【尖子班】第9讲 正多边形和圆与圆中的计算 复习学案（无答案）


 脑筋急转弯…

中考内容
中考要求
A
B
C
圆的有关概念
理解圆及其有关概念
会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题
圆的性质
知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系
能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题
能运用圆的性质解决有关问题
圆周角
了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角
会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题
能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题
垂径定理
会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论
能用垂径定理解决有关问题
点与圆的位置关系
了解点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念
能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题
能解决与切线有关的问题
圆与圆的位置关系
了解圆与圆的位置关系
能利用圆与圆的位置关系解决简单问题
弧长
会计算弧长
能利用弧长解决有关问题
扇形
会计算扇形面积
能利用扇形面积解决有关问题
圆锥的侧面积和全面积
会求圆锥的侧面积和全面积
能解决与圆锥有关的简单实际问题

圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份
2010年
2011年
2012年
题号
11，20
20，25
8，20，25
分值
9分
13分
17分
考点
垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合
圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系
圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系



定 义
示例剖析
正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．

正多边形的相关概念：
⑴ 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
⑵ 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
⑶ 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
⑷ 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
正多边形的性质：
⑴正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形；
⑵正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴；
⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心.

正偶数边正多边形有两类对称轴；正奇数边正多边形只有一类对称轴．

⑴ 小亮从点出发前进，向右转，再前进，
又向右转……这样一直走下去，他第一次回到出发
点时，一共走了_________．
⑵ 如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中
阴影部分的面积为（　　）
A. B.
C. D.
⑶ 正八边形的一个内角等于_________，它的中心角等于___________．
⑷ 若正外接圆的半径为，则的面积为_____________．
⑸ 半径为的圆内接正方形的对角线长为__________，面积为____________．
⑹ 正六边形的边长为，半径为，边心距的比__________________．

如图，有一个圆和两个正六边形．的个顶点都在圆周上，的条边都和圆相切（我们称分别为圆的内接正六边形和外切正六边形）．
⑴ 设的边长分别为，圆的半径为，求及的值；
⑵ 求正六边形的面积比的值．


定 义
示例剖析
设的半径为，圆心角所对弧长为，
1. 弧长公式：
2. 扇形面积公式：
3. 圆柱体表面积公式：
4. 圆锥体表面积公式：（为母线）

常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：
①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法

⑴ 一圆弧的圆心角为，它所对的弧长等于半径为的圆周长，该圆弧所在圆
的半径为________．
⑵ 半径为的圆中，长为的一条弧所对的圆心角的度数为_________．
⑶从纸上剪下一个圆和一个扇形的纸片（如图），圆的半径为2，扇形的圆心角等于.若用它们恰好围成一个圆锥模型，则此扇形的半径为 ．
⑷ 图中有五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，
以相同的速度从点到点，甲虫沿、、、的路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（ ）
A. 甲先到点 B. 乙先到点
C. 甲、乙同时到点 D. 无法确定
⑴ 一个扇形的弧长为，面积为，则该扇形的圆心角为_________度．
⑵ 如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（ ）
A．2周 B．3周 C．4周 D．5周
⑶ 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°.把△ABC绕
点A按顺时针方向旋转60°后得到△，若AB=4，则线段BC
在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）
A. π B. π C. 2π D. 4π
⑴ 现有圆周的一个扇形纸片，该扇形的
半径为，小红同学打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为______．
⑵ 用半径为9，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为 ．
⑶ 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（　　）
A. 4π B. 4π C. 8π D. 8π
⑷ 如图，已知圆锥的底面圆半径为1，母线长为3，为母线的中点，
在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点爬到点的最短路线长为___________．

⑴ 如图，半径为1cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、
OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )
⑵ 如图，分别与相切，切点分别为，，，
若为的直径，则图中阴影部分的面积为__________．
⑶ 如图，半圆的半径为，点三等分半圆，则阴影部分的面
积为_______________．
⑷ 如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分
别交于两点，点坐标为，与相交于点，，则图中阴影部分的面积为___________．
⑸ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分
别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为
（结果保留π）．

如图，已知在中，，是的直径，于，．
⑴ 求图中阴影部分的面积；
⑵ 若用阴影扇形围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
⑴如图，把向右平移个单位长度得，两圆相交于，且
，则图中阴影部分的面积是____________．
⑵ 如图，直径为6的半圆，绕点逆时针旋转，此
时点到了点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
.

已知圆内接正方形的面积为，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．
如图，等腰三角形的顶角．和底边相切于的中点，并与两腰相交于四点，其中点分别是两腰的中点．求证：五边形是正五边形．
⑴ 如图，是直角边长为的等腰直角三角形，直角边
是半圆的直径，半圆过点且与半圆相切，
则图中阴影部分的面积是______________．
⑵ 如图，四边形是菱形．，，
分别以的四条边为直径作半圆，则图中阴影部分的
面积为_____________．
请阅读下列材料：
问题：如图⑴，一圆柱的底面半径为，高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段．如下图⑵所示：
设路线的长度为，则．
路线2：高线+底面直径．如上图⑴所示：
设路线的长度为，则
∵
∴，∴
所以要选择路线较短．
⑴ 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：
路线1：___________________；
路线2：__________．
∵，∴ （填>或<）
所以应选择路线____________（填或）较短．
⑵ 请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为，高为时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的路线较短．


知识模块一 正多边形和圆 课后演练
完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
的内接多边形周长为 ，的外切多边形周长为，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ）
A． B． C． D．
知识模块二 圆中的计算 课后演练
一个扇形的半径为，圆心角为，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为__________．
如果矩形纸片的两条邻边分别为和，将其围成一个圆柱的侧面，求圆柱底面半径．
如图1，在中，为的直径，是弦，，．
⑴ 求的度数；
⑵ 在图1中，为直径延长线上的一点，当与相切时，求的长；
⑶ 如图2，一动点从点出发，在上按逆时针方向运动一周，当时，求动点所经过的弧长．