【尖子班】第8讲 与圆有关的位置关系 复习学案（无答案）


 困惑？？

中考内容
中考要求
A
B
C
圆的有关概念
理解圆及其有关概念
会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题
圆的性质
知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系
能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题
能运用圆的性质解决有关问题
圆周角
了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角
会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题
能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题
垂径定理
会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论
能用垂径定理解决有关问题
点与圆的位置关系
了解点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念
能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题
能解决与切线有关的问题
圆与圆的位置关系
了解圆与圆的位置关系
能利用圆与圆的位置关系解决简单问题
弧长
会计算弧长
能利用弧长解决有关问题
扇形
会计算扇形面积
能利用扇形面积解决有关问题
圆锥的侧面积和全面积
会求圆锥的侧面积和全面积
能解决与圆锥有关的简单实际问题

圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份
2010年
2011年
2012年
题号
11，20
20，25
8，20，25
分值
9分
13分
17分
考点
垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合
圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系
圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系



定 义
示例剖析
点和圆的位置关系：
点和圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．
设的半径为，点到圆心的距离为，则有：
点在圆外；
点在圆上；
点在圆内.
点在圆外：
点在圆上：
点在圆内：
确定圆的条件：
1. 圆的确定
确定一个圆有两个基本条件：①圆心（定点），确定圆的位置；②半径（定长），确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．
2. 过已知点作圆
⑴经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．
⑵经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．
⑶过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
⑷过个点的圆：只可以作个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．
3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
三点确定一个圆
注意：
⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.

1. 已知中，，，，的中点为，
⑴ 以为圆心，为半径作，则点，，与的位置关系如何?
⑵ 若以为圆心作，使，，三点至少有一点在内，且至少有一点在外，求半径的取值范围．
2. 矩形ABCD中，，，点P在边AB上，且，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（　　）
A．点B、C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内
C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内

⑴ 一个已知点到圆周上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为________．
⑵ 在中，，，，则它的外接圆的直径为_____________．
⑶ 确定已知弧所在圆的圆心．


定 义
示例剖析
直线和圆的位置关系：
直线和圆的位置关系有：直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交三种，这三种关系由圆心到这条直线的距离与半径的大小关系决定．
设的半径为，圆心到直线的距离为，则有：
直线与相离；
直线与相切；
直线与相交
直线和圆相离：
直线与圆没有公共点
直线和圆相切：
直线与圆有唯一公共点，
直线叫做圆的切线，
公共点叫做切点
直线和圆相交：

直线与圆有两个公共点，
直线叫做圆的割线
切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
“经过圆心”、“经过切点”、“互相垂直”知二推一
切线的判定：
定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
距离：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

定义法 距离法 定理法
切线长：
经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
弦切角：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.
定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半.
推论：两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等.

为弦切角，
.

在中，，，，以点为圆心，为半径的圆和直线有怎样的位置关系?为什么?
⑴ ；⑵ ；⑶ ．

⑴ 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系
是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能
⑵ 如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长
为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直
AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针
方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形
ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（　　）
A、3次 B、5次 C、6次 D、7次
⑶ 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C
是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的
度数是（　　）
A．80° B．110° C．120° D．140°
⑷ 如图，半径为3cm的切直线于，，
，则的度数是 ．
1. 如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，E为BC中点.
求证： DE为⊙O的切线.
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC
于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．
(1) 求证：EF与⊙O相切；
(2) 若AE=6，sin∠CFD=，求EB的长．
如图，已知是正方形对角线上一点，以为圆心、长为半径的与相切于，与、分别相交于、．
⑴ 求证：与相切；
⑵ 若正方形的边长为，求的半径．


定 义
示例剖析
圆和圆的位置关系：
圆和圆的位置关系有：圆和圆外离、圆和圆外切、圆和圆相交、圆和圆内切、圆和圆内含五种，这五种关系由两圆圆心的距离与两圆半径之和或差的大小关系决定．
设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则有：
两圆外离；
两圆外切；
两圆相交；
两圆内切；
两圆内含
说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
⑴ 两圆外离：
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．
⑵ 两圆外切：
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．
⑶ 两圆相交：
两个圆有两个公共点．
⑷ 两圆内切：
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．
⑸ 两圆内含：

两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．

⑴ 圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为（ ）
A. 1 B. 3 C. 1或2 D. 1或3
⑵ 如图，平面直角坐标系中，⊙O的半径长为1，
点，⊙P的半径长为2，把⊙P向左平
移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为（　　）
A. 3 B. 1
C. 1或3 D. 或
⑶ 若两个圆相切于点，它们的半径分别为、，则这两个圆的圆心距
为_______．
⑷ 相交两圆的半径分别为1和3，把这两个的圆心距的取值范围在数轴上表示正
确的是（　　）
A. B.
C. D.
⑸ 两圆的圆心距为7，两圆的半径分别是方程的两个根，则两圆的
位置关系是（ ）
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离
如图，，是的切线，，为切点， 是的直径，若，则
度.
.

已知：四边形中，，，，，，以为圆心，长为半径作圆．求证：在上，在内，外都有线段上的点.
如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点，过点作的切线，，，，那么直线与以点为圆心，为半径的圆的位置关系是 ．
已知：如图，为上一点，交于，连接，且．
求证：⑴为的切线；⑵．
已知：如图，两圆相交于两点，过点的割线分别交两圆于点，过点的割线分别交两圆于点．求证：．


知识模块一 点和圆的位置关系 课后演练
中，，，则其外接圆的半径为________________．
知识模块二 直线和圆的位置关系 课后演练
如图，为的直径，为上一点，和过点的切线
互相垂直，垂足为，求证：平分．
已知：如图，是的角平分线上一点，于．以点为圆心，长为半径作．求证：与相切．
知识模块三 圆和圆的位置关系 课后演练
图中包含的两圆之间不同的位置关系有____________________________．
⑴已知两圆相切，两圆半径分别为和，则圆心距为______________．
⑵设和是同一平面上两个相切的半径为的圆，在这个平面上同时与和 相切的半径为的圆的个数是_______．