【尖子班】第7讲 圆的概念及性质 复习学案（无答案）


 “圆”来如此

中考内容
中考要求
A
B
C
圆的有关概念
理解圆及其有关概念
会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题
圆的性质
知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系
能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题
能运用圆的性质解决有关问题
圆周角
了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角
会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题
能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题
垂径定理
会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论
能用垂径定理解决有关问题
点与圆的位置关系
了解点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念
能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题
能解决与切线有关的问题
圆与圆的位置关系
了解圆与圆的位置关系
能利用圆与圆的位置关系解决简单问题
弧长
会计算弧长
能利用弧长解决有关问题
扇形
会计算扇形面积
能利用扇形面积解决有关问题
圆锥的侧面积和全面积
会求圆锥的侧面积和全面积
能解决与圆锥有关的简单实际问题

圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份
2010年
2011年
2012年
题号
11，20
20，25
8，20，25
分值
9分
13分
17分
考点
垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合
圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系
圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系



定 义
示例剖析
圆：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．
固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．
由圆的定义可知：
⑴ 圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
⑵ 要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
表示为“”
圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
能够重合的两个圆叫做等圆．
弦和弧：
1. 连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．
2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
以为端点的弧记作，读作弧AB．
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
3. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
4. 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
表示：劣弧
优弧或
圆心角和圆周角：
1. 顶点在圆心的角叫做圆心角．
2. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
下面这些都不是圆周角：


如图，若点为的圆心，则线段_________________是圆的半径；线段___________是圆的弦，其中最长的弦是________；________是劣弧；___________是半圆．若，则_________，_______，_______．


如图，为的直径，是的弦，的延长线交于点，若，，求的度数．




定 理
示例剖析
1. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
如图，是的直径，是弦
1. 若于，则；
；．
2. 若，则；
；．
1．如图，分别是中长度相等但不平行的两条弦的中点．
求证：．
2．如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作
⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是 cm．

3． 如图，⊙O的半径为2，弦，点C在弦AB上，，则OC
的长为（ ）
A． B． C． D．

⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB=8 cm，CD=6cm，求AB与CD之间的距离．


定 理
示例剖析
弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
如图，由定理可知：
若，则、；
若，则、；
若，则、．
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
若，则
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形的对角互补．
如图，四点都在圆上，
则，

⑴ 如图，△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则
∠ADC+∠AEB+∠BAC=
⑵ 在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，
且CF⊥AD．则∠D= ．
⑶ 如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边
形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= °．
⑷ 如图，是上的点，直径交于点，已知
，，则________．
⑸ 如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是 ．
⑹ 已知的弦长等于圆的半径，则该弦所对的圆周角为 ．
如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径，AC=3，求线段DE的长度．

已知：在半径为的⊙O内，有互相垂直的两条弦AB，CD，它们相交于P点．
（1）求证：PA·PB=PC·PD；
（2）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EFAD；
（3）如果AB=8，CD=6，求O、P两点之间的距离．
判断正误
⑴ 半圆是弧
⑵ 半径相等的两个圆是等圆
⑶ 过圆心的线段是直径
⑷ 两个端点能够重合的弧是等弧
⑸ 圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分
⑹ 长度相等的弧是等弧
⑺ 直径是最大的弦
⑻ 半圆所对的弦是直径
⑼ 两个劣弧的和是半圆
⑽ 圆的半径是，则弦长的取值范围是大于0且不大于
.

如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为______．
如图所示，已知的直径和弦相交于点，，，，求的长．
已知在中，半径，是两条平行弦，且，求的长．
如图，已知是的弦，平分交于，弦交于，求证：平分．



知识模块一 圆的基本概念 课后演练
已知：如图，在同心圆中，大圆的弦交小圆于两点．
⑴ 求证：；
⑵ 试确定与两线段之间的大小关系，并证明你的结论．
知识模块二 垂直于弦的直径 课后演练
如图，的弦垂直于弦，为垂足，，，且
，则圆心到的距离是__________．
如图所示，在中，，，，若以为
圆心、的长为半径的圆交于，则 .
在半径为的中，弦的长分别为和，则的度数为___________．
知识模块三 弧、弦、圆心角和圆周角 课后演练
已知如图，在中，是的直径，、分别交于、，是
的中点，，求的大小．

如图，点在半圆上，四边形均为矩形，设，，则下列格式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
如图所示，在与三角形所组成的图形中，，求证：．
⑴ 如图，为的直径，于，，，
则__________．
⑵ 如图，的弦，是上任意一点，且最小值为，
则的半径为___________．