直线与平面平行的性质教案
【教学目标】
1、探究直线与平面平行的性质定理；
2、体会直线与平面平行的性质定理的应用；
3、通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣.
【教学重难点】
重点 通过直观感知、提出猜想进而操作确认，获得直线与平面平行的性质定理．
难点 综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线线平行与线面平行的相互转化．
【教学过程】
1、提出问题：木工小罗在处理如图所示的一块木料时，发现该木料表面ABCD内有一条裂纹DP，已知BC∥平面AC．他打算经过点P和BC将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗？
2、探索：
两条直线平行的条件是什么？
平行于平面的一条直线与该平面内的直线的位置关系有几种可能？
平行于平面的一条直线与该平面内一条直线平行，需附加什么条件？
平面内的这条直线具有什么特殊地位？
3、发现：
两直线平行的条件是：；
平行于平面的一条直线与该平面内的直线无公共点，位置关系有两种：平行或异面；
平行于平面的一条直线与该平面内一条直线平行，需附加条件：它们在同一平面（）内；
平面内的这条直线是这个平面与过已知直线的平面（）的交线．
4、提出猜想：
由以上的探索与发现你能得出怎样的结论？
你能否用数学符号语言描述你所发现的结论？
可否画出符合你的结论的图形？
你能否对你发现的结论给出严格的逻辑证明？
5、直线与平面平行的性质定理：
1）文字叙述
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
2）符号语言描述
3）图形语言描述
如右图．
定理探微：
1）定理可以作为直线与直线平行的判定方法；
2）定理中三个条件缺一不可；
3）提供了过已知平面内一点作与该平面的平行线相平行的直线的方法，即：辅助平面法．
6、定理应用举例：
例1．引入问题解决：
探索：
1）怎样确定截面（由哪些条件确定）？
2）过P点所画的线有什么特殊意义，具有什么性质，具体应怎样画？
解：如图所示
变式训练1： 如图：四面体A－BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，
（1）求证：CD//平面EFGH；
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
证明：（1）∵截面EFGH是一个矩形，
∴EF//GH，又GH平面BCD
∴EF//平面BCD，而EF平面ACD，面ACD∩面BCD＝CD
∴EF// CD，∴CD//平面EFGH
解：（2）则（1）知EF// CD，同理AB//FG，
由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角。
∴AB、CD所成的角为90°
例2．已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。
探索：
1）已知是何种位置关系，结论又是何种位置关系？
2）证明线面平行的方法与关键是什么？
变式训练2：．求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行．
分析：
1）用数学符号语言描述上述命题，写出已知和求证；
2）用图形语言描述上述命题，即画出相应图形；
3）综合利用线面平行的性质定理与判定定理解答本题．
已知：如图：a//α,a//β,α∩β＝b，求证：a//b
解析： 本题可利用线面平行的性质定理来证明线线平行。
证明: 如图2－28，过a作平面γ、δ，使得γ∩α＝c，δ∩β＝d，那么有
点评: 本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程。这是证明线线平行的一种典型的思路。
结合例题探究发现：
直线与平面平行的性质定理和直线与平面平行的判定定理经常要综合使用，亦即是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可以继续推下去．
反思总结：在使用中要注意一种思想和一种方法：
转化的数学思想
即线线平行与线面平行之间的相互转化，亦即空间问题与平面问题之间的相互转化，这也是解决立体几何问题的重要思想方法．
转化的关系如下：
辅助平面法
即构造辅助平面，以实现线线平行与线面平行间的相互转化．
【板书设计】
一、直线与平面平行的性质定理
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
教材P68
1．习题2．2（A组）第5、6题；
2、2、3 直线与平面平行的性质学案
课前预习学案
一、预习目标：
探究直线与平面平行的性质定理；
二、预习内容：
阅读教材，结合思考内容，然后回答问题
思考：（1）如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线平行？
（2）教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？
回答：<1>我们知道空间两直线的位置关系是平行、相交、异面，那么若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系如何呢？
<2>用三种语言描述直线与平面平行的性质定理,并试着证明直线与平面平行的性质定理.
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一、 学习目标
1、探究直线与平面平行的性质定理；
2、体会直线与平面平行的性质定理的应用；
3、通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣.
学习重点 通过直观感知、提出猜想进而操作确认，获得直线与平面平行的性质定理．
学习难点 综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线线平行与线面平行的相互转化．
二、学习过程
提出问题：木工小罗在处理如图所示的一块木料时，发现该木料表面ABCD内有一条裂纹DP，已知BC∥平面AC．他打算经过点P和BC将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗？
探索：
两条直线平行的条件是什么？
平行于平面的一条直线与该平面内的直线的位置关系有几种可能？
平行于平面的一条直线与该平面内一条直线平行，需附加什么条件？
平面内的这条直线具有什么特殊地位？
发现：
提出猜想：
由以上的探索与发现你能得出怎样的结论？
你能否用数学符号语言描述你所发现的结论？
可否画出符合你的结论的图形？
你能否对你发现的结论给出严格的逻辑证明？
形成经验
直线与平面平行的性质定理：
①文字叙述：
②符号语言描述：
③图形语言描述
定理应用举例：
例1．引入问题解决：
探索：
1）怎样确定截面（由哪些条件确定）？
2）过P点所画的线有什么特殊意义，具有什么性质，具体应怎样画？
解：
变式训练1： 如图：四面体A－BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，
（1）求证：CD//平面EFGH；
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
例2．．已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。
探索：
1）已知是何种位置关系，结论又是何种位置关系？
2）证明线面平行的方法与关键是什么？
解：（略）
变式训练2：．求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行．
分析：
1）用数学符号语言描述上述命题，写出已知和求证；
2）用图形语言描述上述命题，即画出相应图形；
3）综合利用线面平行的性质定理与判定定理解答本题．
证明：
结合例题探究发现：
反思总结：在使用中要注意一种思想和一种方法：
转化的数学思想
即线线平行与线面平行之间的相互转化，亦即空间问题与平面问题之间的相互转化，这也是解决立体几何问题的重要思想方法．
转化的关系如下：
辅助平面法
即构造辅助平面，以实现_____平行与_____平行间的相互转化．
当堂检测：
一、判断题：
1、如果a 、b是两条直线，并且a∥b，那么a平行于过b的任何平面。( )
2、如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何直线平行。（ ）
3、如果直线a、b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b。（ ）
二、．如图，已知异面直线AB、CD都与平面平行，CA、CB、DB、DA分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是平行四边形．
．
课后练习与提高
一、选择题．
1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(??? )
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于α的直线(??? )
A．只有一条，不在平面α内?
B．有无数条，不一定在α内
C．只有一条，且在平面α内?
D．有无数条，一定在α内
3．下列判断正确的是(??? )
A．a∥α，b α，则a∥b?
B．a∩α＝P，b α，则a与b不平行
C．a α，则a∥α
D．a∥α，b∥α,则a∥b
二、填空题．
4、过平面外一点作一平面的平行线有 条．
5、．若直线a，b都平行于平面α，那么a与b的位置关系是 ．
三、解答题．
6、三个平面两两相交有三条交线，如果其中两条交线平行，则第三条交线也和它们分别平行．
参考答案：一、1、D 2、C 3、B
二、4、无数条 5、平行 相交 异面 三、6、略
第二课时 直线与平面平行的性质
（一）教学目标
1．知识与技能
掌握直线与平面平行的性质定理及其应用.
2．过程与方法
学生通过观察与类比，借助实物模型性质及其应用.
3．情感、态度与价值观
（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力.
（2）进一步体会类比的作用.
（3）进一步渗透等价转化的思想.
（二）教学重点、难点
重点：直线和平面平行的性质.
难点：性质定理的证明与灵活运用.
（三）教学方法
讲练结合
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
1．直线与平面平行的判定定理
2．直线与平面的位置关系
3．思考：如果直线和平面平行、那么这条直线与这个平面内的直线是有什么位置关系？
投影幻灯片，师生共同复习，并讨论思考题.
复习巩固
探索新知
直线与平面平行的性质
1．思考题：一条直线与一个平面平行，那么在什么条件下，平面内的直线与这条直线平行？
2．例1 如图a∥a，= b. 求证：a∥b.
证明：因为=b，所以.
因为a∥，所以a与b无公共点.
又因为，所以a∥b.
3．定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
简证为：线面平行则线线平行.
符号表示：
师：投影问题，学生回答.
生：当平面内的直线与这条直线共面时两条直线平行.
师：为什么？
生：由条件知两条直线没有公共点，如果它们共面，那么它们一定平行.
师投影例1并读题，学生分析，教师板书，得出定理.
师：直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含直线与直线平行.通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的重要方法.
通过讨论板书加深对知识的理解.培养学生书写的能力.
典例剖析
例2 如图所示的一块林料中，棱BC平行平面A′C′.
（1）要经过面A′C′内一的点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
解：（1）如图，在平面A′C′，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E，F.连接BE，CF.则EF、BE、CF就是应画的线.
（2）因为棱BC平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以，BC∥B′C′.由（1）知，EF∥BC，因此
.
BE、CF显然都与平面AC相交.
师投影例2并读题，学生思考.
师分析：经过木料表面A′C′内一点P和棱BC将木锯开，实际上是经过BC及BC外一点P作截面，也就是作出平面与平面的交线，现在请大家思考截面与平面A′C′的交线EF与BC的位置关系如何？怎样作？
生：由直线与平面平行的性质定理知BC∥EF，又BC∥B′C′，故只须过点P作EF∥B′C′即可.
教师板书第一问，学生完成第二问，教师给予点评.
巩固所学知识培养学生空间想象能力，转化化归能力及书写表达能力.
例题剖析
例3 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.
如图，已知直线a、b，平面，且a∥b，a∥，a、b都在平面外.
求证：b∥
证明：过a作平面，使它与平面相交，交线为c.
因为a∥，，=c，所以a∥c
因为a∥b，所以b∥c
又因为，所以b∥.
教师投影例3并读题，师生共同画出图形，写出已知，求证.
师：要证，可转证什么问题.
生：转证直线b与平面内的一条直线平行.
师：但这种直线在已知图线中不存在，怎么办呢？
生：利用条件，先作一平面与相交c，则a与交线c平行，又a∥b ∴b∥c
师表扬，并共同完成板书过程
巩固所学知识培养学生空间想象能力，转化化归能力及书写表达能力.
随堂练习
1．如图，正方体的棱长是a，C，D分别是两条棱的中点.
（1）证明四边形ABCD（图中阴影部分）是一个梯形；
（2）求四边形ABCD的面积.
2．如图，平面两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b. 那么，a与c，b与c有什么关系？为什么？
学生独立完成
1．答案：
（1）如图，CD∥EF，EF∥AB，CD∥AB. 又CD≠AB，所以四边形ABCD是梯形.
（2）
2．答案：因为 且a∥b，由，得；又得a∥c，所以a∥b∥c.
巩固所学知识
归纳总结
1．线线平行 线面平行
2．在学习性质定时注意事项
学生归纳后教师总结完善
构建知识系统思维的严谨性.
课后作业
2.2 第二课时 习案
学生独立完成
提高知识
整合能力
备选例题
例1 如图，a∥，A是另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交a于E、F、G点，若BD = 4，CF = 4，AF = 5，求EG.
解：∴A、a确定一个平面，设为.
∵B∈a，∴B∈，又A∈，
∴AB 同理
∵点A与直线a在的异侧
∴与相交，
∴面ABD与面相交，交线为EG
∵BD∥，BD面BAD，面BAD=EG
∴BD∥EG， ∴△AEG∽△ABD. ∴?(相似三角形对应线段成比例)
∴.
课后提升作业 十一
直线与平面平行的性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为 ( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或都交于同一点
【解析】选D.当l与α相交时，设交点为A，则过l的平面与α的交线a，b，c，…都过点A，当l∥α时，由线面平行的性质得l∥a∥b∥c∥….
2.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 ( )
A.m∥α，m∥n?n∥α
B.m∥α，n∥α?m∥n
C.m∥α，m?β，α∩β=n?m∥n
D.m∥α，n?α?m∥n
【解析】选C.A中，n还有可能在平面α内；B中m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确.D中m，n可能异面.
3.已知m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于a，则n与a的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均有可能
【解析】选A.因为m∥α，m?β，α∩β=a，
所以m∥a，又m∥n，所以n∥a.
4.(2018·广州高一检测)如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则 ( )
A.MN∥PD B.MN∥PA
C.MN∥AD D.以上均有可能
【解析】选B.因为MN∥平面PAD，MN?平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，所以MN∥PA.
5.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC=m，BD=n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB= ( )
A.m∶n B.n∶m
C.(m+n)∶m D.(m+n)∶n
【解析】选A.因为AC∥平面EFGH，
所以EF∥AC，GH∥AC，
所以EF=HG=m·，
同理EH=FG=n·.
因为EFGH是菱形，所以m·=n·，
所以AE∶EB=m∶n.
6.α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件：
①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③a?γ，b∥β.如果说法“α∩β=a，b?γ，且________，则a∥b”是正确的，则可以在横线处填的条件是 ( )
A.①或② B.②或③ C.①或③ D.只有②
【解题指南】对每一个条件逐一判断，看是否满足线面平行的性质定理.
【解析】选C.①中a∥γ，b?β，γ∩β=b，
得出a∥b；③中a?γ，b∥β，b?γ，
α∩β=a，β∩γ=a，得出a∥b.
7.(2018·成都高一检测)如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为 ( )
A.2+ B.3+ C.3+2 D.2+2
【解析】选C.因为AB=BC=CD=DA=2，
所以四边形ABCD是菱形，所以CD∥AB，
又CD?平面SAB，AB?平面SAB，
所以CD∥平面SAB.
又CD?平面CDEF，平面CDEF∩平面SAB=EF，
所以CD∥EF，所以EF∥AB.
又因为E为SA中点，
所以EF=AB=1.
又因为△SAD和△SBC都是等边三角形，
所以DE=CF=2×sin60°=，.Com]
所以四边形DEFC的周长为：
CD+DE+EF+FC=3+2.
8.若直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β=直线b，则 ( )
A.a∥b或a与b异面 B.a∥b
C.a与b异面 D. a与b相交
【解析】选B.a∥b.理由如下：如图，
.Com]
过a作平面γ交平面α于c，
因为a∥α，所以a∥c.过a作平面ε交平面β于d，
因为a∥β，所以a∥d.
所以c∥d.又c?β，d?β，所以c∥β，又c?α，α∩β=b，
所以c∥b，所以a∥b.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.
【解析】由于在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，
所以AC=2.
又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C=AC，所以EF∥AC，
所以F为DC的中点，所以EF=AC=.
答案：
10.(2018·南阳高一检测)如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1-A1BC1后得到的几何体，若点O为底面ABCD的中心，则直线D1O与平面A1BC1的位置关系是____________.
【解析】如图，将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，即四边形D1OBO1为平行四边形，则D1O∥O1B，因为BO1?平面A1BC1，D1O?平面A1BC1，所以直线D1O∥平面A1BC1.
答案：平行
三、解答题(每小题10分，共20分)
11. 如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形.
(1)求证：CD∥平面EFGH.
(2)求异面直线AB，CD所成的角.
【解析】(1)因为截面EFGH是矩形，
所以EF∥GH.
又GH?平面BCD，EF?平面BCD.
所以EF∥平面BCD.
而EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD=CD，所以EF∥CD.
又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
所以CD∥平面EFGH.
(2)由(1)知CD∥EF，同理AB∥FG，由异面直线所成角的定义知，∠EFG即为所求.
故AB，CD所成的角为90°.
12.ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，
因为ABCD是平行四边形，
所以O是AC中点，又M是PC的中点，所以AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD.
因为平面PAHG∩平面BMD=GH，根据直线和平面平行的性质定理，则有AP∥GH.
【能力挑战题】
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.
【解析】若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBM交AE于点N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，
BF?平面FBM，平面FBM∩平面AA1C1C=MN.
所以FB∥MN.
又MB∥平面AEF，
所以MB∥FN，
所以四边形BFNM是平行四边形，
所以MN=FB=1.
而EC∥FB，EC=2FB=2，
所以MN∥EC，MN=EC=1，
故MN是△ACE的中位线.
所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
课件33张PPT。过这条直线a?βα∩β＝bα∩γ＝aβ∩γ＝b相交平行答案： A答案： B答案： 15
谢谢观看！课件15张PPT。第二章 § 2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.3 直线与平面平行的性质1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行；
2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点 直线与平面平行的性质思考1 如图，直线l∥平面α，直线a?平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？
答案 不一定，因为还可能是异面直线.
思考2 如图，直线a∥平面α，直线a?平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？
直线a，b有什么位置关系？
答案 无数个，a∥b.答案答案平行交线平行a?β，α∩β＝b返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 线面平行的性质及应用例1 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，
CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.证明 因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，
且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面四边形MNPQ是平行四边形.反思与感悟解析答案反思与感悟利用线面平行的性质定理解题的步骤
(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.
(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面.
(3)确定交线.
(4)由性质定理得出结论.跟踪训练1 如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，
EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，
若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值.解 如图，连接BD交AC于点O1，连接OM，
因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，解析答案在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，故PM∶MA＝1∶3.类型二 线面平行的性质与判定的综合应用例2 已知，a∥α，且a∥β，α∩β＝l，求证：a∥l.证明 如图，过a作平面γ交α于b.
因为a∥α，所以a∥b.
过a作平面ε交平面β于c.
因为a∥β，所以a∥c，所以b∥c.
又b?β且c?β，所以b∥β.
又平面α过b交β于l，所以b∥l.
因为a∥b，所以a∥l.解析答案反思与感悟判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：
线线平行 线面平行 线线平行.在平面内作
或找一直线经过直线作或找
平面与平面的交线跟踪训练2 如图所示，四面体ABCD被一平面所截，
截面EFGH是一个矩形.求证：CD∥平面EFGH.证明 ∵截面EFGH是矩形，∴EF∥GH.
又GH?平面BCD，EF?平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
而EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，
∴EF∥CD.
又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.解析答案返回123达标检测 4解析答案1.已知直线l∥平面α，l?平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或异面
解析 由直线与平面平行的性质定理知l∥m.B1234解析答案2.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( )
A.0条 B.1条
C.0条或1条 D.无数条
解析 过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，
若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，
若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.C12343.如图所示，直线a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面
α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，
若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝____.解析 由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.
因为a∥平面α，a?平面β，所以EF∥a.解析答案1234解析答案4.如图，AB是圆O的直径 ，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.解析 直线l∥平面PAC，
证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.
又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.
而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因为l?平面PAC，EF?平面PAC，所以l∥平面PAC.规律与方法1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.
2.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.返回2.2.3 直线与平面平行的性质
一、基础过关
1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面( )
A．只有一个 B．至多有两个
C．不一定有 D．有无数个
2. 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )
A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°
3. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行和异面
4．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
5．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)
6. 如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
7. ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
8. 如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.
求证：CD∥平面EFGH.
二、能力提升
9.如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是( )
A．l1平行于l3，且l2平行于l3
B．l1平行于l3，且l2不平行于l3
C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3
D．l1不平行于l3，但l2平行于l3
10．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．
10题图 11题图
11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.
12. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：BC∥l；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
三、探究与拓展
13．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
答案
1．C 2．C 3．A 4．B
5．①②?③(或①③?②) 6.a
7．证明 如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，
∵ABCD是平行四边形，
ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
∴O是AC中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，
则有AP∥GH.
8．证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH?平面BCD，EF?平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，∴EF∥CD.
而EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
9．A 10.平行四边形
11．m∶n
12．(1)证明 因为BC∥AD，AD?平面PAD，
BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC＝l，BC?平面PBC，所以BC∥l.
(2)解 MN∥平面PAD.
证明如下：
如图所示，取PD中点E.
连接EN、AE.
又∵N为PC中点，∴EN綊AB
∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.
又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
13．证明 连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，连接ED，
∵A1B∥平面AC1D，
平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
∴A1B∥ED，
∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，
又∵C1D?平面AC1D，BD1?平面AC1D，
∴BD1∥平面AC1D，
又A1B∩BD1＝B，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
