平面与平面平行的性质教案
【教学目标】
1、通过图形探究平面与平面平行的性质定理；
2、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用；
3、进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.
【教学重难点】
重点：通过直观感知，操作确认，概括并证明平面和平面平行的性质定理。
难点：平面和平面平行的性质定理的证明和应用。
【教学过程】
1、 教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出课前预习学案中的结论
结论：<1>结合长方体模型，可知：或平行或异面；
<2>直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
<3>文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；符号语言：；图形语言如图所示：
<4>应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.”
2、思考：如果平面,那么平面内的直线a和平面内的哪些直线平行？怎么找出这些直线？
(教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出结论)
结论：过直线a做平面与平面相交,则交线和a平行.
(在教师的启发下，师生共同概括完成上述结论及证明过程，从而得到两个平面平行的性质定理)。
3、平面和平面平行平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
证明：
教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
4、平面和平面平行的性质定理应用
例1:求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.
（学生交流讨论形成结果）
→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：
已知：，，，
求证：。
解析：利用什么定理？（平面与平面平行性质定理）关键是如何得到第三个相交平面。证明：因为AB∥CD，
所以过AB、CD可作平面γ,且平面γ与平面α、平面β分别交于AD和BC，
因为α∥β，所以AD∥BC
所以四边形ABCD是平行四边形
所以
点评：
变式训练1：
判断下列结论是否成立：
① 过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；（ ）
② ；（ ）
③ 平行于同一个平面的两条直线平行；（ ）
④ 两个平面都与一条直线平行，则这两个平面平行；（ ）
⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。（ ）
例题2：已知：如下图，四棱锥S-ABCD底面为平行四边形，E、F分别为边AD、SB中点
求证：EF∥平面SDC。
解析：证线面平行，需证线线平行
证明：方法一
5、课堂小结：
面面平行的性质定理及其它性质（）；转化思想.
【板书设计】
一、平面与平面平行的性质定理
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
习题2.2A组第6、7、题，B组第2题；
2、2、4平面与平面平行的性质
课前预习学案
一、预习目标：
通过图形探究平面与平面平行的性质定理
二、预习内容：
阅读教材第66—67页内容，然后回答问题
（1）利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？
（2）请同学们回忆线面平行的性质定理，然后结合模型探究面面平行的性质定理；
（3）用三种语言描述平面与平面平行的性质定理；
（4）应用面面平行的性质定理的难点在哪里？应用面面平行的性质定理口诀是什么？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一、 学习目标
1、通过图形探究平面与平面平行的性质定理；
2、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用；
3、进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.
学习重点：通过直观感知，操作确认，概括并证明平面和平面平行的性质定理。
学习难点：平面和平面平行的性质定理的证明和应用。
二、学习过程
1、 教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出课前预习学案中的结论
结论：<1>结合长方体模型，可知：或平行或异面；
<2>直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
<3>文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；符号语言：；图形语言如图所示：
<4>应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.”
2、思考：如果平面,那么平面内的直线a和平面内的哪些直线平行？怎么找出这些直线？
(教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出结论)
结论：过直线a做平面与平面相交,则交线和a平行.
(在教师的启发下，师生共同概括完成上述结论及证明过程，从而得到两个平面平行的性质定理)。
3、平面与平面平行性质定理：
讨论：
① 两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？
符号语言表示：
。
② 当第三个平面和两个平行平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？
猜想：
证明：学生独立完成
通过讨论猜想并证明得到：
平面与平面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
用符号语言表示性质定理：
4、平面和平面平行的性质定理应用
例1:求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.
（学生交流讨论形成结果）
→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：
已知：，，，
求证：。
分析：利用什么定理？（平面与平面平行性质定理）关键是如何得到第三个相交平面。证明：
变式训练1：
判断下列结论是否成立：
① 过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；( )
② ；( )
③ 平行于同一个平面的两条直线平行；( )
④ 两个平面都与一条直线平行，则这两个平面平行；( )
⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。( )
例题2：
已知：如下图，四棱锥S-ABCD底面为平行四边形，E、F分别为边AD、SB中点
求证：EF∥平面SDC。
证明：方法一
方法二：
变式训练2：
5、课堂小结：
6、当堂检测：
(1)习题2.2A组 1、2
(2)、已知平面α∥平面β直线a∥α，a(β，求证：a∥β．
课后练习与提高
一、选择题
1．“α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
2．平面α∥平面β，直线a(α，P∈β，则过点P的直线中（ ）
A．不存在与α平行的直线 B．不一定存在与α平行的直线
C．有且只有—条直线与a平行 D．有无数条与a平行的直线
3．下列命题中为真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．垂直于同一条直线的两个平面平行
C．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．
D．若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均平行．
二、填空题
4．过两平行平面α、β外的点P两条直线AB与CD，它们分别交α于A、C两点，交β于B、D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则ＢD的长为__________．
5．已知点A、B到平面α的距离分别为d与3d，则A、B的中点到平面α的距离为________．
三、解答题
6、如图，平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，点E、F分别在线段AＢ、CD上，且，求证：EF∥平面β．
?
参考答案
第三课时 平面与平面平行的性质
一、教学目标：
1、知识与技能
掌握两个平面平行的性质定理及其应用
2、过程与方法
学生通过观察与类比，借助实物模型理解及其应用
3、情感、态度与价值观
（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；
（2）进一步体会类比的作用；
（3）进一步渗透等价转化的思想。
二、教学重点、难点
重点：平面与平面平等的性质定理
难点：平面与平面平等的运用
三、教学方法
讲录结合
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
1．直线和平面平行的性质
2．平面和平面平行的性质
3．线线平等线面平行→面面平行
师生共同复习. 教师点出主题.
复习巩固
探索新知
平面和平面平行的性质
1．思考：（1）两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个面具有什么关系？
（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么关系？
（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一平面内的直线在什么条件下不平行？
2．例1 如图，已知平面，，满足，，，证：a∥b.
证明：因为，
，
所以，.
又因为，
所以a、b没有公共点，
又因为a、b同在平面内，
所以a∥b.
3．定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
上述定理告诉我们，可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.
师：请同学们思考：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一面具有什么关系？
生：借助长方体模型可以发现，若平面AC和平面A′C′ 平行，则两面无公共点，那么出就意味着平面AC内任一直线BD和平面A′C′ 也无公共点，即直线BD和平面A′C′ 平行.
师：用式子可表示为，.
用语言表述就是：
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一平面.（板书）
生：由问题知直线BD与平面A′C′ 平行. BD与平面A′C′ 没有公共点. 也就是说，BD 与平面A′C′ 内的所有直线没有公共点. 因此，直线BD 与平面A′C′ 内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.
生：由问题2知要两条直线平行，只要他们共面即可.
师：我们把刚才这个结论用符号表示，即是例5的证明.
师生共同完成并得出性质定理.
师引导学生得出结论：两个平行平面的判定定理与性质定理的作用，要害都集中在“平行”二字上，判定定理解决的问题是：在什么样的条件下两个平面平行.性质定理说明的问题是：在什么样的条件下两条直线平行，前者给出了判定两个平面平行的一种方法，后者给出了判定两条直线平行的一种方法.
师下面以例题说明性质定理在解决问题时作用.
新教材常常要将面面平行转化为线面平行讨论，但没有给出结论，故补充，只是不作太多强调.
加深对知识的理解
典例分析
例2 夹在两个平行平面间的平行线段相等，如图∥，AB∥CD，且A∈，C∈，B∈，D∈，求证：AB = CD.
证明：如图，AB∥CD，AB、CD确定一个平面
，
例3如图，已知平面，AB、CD是异面直线，且AB分别交于A、B两点，CD分别交于C、D两点.M、N分别在AB、CD上，且.
求证：MN∥
证明：如图，过点A作AD′∥CD，交于D′，再在平面AB D′内作ME∥B D′，交AD′于E.则，
又
∴.
连结EN、AC、D′D，平行线AD′与CD确定的平面与、的交线分别是AC、D′D.
∵，∴AC∥D′D
又
∴EN∥AC∥D′D
∵，
∴EN∥，又MN∥.
∴平面MEN∥
∴MN∥.
师投影例2并读题，学生写出已知求证并作图（师投影）师生共同讨论，边分析边板书.
师：要证两线段相等，已知给的条件又是平行关系，那么证两线段所在四边形是平行四边形，进而说明两线段相等是解决问题常选用的一条途径.
师投影例3并读题
分析：满足怎样的条件的直线与平面平行（线线平行或面面平），我们能在平面内找到一条直线与MN平行吗？能找一个过MN且与平行的平面吗？这样的直线和平面有何特征！
证明二：利用过MN的平面AMN在平面找与MN平行的直线（如图）
连AN设交于E，连结DE，AC为相交直线AE、DC确定的平面与、的交线.
∵
∴AC∥DE
∴
又
∴
∴在△ABC中MN∥BE
又，
∴MN∥
证明三：利用过MN的平面CMN在平面中找出MN平行的直线.
巩固所学知识，培养学生书写表达能力和分析问题解决问题的能力.
构建知识体系，培养学生思维的灵活性.
随堂练习
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”号，错误的画“×”号.
（1）如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面. （ ）
（2）如果直线a和平面满足a∥，那么a与内的任何直线平行. （ ）
（3）如果直线a，b和平面满足a∥，b∥，那么a∥b.
（ ）
（4）如果直线a，b和平面满足a∥b，a∥，，那么b∥. （ ）
2．如图，正方体ABCD – A′B′C′D′中，AE = A1E1，AF =A1F1，求证EF∥E1F1，且EF = E1F1.
学生独立完成
参考答案：
（1）×（2）×
（3）×（4）√
提示:连结E E1， FF1，证明四边形EFF1E1为平行四边形即可.
巩固所学知识
归纳总结
1．平面和平面平行的性质
2．线线平行线面平行面面平行
学生先归纳，教师给予补充完善
回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识能力.
课后作业
2.2 第三课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备选例题
例1 如图，设平面a∥平面，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D．求证：MN∥ .
【证明】连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，
则MN∥AC，∴ME∥平面，
又NE∥BD，∴NE∥，
又ME∩NE = E，∴平面MEN∥平面，
∵MN平面MEN．∴MN∥．
【评析】要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．
例2 ABCD是矩形，四个顶点在平面内的射影分别为A′、B′、C′、D′，直线A′B′与C′D′不重合，求证：A′B′C′D′是平行四边形．
【证明】如图．
∵A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D在平面内的射影．
∴BB′⊥，CC′⊥，
∴BB′∥CC′．
∵CC′ 平面CC′D′D，BB′ 平面CC′D′D，
∴BB′∥平面CC′D′D.
又∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD 平面CC′D′D，
∴AB∥平面CC′D′D
∵AB，BB′是平面ABB′A′ 内的两条相交直线，
∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D．
又∩平面ABB′A′=A′B′，∩平面CC′D′D = C′D′，∴A′B′∥C′D′．
同理，B′C′∥A′D′，∴A′B′C′D′是平行四边形．
【评析】在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平等问题的证明，紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明．
课后提升作业 十二
平面与平面平行的性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.(2018·衡水高二检测)在空间中，下列命题错误的是 ( )
A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
B.一个平面与两个平行平面相交，交线平行
C.平行于同一平面的两个平面平行
D.平行于同一直线的两个平面平行
【解析】选D.与两相交平面交线平行的直线，可平行两平面，即平行于同一直线的两个平面可相交，因此D错误.C为定理，正确；A，B显然成立.
2.如图所示，在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是 ( )
A.平面 B.直线
C.线段，但只含1个端点 D.圆
【解析】选C.因为平面BDM∥平面A1C，平面BDM∩平面A1B1C1=DM，平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1，
所以DM∥A1C1，过D作DE1∥A1C1交B1C1于点E1，则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点).
3.α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列说法，不正确的是 ( )
①?a∥b； ②?a∥b；
③?α∥β； ④?α∥β；
⑤?α∥a； ⑥?a∥α；
A.④⑥ B.②③⑥
C.②③⑤⑥ D.②③
【解析】选C.由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内.
4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′=2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于
( )
A.2∶25 B.4∶25 C.2∶5 D.4∶5
【解析】选B.平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，所以AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC===.
5.设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C( )
A.不共面
B.不论点A，B如何移动，都共面
C.当且仅当点A，B分别在两条直线上移动时才共面
D.当且仅当点A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
【解析】选B.由平面与平面平行的性质，不论A，B如何移动，动点C均在过C且与平面α，β都平行的平面上.
6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B=A1F，则AF的长为 ( )
.Com]
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【解析】选A.因为平面α∥平面BC1E，
平面α∩平面AA1B1B=A1F，
平面BC1E∩平面AA1B1B=BE，
所以A1F∥BE.又A1E∥BF，
所以A1EBF是平行四边形，
所以A1E=BF=2，所以AF=1.
7.如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为AA′，BB′的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则HG与AB的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
【解析】选A.因为E，F分别为AA′，BB′的中点，
所以EF∥AB，因为AB?平面ABCD，
EF?平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD.
又平面EFGH∩平面ABCD=HG，
所以EF∥HG，所以HG∥AB.
8.(2018·广州高一检测)如图，在三棱锥P-ABQ中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则AB与GH的关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.异面 D.平行或垂直
【解析】选A.因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，又因为EF?平面PCD，DC?平面PCD，所以EF∥平面PCD，又因为EF?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，所以EF∥GH，又因为EF∥AB，所以AB∥GH.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个说法：
(1)若m∥α，n∥α，则m∥n；(2)若m∥α，n∥α，m，n?β，则α∥β；
(3)若m∥n，n?α，则m∥α；(4)若α∥β，m?α，则m∥β.
其中正确说法的个数为________个.
【解析】说法(1)中，m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故(1)错；说法(2)中，由面面平行的判定定理，当m与n相交时，可得α∥β，故(2)错；说法(3)中，由线面平行的判定定理，当m在α外时，可得m∥α，故(3)错；说法(4)中，由面面平行的性质知，(4)正确，故正确说法只有一个.
答案：1
【补偿训练】已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列说法：
①若α∩γ=a，β∩γ=b，且a∥b，则α∥β；
②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；
③若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β；
④若a?α，a∥β，α∩β=b，则a∥b.
其中正确说法的序号是________.
【解析】①③中，α与β可能相交，②由平面与平面平行的判定定理知正确，④由线面平行的性质知正确.
答案：②④
10.(2018·邢台高二检测)一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________.
【解析】VB∥平面DEFP，平面DEFP∩平面VAB=PF，所以VB∥PF.同理，VB∥DE，EF∥AC，PD∥AC，所以PF∥DE，PD∥EF，所以四边形DEFP是平行四边形，且边长均为.易证正四面体对棱垂直，所以VB⊥AC，即PF⊥EF.因此四边形DEFP为正方形，所以其面积为×=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.(2018·余姚高二检测)如图，三棱锥P-ABC中，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP.
求证：CM∥平面BEF.
【证明】取AF的中点G，连接CG，GM，因为FA=2FP，所以GF=AF=FP，又因为E为PC中点，所以EF∥CG，因为CG?平面BEF，EF?平面BEF，所以CG∥平面BEF，同理可证：GM∥平面BEF，又因为CG∩GM=G，所以平面CMG∥平面BEF，
因为CM?平面CGM，所以CM∥平面BEF.
【补偿训练】如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PD上的点，且=，求证：直线MN∥平面PBC.
【证明】过N作NR∥DC交PC于点R，连接RB，
依题意得====?NR=MB.
因为NR∥DC∥AB，所以四边形MNRB是平行四边形.所以MN∥RB.又因为RB?平面PBC，所以直线MN∥平面PBC.
12.(2018·淮安高二检测)如图所示，已知ABCD为梯形，AB∥CD，CD=2AB，M为线段PC上一点.
(1)设平面PAB∩平面PDC=l，证明：AB∥l；
(2)在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MBD，若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)因为AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，
所以AB∥平面PCD，又因为平面PAB∩平面PDC=l，且AB?平面PAB，
所以AB∥l.
(2)存在点M，使得PA∥平面MBD，此时=.证明如下：
连接AC交BD于点O，连接MO.
因为AB∥CD，且CD=2AB，所以==，
又因为=，PC∩AC=C，
所以PA∥MO，因为PA?平面MBD，MO?平面MBD，
所以PA∥平面MBD.
【能力挑战题】如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1.
(2)求PQ的长.
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
【解析】(1)如图所示.连接AC，CD1，
因为P，Q分别是AD1，AC的中点，所以PQ∥CD1.又PQ?平面DCC1D1..Com]
CD1?平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)由(1)知PQ=D1C=a.
(3)取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，
则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF?平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.
课件34张PPT。过这条直线a?βα∩β＝bα∩γ＝aβ∩γ＝b相交平行答案： A答案： B答案： 15教案·课堂探究
谢谢观看！课件23张PPT。第二章 § 2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.4 平面与平面平行的性质1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题；
2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点 平面与平面平行的性质观察长方体ABCD--A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.答案思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？
答案 是的.
思考2 若m?平面ABCD，n?平面A1B1C1D1，则m∥n吗？
答案 不一定，也可能异面.思考3 过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1，B1C1
与BC是什么关系？
答案 平行.答案平行a∥b返回类型一 平面与平面平行的性质定理的应用例1 平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS.解析答案题型探究 重点难点 个个击破反思与感悟解 有两种情况：S位于α、β之间，和S位于α、β的同侧.
(1)当S位于α、β之间时，如图，
连接AC，BD，AB∩CD＝S.
设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.
因为α∥β，所以AC与BD无公共点，所以AC∥BD，解析答案当S位于α，β之间时，如上解答.反思与感悟(2)当S位于α，β同侧时，如图，AB∩CD＝S，设AB，CD共面γ，
因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD.
所以△SAC∽△SBD，所以SC＝272.
综上所述，SC＝16或272.反思与感悟反思与感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练1 如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________.解析答案解析 AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线AB，A′B′，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，类型二 平行关系的相互转化例2 已知，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β，EF∥α.解析答案反思与感悟证明 ①当AB，CD在同一平面内时，如图，
由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
∴AC∥BD，
∵AE∶EB＝CF∶FD，
∴EF∥BD，
又EF?β，BD?β，∴EF∥β.解析答案反思与感悟②当AB与CD异面时，如图，
设平面ACD∩β＝l，在l上取一点H，使DH＝AC.
∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，
∴四边形ACDH是平行四边形.
在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，
又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，∴平面EFG∥平面β.
∵EF?平面EFG，∴EF∥β.
综上①②知，EF∥β.
∵α∥β，EF∥β且EF?α，∴EF∥α.反思与感悟反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如下图所示：解题时，往往通过构造辅助平面将面面平行、线面平行转化为线线平行.跟踪训练2 如图，在四棱柱ABCD--A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.解析答案返回证明 因为F为AB的中点，所以AB＝2AF，
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，
因为AB∥CD，所以CD∥AF，
所以四边形AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，
又FC?平面ADD1A1，AD?平面ADD1A1，
所以FC∥平面ADD1A1，
因为CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，
又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.返回123达标检测 4解析答案1.已知平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，下面四种情形：
①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；④a与b相交.其中可能出现的情形有( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
解析 因为平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，
所以直线a与直线b无公共点.
当直线a与直线b共面时，a∥b；
当直线a与直线b异面时，
a与b所成的角大小可以是90°.
综上知，①②③都有可能出现，共有3种情形.C1234解析答案2.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为___________.
解析 由面面平行的性质定理可得.平行四边形12343.过正方体ABCD—A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________.
解析 因平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面ABCD∩平面A1C1B＝l，
平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，
所以l∥A1C1(面面平行的性质定理).平行解析答案1234解析答案4.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.1234证明 过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴FG∥B1C1∥BC，
又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面EFG∥平面ABCD，
又∵EF?平面EFG，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.规律与方法1.常用的面面平行的其他几个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.2.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图返回2.2.4 平面与平面平行的性质
一、基础过关
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
2．已知a、b表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是 ( )
A．α∩β＝a，b?α?a∥b
B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
3. 如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于 ( )
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
4．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )
①?a∥b; ②?a∥b；
③?α∥β； ④?α∥β；
⑤?α∥a; ⑥?a∥α.
A．④⑥ B．②③⑥ C．②③⑤⑥ D．②③
5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”)
(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；
(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．
6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，＝，则AC＝______.
7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求证：N为AC的中点．
8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．
二、能力提升
9．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C ( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A．16 B．24或 C．14 D．20
11．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．
12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.
求△A′B′C′的面积．
三、探究与拓展
13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
答案
1．A 2．D 3．B 4．C
5．(1)相似 (2)全等
6．15
7．证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，
∴N为AC的中点．
8. 解 当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，
证明如下：
取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE，①
由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE，②
由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF?平面BFM，
∴BF∥平面AEC.
9．D 10．B
11．2
12．解 相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB、A′B′，
由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.
同理相交直线BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、B′C′，从而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′.
∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反．
∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.
∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，
∴△ABC∽△A′B′C′，∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，
∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.
∴＝＝.而S△ABC＝AB·AC＝×2×1＝1.
∴＝()2，
∴S△A′B′C′＝S△ABC＝×1＝.
13．解 能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，PC1∥MC，PC1＝MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
连接MN，作A1H⊥MN于点H，
∵A1M＝A1N＝，
MN＝BC1＝2，
∴A1H＝.
∴S△A1MN＝×2×＝.
故S?A1MCN＝2S△A1MN＝2.
