第一课时 直线与平面平行、平面与平面平行的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理；
（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；
2．过程与方法
学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.
3．情感、态度与价值观
（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；
（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想.
（二）教学重点、难点
重点、难点：直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用.
（三）教学方法
借助实物，让学生通过观察、思考、交流、讨论等理解判定定理，教师给予适当的引导、点拔.
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
1．直线和平面平行的重要性
2．问题（1）怎样判定直线与平面平行呢？
（2）如图，直线a与平面平行吗？
教师讲述直线和平面的重要性并提出问题：怎样判定直线与平面平行？
生：直线和平面没有公共点.
师：如图，直线和平面平行吗？
生：不好判定.
师：直线与平面平行，可以直接用定义来检验，但“没有公共点”不好验证所以我们来寻找比较实用又便于验证的判定定理.
复习巩固点出主题
探索新知
一．直线和平面平行的判定
1．问题2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动收的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
2．问题3：如图，如果在平面内有直线b与直线a平行，那么直线a与平面的位置关系如何？是否可以保证直线a与平面平行？
2．直线和平面平行的判定定理.
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
符号表示：
教师做实验，学生观察并思考问题.
生：平行
师：问题2与问题1有什么区别？
生：问题2增加了条件：平面外. 直线平行于平面内直线.
师投影问题3，学生讨论、交流教师引导，要讨论直线a与平面有没有公共点，可转化为下面两个问题：（1）这两条直线是否共面？（2）直线a与平面是否相交？
生1：直线a∥直线b，所以a、b共面.
生2：设a、b确定一个平面，且，则A为的公共点，又b为面 的公共直线，所以A∈b，即a= A，但a∥b矛盾
∴直线a 与平面不相交.
师：根据刚才分析，我们得出以下定理………
师：定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行.这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）.
通过实验，加深理解.通过讨论，培养学生分析问题的能力.
画龙点睛，加深对知识理解完善知识结构.
典例分析
例1已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点.
求证EF∥平面BCD.
证明：连结BD.在△ABD中，
因为E、F分别是AB、AD的中点，
所以EF∥BD.
又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线，平面BCD，
所以EF∥平面BCD.
师：下面我们来看一个例子（投影例1）
师：EF在面BCD外，要证EF∥面BCD，只要证明EF与面BCD内一条直线平行即可，EF与面BCD内哪一条直线平行？
生：连结BD，BD即所求
师：你能证明吗？
学生分析，教师板书
启发学生思维，培养学生运用知识分析问题、解决问题的能力.
探索新知
二．平面与平面平行的判定
例2 给定下列条件
①两个平面不相交
②两个平面没有公共点
③一个平面内所有直线都平行于另一个平面
④一个平面内有一条直线平行于另一个平面
⑤一个平面内有两条直线平行于另一个平面
以上条件能判断两个平面平行的有 ①②③
2．平面与平面平行的判定定理：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示：
教师投影例2并读题，学生先独立思考，再讨论最后回答.
生：由两个平面的位置关系知①正确；由两个平面平行的定义知②③正确；两个平面相交，其中一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，故④⑤错误，选①②③
师（表扬），如果将条件⑤改为两条相交直线呢？
如图，借助长方体模型，平面ABCD内两条相交直线AC，BD分别与平面A′B′C′D′内两条相交直线A′C′，B′D′平行，由直线与平面平行的判定定理可知，这两条直交直线AC，BD都与平面A′B′C′D′平行.此时，平面ABCD平行于平面A′B′C′D′.
一方面复习巩固已学知识，另一方面通过开放性题目培养学生探索知识的积极性.
借助模型解决，一方面起到示范作用，另一方面给学生直观感受，有利定理的掌握.
典例分析
例3 已知正方体ABCD –A1B1C1D1 证：平面AB1D1∥平面C1BD.
证明：因为ABCD – A1B1C1D1为正方体，
所以D1C1∥A1B1，D1C1 = A1B1
又AB∥A1B1，AB = A1B1
所以D1C1BA 为平行四边形.
所以D 1A∥C1B.
又平面C1BD，平面C1BD
由直线与平面平行的判定定理得
D1A∥平面C1BD
同理D1B1∥平面C1BD
又
所以 平面AB1D1∥平面C1BD.
点评：线线平行线面平行面面平行.
教师投影例题3，并读题
师：根据面面平行的判定定理，结论可转化为证面AB1D内有两条相交直线平行于面C1BD，不妨取直线D1A、D1B1，而要证D1A∥面C1BD，证AD1∥BC1即可，怎样证明？
学生分析，老师板书，然后师生共同归纳总结.
巩固知识，培养学生转化化归能力
随堂练习
1．如图，长方体ABCD – A′B′C′D′ 中，
（1）与AB平行的平面是 .
（2）与AA′ 平行的平面是 .
（3）与AD平行的平面是 .
2．如图，正方体，E为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系并说明理由.
3．判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：
（1）已知平面，和直线m，n，若则；
（2）一个平面内两条不平行直线都平行于另一平面，则；
4．如图，正方体ABCD – A1B1C1D1 中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点. 求证：平面AMN∥平面EFDB.
5．平面与平面平行的条件可以是（ ）
A．内有无穷多条直线都与平行.
B．直线a∥，a∥，E且直线a不在内，也不在内.
C．直线，直线，且a∥，b∥
D．内的任何直线都与平行.
学生独立完成
答案：
1．（1）面A′B′C′D′，面CC′DD′；（2）面DD′C′C，面BB′C′C；（3）面A′D′B′C′，面BB′C′C.
2．直线BD1∥面AEC.
3．（1）命题不正确；
（2）命题正确.
4．提示：容易证明MN∥EF，NA∥EB，进而可证平面AMN∥平面EFDB.
5．D
巩固所学知识
归纳总结
1．直线与平面平行的判定
2．平面与平面平行的判定
3．面面平行线面平行线线平行
4．借助模型理解与解题
学生归纳、总结、教师点评完善
反思、归纳所学知识，提高自我整合知识的能力.
作业
2.2 第一课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备选例题
例1 在正方体ABCD – A1B1C1D1 中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BB1D1D．
【证明】连接AC交BD 于O，连接OE，则OE∥DC，OE = ．
∵DC∥D1C1，DC = D1C1，F为D1C1的中点，
∴ OE∥D1F，OE = D1F，四边形D1FEO为平行四边形．
∴EF∥D1O．
又∵EF平面BB1D1D，D1O 平面BB1D1D，
∴EF∥平面BB1D1D．
例2 已知四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM : MA = BN : ND = PQ : QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．
【证明】∵PM∶ MA = BN∶ND = PQ∶ QD.
∴MQ∥AD，NQ∥BP，
而BP平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC．
又∵ABCD为平行四边形，BC∥AD，
∴MQ∥BC，
而BC平面PBC，MQ 平面PBC，
∴MQ∥平面PBC．
由MQ∩NQ = Q，根据平面与平面平行的判定定理，
∴平面MNQ∥平面PBC．
【评析】由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行．
§2.2.1 直线与平面平行的判定
【教学目标】
（1）识记直线与平面平行的判定定理并会应用证明简单的几何问题；
（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；
（3）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
【教学重难点】
重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
【教学过程】
（一）创设情景、揭示课题
引导学生观察身边的实物，如教材第54页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、观察
①当门扇绕着一边转动时，门扇转动的一边所在直线与门框所在平面具有什么样的位置关系？②将课本放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
问题本质：门扇两边平行；书的封面的对边平行
从情境抽象出图形语言
探究问题：
平面外的直线平行平面内的直线
③直线共面吗？
④直线与平面相交吗？
课本P55探究
学生思考后，小组共同探讨，得出以下结论
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2、典例
例1 课本p55求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
分析：先把文字语言转化为图形语言、符号语言，要求已知、求证、证明三步骤，要证线面平行转化为线线平行
已知:如图,空间四边形中,分别是的中点.
求证:.EF//平面BCD。
证明:连接,
因为
所以 （三角形中位线定理）
因为
由直线与平面平行的判定定理得
点评：该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。
变式训练 ：如图，在空间四面体中,分别为各棱的中点，
变式一 (学生口头表达)
①四边形是什么四边形？（平行四边形）
②若，四边形是什么四边形？（菱形）
③若，四边形是什么四边形？（矩形）
变式二
①直线与平面的位置关系是什么？为什么？（平行）
②在这图中，你能找出哪些线面平行关系？
点评 ：再次强调判定定理条件的寻求
例2、如图，已知为平行四边形所在平面外一点，为的中点，
求证：平面．
分析：证明线面平行的一般思路转化为线线平行，本题关键寻找与之平行的直线
证明：连接、交点为，连接，则为的中位线，．
平面，平面，平面．
点评：本题利用了初中几何中证明平行的常用方法中位线
变式训练：如图，在正方体中，试作出过且与直线平行的截面，并说明理由．
解：如图，连接交于点，取的中点，连接，，则截面即为所求作的截面．
为的中位线，．
平面，平面，
平面，则截面为过且与直线平行的截面．
【板书设计】
一、直线与平面平行的判定定理
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
1、教材第62页 习题2.2 A组第3题；
2、预习：如何判定两个平面平行？
§2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
课前预习学案
一、预习目标
能熟练说出线面平行的判断定理，并能用符号表示
二、预习内容
1、直线与平面平行的判定定理：___________________________________________________。
简记为：_______________________。
符号表示：
2、直线与平面平行的条件是（ ）
Ａ．直线与平面内的一条直线平行
Ｂ．直线与平面内两条直线不相交
Ｃ．直线与平面内的任一条直线都不相交
Ｄ．直线与平面内的无数条直线平行
答案：Ｃ．
判断下列命题的真假，并说明理由
①
②
③
4、在正方体ABCD---A1B1C1D1中，和面C1DB平行的侧面对角线有_________条。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1．能叙述识记直线与平面平行的判定定理并会应用证明简单的几何问题；
2、了解空间与平面互相转换的数学思想。
学习重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
二、学习过程
1、探究判断定理
观察①当门扇绕着一边转动时，门扇转动的一边所在直线与门框所在平面具有什么样的位置关系？②将课本放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
问题本质：门扇两边平行；书的封面的对边平行
从情境抽象出图形语言
探究问题 ：
平面外的直线平行平面内的直线
③直线共面吗？
④直线与平面相交吗？
定理内容 ：
符号表示：
定理启示：
2、精讲精练
例1 课本p55求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
分析：先把文字语言转化为图形语言、符号语言，要求已知、求证、证明三步骤，要证线面平行转化为线线平行。
变式训练一 ：如图，在空间四面体中,分别为各棱的中点，（不要求证明）
①四边形是什么四边形？
②若，四边形是什么四边形？
③若，四边形是什么四边形？
变式二 ：
①直线与平面的位置关系是什么？为什么？
②在这图中，你能找出哪些线面平行关系？
例2、如图，已知为平行四边形所在平面外一点，为的中点，
求证：平面．
分析：证明线面平行的一般思路转化为线线平行，本题关键寻找与之平行的直线
变式训练三：如图，在正方体中，试作出过且与直线平行的截面，并说明理由．
（三）反思总结
(四)当堂检测
1、判断下列命题是否正确，若不正确，请用图形语言或模型加以表达
（1）
（2）
（3）
2、若AB、BC、CD是不在同一平面内的三线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是 （ ）
A、平行 B、相交 C、AC在此平面内 D、平行或相交
3、如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，
①与AB平行的平面是_______________
②与AA1平行的平面是________________
③与AD平行的平面是__________________
课后练习与提高
1、 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ）
Ａ．一条直线不相交
Ｂ．两条直线不相交
Ｃ．任意一条直线不相交
Ｄ．无数条直线不相交
2、过空间一点作与两条异面直线都平行的平面，这样的平面（ ）
A不存在 B有且只有一个或不存在 C有且只有一个 D有无数个
3、下列三个命题正确的个数为（ ）
（1）如果一条直线不在平面内，则这条直线与该面平行
（2）过直线外一点，可以作无数个面与该面平行
（3）如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任意直线平行
A 0 B 1 C 2 D 3
4、在空间四边形中，，分别是，的中点，则与的大小系是 ．
5. 空间四边形中，，，，分别是，，，的中点，若，且与所成的角为，则四边形的面积是 ．
6. 如图，在四棱锥中，是平行四边形，，分别是，的中点．
求证：平面．
课后提升作业 十
直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.(2018·济宁高一检测)已知l∥α，m∥α，l∩m=P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是 ( )
A.相交 B.平行
C.相交或平行 D.不确定
【解析】选B.因为l∩m=P，所以过l与m确定一个平面β，又因为l∥α，m∥α，l∩m=P，所以β∥α.
2.已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是 ( )
A.b∥α B.b与α相交
C.b?α D.b∥α或b与α相交
【解析】选D.由题意画出图形，当a，b所在平面与平面α平行时，b与平面α平行，当a，b所在平面与平面α相交时，b与平面α相交.
3.(2018·福州高一检测)平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.异面
【解析】选A.因为AD︰DB=AE︰EC，所以DE∥BC，又DE?α，BC?α，所以BC∥α.
4.有以下三种说法，其中正确的是 ( )
①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；
②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；
③直线a，b满足a∥α，a∥b，且b?α，则a平行于经过b的任何平面.
A.①② B.①③ C.②③ D.①
【解析】选D.①正确，若在α内存在一条直线b，使a∥b，则a∥α与“a与平面α相交”矛盾，故①正确；②错误，反例如图(1)所示；③错误，反例如图(2)所示，a，b可能在同一平面内.
5.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB=AF∶FD=1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则 ( )
A.BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
【解析】选B.如图，由题意得，
EF∥BD，
且EF=BD.
HG∥BD，且HG=BD.
所以EF∥HG，且EF≠HG.
所以四边形EFGH是梯形.
所以EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行.故选B.
6.正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是 ( )
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
【解析】选A.在平面E1FG1与平面EGH1中，因E1G1∥EG，FG1∥EH1，且E1G1∩FG1=G1，EG∩EH1=E，故平面E1FG1∥平面EGH1.
7.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下说法：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确说法的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.设m∩n=P，则直线m，n确定一个平面，
设为γ，由面面平行的判定定理知，α∥γ，β∥γ，
因此，α∥β，即①正确；如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线EF平行于平面ADD1A1和平面A1B1C1D1，
即满足②的条件，
但平面A1B1C1D1与平面ADD1A1不平行，
因此②不正确；图中，EF∥平面ADD1A1，BC∥平面A1B1C1D1，EF∥BC，但平面ADD1A1与平面A1B1C1D1不平行，所以③也不正确.
8. (2018·青岛高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且BP=BD1，给出下面四个命题：
(1)MN∥平面APC；(2)C1Q∥平面APC；(3)A，P，M三点共线；(4)平面MNQ∥平面APC.正确的序号为 ( )
A.(1)(2) B.(1)(4) C.(2)(3) D.(3)(4)
【解析】选C.(1)MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN?平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；(2)平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC，是正确的；(3)由BP=BD1，以及相似，可得A，P，M三点共线，是正确的；
(4)直线AP延长到M，则M在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC，是错误的.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2018·济南高一检测)三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为________.
【解析】连接AG并延长交BC于点M，连接SM，则AG=2GM，
又AE=2ES，所以EG∥SM，
又EG?平面SBC，
所以EG∥平面SBC.
答案：平行
10.(2018·太原高一检测)下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.(将你认为正确的都填上)
【解析】在④中NP平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行AB，所以AB∥平面MNP；
在①中设过点B且垂直于上底面的棱与上底面交点为C，则由NP∥CB，MN∥AC，可知平面MNP∥平面ABC，即AB∥平面MNP.
答案：①④
【补偿训练】(2018·菏泽高一检测)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，则下列命题：①E，C，D1，F四点共面；
②CE，D1F，DA三线共点；③EF和BD1所成的角为90°；④A1B∥平面CD1E.其中正确的是________(填序号).
【解析】由题意EF∥CD1，故E，C，D1，F四点共面；由EF??CD1，故D1F与CE相交，记交点为P，则P∈平面ADD1A1，P∈平面ABCD，所以点P在平面ADD1A1与平面ABCD的交线AD上，故CE，D1F，DA三线共点；∠A1BD1即为EF与BD1所成角，显然∠A1BD1≠90°；因为A1B∥EF，EF?平面CD1E，A1B?平面CD1E，所以A1B∥平面CD1E.
答案：①②④
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.(2015·福建高考改编)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，G，F分别是BE，DC的中点.
求证：GF∥平面ADE.
【证明】取AE的中点H，连接HG，HD，
又G是BE的中点，
所以GH∥AB且GH=AB，
又F是CD的中点，
所以DF=CD，由四边形ABCD是矩形，
得ABCD，
所以GHDF，从而四边形HGFD是平行四边形，
所以GF∥HD.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
12.(2015·四川高考改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.
【解析】(1)点F，G，H的位置如图所示.
(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：
因为ABCD-EFGH为正方体，
所以BC∥FG，BC=FG，
又FG∥EH，FG=EH，所以BC∥EH，BC=EH
于是BCHE为平行四边形.所以BE∥CH，
又CH?平面ACH，BE?平面ACH，
所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH，
又BE∩BG=B，所以平面BEG∥平面ACH.
【能力挑战题】
已知直三棱柱ABC-A1B1C1，点N在AC上且CN=3AN，点M，P，Q分别是AA1，A1B1，BC的中点.求证：直线PQ∥平面BMN.
【证明】如图，取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点.而GE∥AM，GE=AM，GF∥AN，GF=AN，且CN=3AN，所以=，==，所以==，所以EF∥PQ，又EF?平面BMN，PQ?平面BMN，所以PQ∥平面BMN.
