大转变
中考内容
中考要求
A
B
C
二次函数
了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象
能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题
二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份
2010年
2011年
2012年
题号
24
7，8，23
8，23
分值
8分
11分
11分
考点
确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合
抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）
函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围
三种形式解析式
一般式
（，，为常数，）
顶点式
（，，为常数，）
两根式
（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）
⑴ 已知二次函数过点，，．求此二次函数的解析式．
⑵ 二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为，求二次函数
的解析式．
⑶ 已知：抛物线与轴交于点、，与轴交于点，
求抛物线的解析式．
⑴ 已知抛物线上有不同的两点和，求此抛物线的解析式．
⑵ 当时，二次函数的最大值为，且在x轴上截得的线段AB的长为6，求二
次函数的解析式.
⑶ 抛物线经过点，顶点在直线上，.求抛物线
的解析式．
一、二次函数图象的平移
二次函数图象的平移
平移规律：二次函数的图象向上（或下）平移个单位得到（或）；二次函数的图象向左（或右）平移个单位得到（或）.简称“左加右减，上加下减”．
⑴ 将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
⑵ 将抛物线经过怎样的平移可得到抛物线（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位
在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
⑴ 坐标平面上，移动二次函数的图形，使其与x轴交于两点，
且此两点的距离为1个单位，则移动方式可为下列哪一种（ ）
A. 向上移动3个单位 B. 向下移动3个单位
C. 向上移动6个单位 D. 向下移动6个单位
⑵ 二次函数的最小值是（ ）
A. 1985 B. 2013 C. 2003 D. 2010
⑶ 如图所示，已知抛物线C0的解析式为，则抛物线C0的顶点坐标 ；将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1、C2、C3、…、Cn（n为正整数），则抛物线Cn的解析式为 ．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且过点．
⑴ 写出抛物线与轴的另一个交点的坐标；
⑵ 将抛物线向右平移3个单位、再向上平移个单位得抛物线，求抛物线的解析式；
⑶ 直接写出阴影部分的面积．
二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称
1．关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2．关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3．关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4．关于顶点对称
※学生版不给
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5．关于点
对称
※学生版不给
关于点对称后，得到的解析式是
．
⑴ 抛物线：与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
⑵ 在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
⑶ 将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
如图，经过点A(0，)的抛物线与x轴相交于点B(，0)和C，O为坐标原点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 将抛物线向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在内，求m的取值范围．
二次函数的图象沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，得到
的图象的函数解析式为，则与分别等于 ．
．
把二次函数的图象经过翻折、平移得到二次函数的图象，下列对
此过程描述正确的是（ ）
A．先沿轴翻折，再向下平移个单位 B．先沿轴翻折，再向左平移个单位
C．先沿轴翻折，再向左平移个单位 D．先沿轴翻折，再向右平移个单位
．
如图，平行四边形中，，点的坐标是，，以点为顶点的抛物线经过轴上的点，．
⑴求点，，的坐标．
⑵若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．
一开口向上的抛物线与轴交于，两点，记抛物线顶点为，且．若为常数，求抛物线的解析式.
已知，如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为，将抛物线平移
后得到抛物线，若抛物线经过点，且其顶点的横坐标为最小正整数．
⑴ 求抛物线的解析式；
⑵ 说明将抛物线如何平移得到抛物线；
⑶ 若将抛物线沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线，设抛物线
的顶点为，直线与抛物线的另一个交点为．当时，
求点的坐标．
已知二次函数的图象是．
⑴ 求关于成中心对称的图象的函数解析式；
⑵ 设曲线与轴的交点分别为，当时，求的值．
知识模块一 二次函数的解析式 课后演练
根据条件求二次函数的解析式.
⑴ 抛物线过，，三点；
⑵ 抛物线在轴上截得的线段长为，且顶点坐标是.
根据条件求二次函数的解析式.
⑴ 二次函数的图象经过点，，且最大值是；
⑵ 已知抛物线过点，，对称轴为直线．
知识模块二 二次函数的图象变换 课后演练
⑴ 将抛物线向上平移个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
⑵ 已知函数的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线先后向上、向
左平移2个单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
⑶ 把二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，就
可得到函数 的图象．
已知二次函数，求：
⑴ 与此二次函数关于轴对称的二次函数解析式为 ；
⑵ 与此二次函数关于轴对称的二次函数解析式为 ；
⑶ 与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为 ．
已知抛物线（为常数）经过点．
⑴ 求的值；
⑵ 将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线．已知这条平移后的抛物线满
足下述两个条件：它的对称轴（设为直线）与平移前的抛物线的对称轴（设为
）关于轴对称；它所对应的函数的最小值为．试求平移后的抛物线所对
应的函数关系式．
大转变
中考内容
中考要求
A
B
C
二次函数
了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象
能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题
二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份
2010年
2011年
2012年
题号
24
7，8，23
8，23
分值
8分
11分
11分
考点
确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合
抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）
函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围
三种形式解析式
一般式
（，，为常数，）
顶点式
（，，为常数，）
两根式
（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）
⑴ 已知二次函数过点，，．求此二次函数的解析式．
⑵ 二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为，求二次函数
的解析式．
（2013丰台一模）
⑶ 已知：抛物线与轴交于点、，与轴交于点，
求抛物线的解析式．
（2013朝阳期末）
⑴ 二次函数的图象经过三点，可设其解析式为一般式．
设二次函数的解析式为：，
∵函数图象经过，，三点，
∴，解此方程组得：，
∴二次函数的解析式为：．
⑵ ∵顶点坐标是
因此，设抛物线的解析式为：
由可知；
∴抛物线的解析式为：．
⑶ 依题意，设抛物线的解析式为．
∵抛物线与轴交于点，
∴．
解得．
∴抛物线的解析式为，即．
1． 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2． 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3． 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式．
⑴ 已知抛物线上有不同的两点和，求此抛物线的解析式． （2013丰台期末）
⑵ 当时，二次函数的最大值为，且在x轴上截得的线段AB的长为6，求二
次函数的解析式. （2013昌平期末）
⑶ 抛物线经过点，顶点在直线上，.求抛物线
的解析式． (上海徐汇区模拟)
⑴点E和F关于抛物线对称轴对称
∴对称轴
又∵
∴
∴ 抛物线的解析式为
⑵ ∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线.
∵抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6，
∴，．
设抛物线解析式为，
∴.
解得，.
∴ 二次函数的解析式为 .
⑶ 已知抛物线经过点
∴，
∴对称轴为，
∴顶点的横坐标为2，代入中可得，
设抛物线解析式为，
将代入可得，，
∴二次函数的解析式为.
一、二次函数图象的平移
二次函数图象的平移
平移规律：二次函数的图象向上（或下）平移个单位得到（或）；二次函数的图象向左（或右）平移个单位得到（或）.简称“左加右减，上加下减”．
⑴ 将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
（2012东城期中）
⑵ 将抛物线经过怎样的平移可得到抛物线（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位
（2013海淀期末）
在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
（2012陕西省）
⑴ B；⑵ C；⑶B
⑴ 坐标平面上，移动二次函数的图形，使其与x轴交于两点，
且此两点的距离为1个单位，则移动方式可为下列哪一种（ ） （2010台湾） A. 向上移动3个单位 B. 向下移动3个单位
C. 向上移动6个单位 D. 向下移动6个单位
⑵ 二次函数的最小值是（ ）
A. 1985 B. 2013 C. 2003 D. 2010
⑶ 如图所示，已知抛物线C0的解析式为，则抛物线C0的顶点坐标 ；将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1、C2、C3、…、Cn（n为正整数），则抛物线Cn的解析式为 ． （2012邵阳）
⑴D ⑵A
⑶，
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且过点．
⑴ 写出抛物线与轴的另一个交点的坐标；
⑵ 将抛物线向右平移3个单位、再向上平移个单位得抛物线，求抛物线的解析式；
⑶ 直接写出阴影部分的面积． （2012广安）
⑴ ；
⑵ ．
⑶ 易得，
则；
抛物线的对称性和平移的性质可知
．
二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称
1．关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2．关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3．关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4．关于顶点对称
※学生版不给
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5．关于点
对称
※学生版不给
关于点对称后，得到的解析式是
．
⑴ 抛物线：与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
（东城期末）
⑵ 在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
(2013年山东宁阳一模)
⑶ 将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
（密云期末）
⑴ D；⑵ C；⑶ C．
如图，经过点A(0，)的抛物线与x轴相交于点B(，0)和C，O为坐标原点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 将抛物线向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在内，求m的取值范围．
(2012南通)
将A（0，）、B（，0）代入抛物线中，
得：，，
解得：，
∴抛物线的解析式：．
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：
，
即：；
它的顶点坐标P：（，）；
由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；
那么直线AB：；直线AC：；
当点P在直线AB上时，，解得：；
当点P在直线AC上时，，解得：；
∴当点P在△ABC内时，；
又∵m＞0，
∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜．
二次函数的图象沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，得到
的图象的函数解析式为，则与分别等于 ．
相当于将向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到
【解析】，．
把二次函数的图象经过翻折、平移得到二次函数的图象，下列对
此过程描述正确的是（ ）
A．先沿轴翻折，再向下平移个单位 B．先沿轴翻折，再向左平移个单位
C．先沿轴翻折，再向左平移个单位 D．先沿轴翻折，再向右平移个单位
（通州期末）
弄错变换规律．
【解析】D．
建议：易错点内容只是给出范例，对于不同学生易错点不同，教师可根据班级错误情况自行总结．
第02讲精讲：二次函数平移问题探究
【变式1】向右平移1个单位，再向上平移3个单位所得到的函数图象解
析式为 .
【解析】.
【变式2】怎样平移：的图象，可以得到：？
【解析】的解析式为
∴的顶点坐标为 的解析式为
∴的顶点坐标为
将二次函数图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，
就可得到二次函数的图象.
【变式3】已知：抛物线与轴交于点，
顶点是点，过点作轴于点．平移
该抛物线，使其经过两点．求平移后抛物
线的解析式及其与轴另一交点的坐标；
【解析】∵；
∴，，；
设平移后的抛物线解析式为；
将代入可得；
∴平移后的抛物线解析式为.
【变式4】抛物线的顶点为，作轴
交抛物线于点，如图所示，求
阴影部分面积.
【解析】连接，易得.
【变式5】将变式4中的抛物线向右平移 个单位后，所得的抛 物线恰好经过点．
【解析】
【变式6】在变式4的基础上，设点是直线上的一个点，如果，
求出点的坐标．
【解析】易得直线解析式为；
∵是直线上的一个点，且，
① 作轴，交直线于点；
∴，，
∴点的横坐标为3，代入可得
∴点；
② 由①可得，设；
即
∴，；
∴点、.
【变式7】抛物线F：的顶点为P，与y轴交于
点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，
平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：
，抛物线F′与x轴的另一个交点为
C．若a、b、c满足了，探究四边形OABC
的形状，并说明理由．
（2009年大连、2012年海淀一模）
【解析】抛物线，令=0，则=，
∴A点坐标（0，c）．
∵，∴ ，
∴点P的坐标为（）．
∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）．
根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线F′的解析式为．
又∵抛物线F′经过点D（），∴．
∴．
又∵，∴．
∴b:b′=．
∴抛物线F′为．
令y=0，则．
∴．
∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．
设直线OP的解析式为．
∵点P的坐标为（），
∴，∴，∴．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．
∴．
∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．
把代入，得．
∴点B的坐标为．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．
如图，平行四边形中，，点的坐标是，，以点为顶点的抛物线经过轴上的点，．
⑴求点，，的坐标．
⑵若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．
⑴在平行四边形中，且，
∴点的坐标为，
设抛物线的对称轴与轴相交于点，点的坐标为，则，
∴点的坐标为，．
⑵由抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为，
把代入上式，解得．设平移后抛物线的解析式为,
把代入上式得，∴平移后抛物线的解析式为．
即．
一开口向上的抛物线与轴交于，两点，记抛物线顶点为，且．若为常数，求抛物线的解析式.
利用图象的轴对称性，∴，
又∵，∴是等腰直角三角形．
∴点的坐标为，设抛物线的解析式为，
把代入得．
∴抛物线的解析式为，即．
已知，如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为，将抛物线平移
后得到抛物线，若抛物线经过点，且其顶点的横坐标为最小正整数．
⑴ 求抛物线的解析式；
⑵ 说明将抛物线如何平移得到抛物线；
⑶ 若将抛物线沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线，设抛物线
的顶点为，直线与抛物线的另一个交点为．当时，
求点的坐标．
（海淀一模）
⑴ 设抛物线的解析式为
∵点在抛物线上，
∴
∵抛物线的顶点的横坐标为，∴
∴的解析式为.
⑵ ∵
∴将抛物线：的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可以得到抛物线．（不唯一）
⑶ 设顶点的坐标为，
则抛物线的解析式为
∵，且、、三点在同一条直线上，
∴点与点关于原点对称．
∴点的坐标为．
∵点在抛物线上，
∴，∴
∴点的坐标为．
已知二次函数的图象是．
⑴ 求关于成中心对称的图象的函数解析式；
⑵ 设曲线与轴的交点分别为，当时，求的值．
⑴ 将二次函数化为顶点式得，
则的顶点坐标为，
关于对称的点即顶点坐标为，
其解析式．
⑵ 与轴交点，与轴交点，则
，解得或．
知识模块一 二次函数的解析式 课后演练
根据条件求二次函数的解析式.
⑴ 抛物线过，，三点；
⑵ 抛物线在轴上截得的线段长为，且顶点坐标是.
⑴ 设抛物线的解析式为，把代入解析式得，所以所求抛物线的解析式为．
⑵ 设抛物线的解析式为，点在抛物线上，代入得，所以所求抛物线的解析式为．
根据条件求二次函数的解析式.
⑴ 二次函数的图象经过点，，且最大值是；
⑵ 已知抛物线过点，，对称轴为直线．
⑴ 设抛物线的解析式为，且点在抛物线上，代入得，所以所求抛物线的解析式为．
⑵ ∵对称轴，∴抛物线与轴的另一个交点为，设抛物线的解析式为，点在抛物线上，代入得，所以所求抛物线的解析式为．
知识模块二 二次函数的图象变换 课后演练
⑴ 将抛物线向上平移个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
（昌平期末）
⑵ 已知函数的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线先后向上、向左平移2个单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
（宣武期末）
⑶ 把二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，就可得到函数 的图象．
（大兴期末）
⑴ A．⑵ A．⑶ ．
已知二次函数，求：
⑴ 与此二次函数关于轴对称的二次函数解析式为 ；
⑵ 与此二次函数关于轴对称的二次函数解析式为 ；
⑶ 与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为 ．
⑴ ．⑵ ．⑶ ．
已知抛物线（为常数）经过点．
⑴ 求的值；
⑵ 将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线．已知这条平移后的抛物线满
足下述两个条件：它的对称轴（设为直线）与平移前的抛物线的对称轴（设为
）关于轴对称；它所对应的函数的最小值为．试求平移后的抛物线所对
应的函数关系式．
⑴ 把代入中得．
⑵ 抛物线的解析式为的对称轴为，顶点为，要满足两个
条件即先将右平移个单位，再向下平移个单位得到新的抛物线的解析式为．
抛物线与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点
．求抛物线的解析式．
（房山期末）
∵抛物线过点和，则
解得
∴所求抛物线的解析式为．
已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是，求这个二次函数的解析式．
（大兴期末）
∵顶点坐标是
∴设这个二次函数的解析式为
∵二次函数的图象过坐标原点，
∴ ，
∴这个二次函数的解析式是，即．
把抛物线沿轴向上或向下平移后所得抛物线经过点，求平移后的抛
物线的解析式．
设平移后所得抛物线的解析式为，
把代入得
，∴．
∴平移后的抛物线的解析式为．
设曲线为函数的图象，关于轴对称的曲线为，关于轴
对称的曲线为，则曲线的函数解析式为________________．
先关于轴对称，再关于轴对称，相当于将关于原点对称得到，则的解析式为．
