因为l2∥l3，所以l1⊥l2，l3⊥l4实质上就是l1与l4同垂直于一条直线，所以l1⊥l4，l1∥l4，l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立，但不是一定成立，故l1与l4的位置关系不确定.
3.空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是
( )
A.空间四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
【解析】选B.如图，易证四边形EFGH为平行四边形.
又因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC，
又FG∥BD，
所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°，
所以∠EFG=90°，
故四边形EFGH为矩形.
4.(2018·青岛高一检测)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l?平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是 ( )
A.l与AD平行
B.l与AD不平行
C.l与AC平行
D.l与BD垂直
【解析】选A.假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD不平行.
5.(2018·济宁高一检测) 如图，E，F是AD上互异的两点，G，H是BC上互异的两点，由图可知，①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是 ( )
A.①③ B.②④ C.①④ D.①②
【解析】选A.AB与平面BCD交于B点，且B?CD，故AB与CD互为异面直线，故①正确；当H点落在C或F落在D点上时，FH与CD相交；当H落在B或F点落在D上时，FH与DB相交，故②错误；FH与平面EGD交于F点，而F?EG，故EG与FH互为异面直线，故③正确；当G落在B上或E落在A上时，EG与AB相交，故④错误.
6. 如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别为AB，CD的中点，EF=，则AD与BC所成的角为( )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
【解析】选C.取AC的中点G，连接EG，FG，则EG??BC，FG??DA.所以△EGF的三边是EF=，EG=1，FG=1，所以EF2=EG2+FG2，所以△EGF为直角三角形，
∠EGF=90°，即为AD与BC所成的角.
7.如图，正四棱台ABCD-A′B′C′D′中，A′D′所在的直线与BB′所在的直线是 ( )
A.相交直线
B.平行直线
C.不互相垂直的异面直线
D.互相垂直的异面直线
【解析】选C.若A′D′与B′B共面，则A′B′也在此平面内，因A′B′与
B′B相交，其确定的平面为ABB′A′，
故A′D′?平面ABB′A′与ABCD-A′B′C′D′为四棱台矛盾，故A′D′与
B′B异面.又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，因
B′C′∥A′D′.
即BB′与A′D′不垂直.
8.(2018·成都高一检测)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所的θ角的取值范围是 ( )
A.0<θ< B.0<θ≤
C.0≤θ≤ D.0<θ≤
【解析】选D.如图，连接CD′，则异面直线CP与BA′所成的角θ等于∠D′CP，由图可知，当P点与A点重合时，θ=，当P点无限接近D′点时，θ趋近于0，由于是异面直线，故θ≠0.
【补偿训练】在三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′⊥面ABC，若∠BAC=90°，AB=AC=
AA′，则异面直线BA′与C′A所成的角等于 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解题指南】可将该直三棱柱补成一个正方体，通过连线，将异面直线所成的角转化为同一平面内相交直线所成的角.
【解析】选C.由原来的三棱柱补成一个正方体ABDC-A′B′D′C′，
因为AC′∥BD′，所以∠A′BD′即为异面直线BA′与C′A所成的角，因为
△A′BD′为正三角形，
所以∠A′BD′=60°.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线；
④若a，b与c成等角，则a∥b.
其中正确的命题是________(只填序号).
【解析】由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a?α，b?β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确.
答案：①
10.(2018·广州高一检测)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是________.
【解析】如图，取AC的中点G，连接FG，EG，则FG∥C1C，FG=C1C，EG∥BC，EG=BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角(或补角)，在Rt△EFG中，cos∠EFG===.
答案：
三、解答题
11.(10分)已知A是△BCD外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，
(1)求证：直线EF与BD是异面直线.
(2)若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.
【解析】(1)假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.
(2)取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角.在Rt△EGF中，由EG=FG=AC，求得∠FEG=
45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
【补偿训练】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=
90°，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形.
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
【解析】(1)由已知FG=GA，FH=HD，
可得GHAD.又BCAD，
所以GHBC，所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)由BEAF，G为FA的中点知，BEFG，
所以四边形BEFG为平行四边形，
所以EF∥BG.由(1)知BGCH，
所以EF∥CH，
所以EF与CH共面.
又D∈FH，
所以C，D，F，E四点共面.
课件26张PPT。任一平行平行公理a∥c平行相等互补锐角直角0°<α≤90°90°a⊥b答案： B答案： B答案： 6答案： C解析： 两直线可能相交、平行，也可能异面，故选D.
答案： D
答案： 60°
谢谢观看！课件30张PPT。第二章 § 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间
的位置关系1.了解空间中两条直线的位置关系；
2.理解异面直线的概念、画法；
3.理解并掌握公理4及等角定理；
4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 空间两直线的位置关系思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？
答案 平行与相交.
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；
六角螺母中直线AB与CD.答案(1)异面直线：不同在_________平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法：
①定义法
②两直线既不平行也不相交答案任何一个(4)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：答案_____
_____没有公共点有且仅有一个公共点——_____②从是否共面的角度来分：_____
_____在同一平面内不同在任何一个平面内——_____平行异面平行相交相交异面知识点二 平行公理(公理4)思考 在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，该结论在空间中是否成立？
答案 成立1.文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.答案知识点三 等角定理
思考 观察图，在长方体ABCD--A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，
这两组角的大小关系如何？
答案 从图中可以看出，
∠ADC＝∠A′D′C′，
∠ADC＋∠D′A′B′＝180°. 答案空间中如果两个角的两边分别对应_____，则这两个角_____或_____.平行相等互补知识点四 异面直线所成的角思考 在长方体A1B1C1D1--ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？答案 相等.答案答案锐角(或直角)0°<θ≤90°90°a⊥b返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 异面直线的判断例1 如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？反思与感悟解 由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.解析答案反思与感悟判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交，也不平行，就是异面直线.跟踪训练1 (1)在四棱锥P--ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有___对.
解析 与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对).
(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解 三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
还原的正方体如图所示：解析答案8类型二 平行公理和等角定理的应用例2 (1)在空间四边形ABCD中，如图所示， 则EH与FG的位置关系是________.解析 连接BD，如图，解析答案平行∴EH∥BD，∴FG∥BD，
∴EH∥FG.(2)在正方体ABCD--A1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和A1D1的中点.
求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
证明 在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，
∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，
∴A1A綊M1M.
又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，
∴四边形BB1M1M为平行四边形.∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.
∴∠BMC＝∠B1M1C1.解析答案反思与感悟反思与感悟1.空间两条直线平行的证明：(1)定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.(2)利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
2.“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能.跟踪训练2 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD--A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；证明 如图 ，连接AC，
在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，解析答案由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴四边形MNA1C1是梯形.(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
证明 由(1)可知MN∥A1C1.
又∵ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.解析答案类型三 两异面直线所成的角例3 如图，已知长方体ABCD--A1B1C1D1中，A1A＝AB，E、F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小.解析答案反思与感悟解 如图，取CD1的中点G，连接EG，DG，
∵E是BD1的中点，反思与感悟∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.反思与感悟求两条异面直线所成的角的一般步骤：
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.
(2)计算角：求角度，常利用三角形.
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.返回跟踪训练3 如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.解析答案解 方法一 如图所示，
连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，
取DD1的中点G，
连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.解析答案返回方法二 如图所示，
连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
连接HF，设AA1＝1，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF.∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.123达标检测 4解析答案1.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A.异面或平行 B.异面或相交
C.异面 D.相交、平行或异面
解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示.D1234解析答案2.下列四个结论中假命题的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.
A.1 B.2 C.3 D.41234解析 ①④均为假命题.
①可举反例，如a、b、c三线两两垂直.
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；
当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交.答案 B12343.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上都有可能
解析 如图(1)所示，直线a与b互相平行；
如图(2)所示，直线a与b相交；
如图(3)所示，直线a与b异面.D解析答案1234解析答案4.如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′中，
AA′＝2.
(1)求异面直线BC和A′C′所成的角的大小.
解 因为BC∥B′C′，
所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.
在Rt△A′B′C′中， B′C′＝2 ，
所以∠B′C′A′＝45°.
所以异面直线BC与A′C′所成的角为45°.1234解析答案(2)求异面直线AA′和BC′所成的角的大小.
解 因为AA′∥BB′，
所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角.所以BC′＝4，所以∠B′BC′＝60°.
所以异面直线AA′与BC′所成的角为60°.规律与方法1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.
2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.
作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).返回2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、基础过关
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 ( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有 ( )
A．∠BAC＝∠B′A′C′
B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
D．∠BAC＞∠B′A′C′
3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
4．“a、b为异面直线”是指：
①a∩b＝?，且aD∥b；②a?面α，b?面β，且a∩b＝?；③a?面α，b?面β，且α∩β＝?；④a?面α，b?面α；⑤不存在面α，使a?面α，b?面α成立．
上述结论中，正确的是 ( )
A．①④⑤ B．①③④
C．②④ D．①⑤
5．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．
6．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
7．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，
BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
8．如图，正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
二、能力提升
9.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是
( )
A．MN≥(AC＋BD) B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD) D．MN<(AC＋BD)
10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )
A．12对 B．24对 C．36对 D．48对
11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上结论中正确的序号为________．
12．已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
三、探究与拓展
13．已知三棱锥A—BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．
答案
1．D 2．C 3．B
4．D 5.平行或异面
6．(1)60° (2)45°
7．(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊AD.又BC綊AD，
∴GH綊BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解 由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
8．解 (1)如图，∵CG∥BF，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH，BD，FO，∵HD綊EA，EA綊FB，
∴HD綊FB，
∴四边形HFBD为平行四边形，
∴HF∥BD，
∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，
∴△AFH为等边三角形，
又依题意知O为AH中点，∴∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.
9．D 10．B
11．①③
12．(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)解 取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
13．解 如图，取AC的中点P.
连接PM、PN，
则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD，
所以∠MPN为直线AB与CD所成的角(或所成角的补角)．
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，
若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，
所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)．
又因AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，
所以∠PMN＝60°，
即AB与MN所成的角为60°.
若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，
即AB与MN所成的角为30°.
故直线AB和MN所成的角为60°或30°.
