【尖子班】第6讲 锐角三角函数 复习学案（无答案）


 冒险记！！ 

中考内容
中考要求
A
B
C
锐角三角函数
了解锐角三角函数（，，）；知道，，角的三角函数值
由某个锐角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有，，角的三角函数式的值
能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题

解直角三角形的知识是近年各地中考的热点之一，考查内容以基础知识与基本技能为主。应用意识进一步增强，联系实际，综合运用知识、技能的要求也越来越高。北京中考题中的第13题是简单的三角函数计算，第20题是计算长度问题，一般可以转化为直角三角形运用三角函数得到解决。
本部分内容要求同学们能掌握三角函数的概念，会熟练运用特殊角的三角函数值；将实际问题转化为数学问题，建立数学模型；涉及解斜三角形的问题时，构造数学几何模型，即通过添加适当的辅助线将解一般三角形转化为解直角三角形。
年份
2010年
2011年
2012年
题号
13，25
13，20
13，20
分值
12分
11分
10分
考点
三角函数计算；运用三角函数解直角三角形
三角函数计算；运用三角函数解直角三角形
三角函数计算；运用三角函数解直角三角形



定 义
示例剖析
锐角三角函数定义：
在中，，、、所对三角形的边分别为、、．
正弦：；
余弦：；
正切：；
若，，
则
三角函数
角度
特殊角的三
角函数值：
锐角三角函数的性质：
1. 同角三角函数关系：
，
.
2. 互为余角三角函数关系：
⑴ 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：；
⑵ 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：；
1．，
.
2．
锐角三角函数值的变化规律：
当角度在范围内变化时，
正弦值随角度增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随角度增大（或减小）而减小（或增大）．
正切值随角度增大（或减小）而增大（或减小）；
比较角的正弦、余弦、正切值的大小，其规律是：
为锐角且，则，，．该规律反过来也成立．

⑴ 如图，在中，，三边分别为、、，则
等于（ ）
A． B． C． D．
⑵ 在中，，、、所对三角形的边分别为、、．
若，，则 ， ， ， ， ， ，
⑶ 在Rt △ ABC 中，∠C=900，若AB =2AC ，则sinA 的值是（ ）
A . B . C. D.
⑷ 计算：sin30°+cos30°?tan60°．

⑴在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，那么tanA的值是（ ）
A． B． C． D．

⑵如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将
△ABC绕着点A逆时针旋转得到，则的
值为（ ）
A. B. C. D. 1
⑶若，则锐角的角度是 .
⑷如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的
值为（ ）
A． B． C． D．
⑸如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量
者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，
∠C=40°，则AB等于（ ）米．
A．asin40° B．acos40° C．atan40° D．


1．解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形的边角关系
⑴ 三边之间的关系：．（勾股定理）
⑵ 锐角之间的关系：
⑶ 边角之间的关系：．
3. 解直角三角形的四种基本类型
已知条件
解法类型
一条边和一个锐角
斜边和锐角
，，
直角边和锐角
，，
两条边
两条直角边和
，由，求，
斜边和直角边
，由，求，
4．基本图形

⑴如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，
求AD的长和tanA的值．
⑵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，点D在BC边上，DC= AC = 6，求
tan ∠BAD的值．
⑶ 如图，在中，，于点．已知，
，① 求的长；② 求的长．


实际应用中的概念
⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．
⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵．
⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．


如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22o时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45o时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．求教学楼AB的高度.(参考数据：sin22o≈，cos22o≈，tan22o≈)


如图，某船向正东方向航行，在处望见小岛在北偏东方向，前进8海里到达点，测得小岛在北偏东方向．已知该岛5海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请通过计算说明理由．（参考数据：）

如图是黄金海岸的沙丘滑沙场景.已知滑沙斜坡AC的坡度是，在与滑沙坡底C距离20米的D处，测得坡顶A的仰角为26.6°，且点D、C、B在同一直线上，求滑坡的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．


小强在江的南岸选定建筑物，并在江北的处观察，此时，视线与江岸所成的夹角是，小强沿江岸向东走了米，到处，再观察，此时视线与江岸所成的夹角，根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程，（结果保留根号）；若不能，请说明理由．
判断对错
⑴ （ ）
⑵ （ ）
_____________________
⑴ 若锐角、满足，，则 ．
⑵ 已知：是锐角且满足，则
_____________________
比较和的大小．

_____________________

求下列各式的值．
⑴
⑵
⑶
⑷
⑴ 已知为锐角，，则____________；
⑵ 若锐角满足，则_____________；
已知：在中，为锐角，，，，求的长．
如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，．
⑴ 求的度数；
⑵ 求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：
）．


知识模块一 锐角三角函数定义与计算
⑴计算：
⑵ 计算：
知识模块二 解直角三角形
已知：如图，中，，，，
，求．
知识模块三 锐角三角函数的应用
如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到处时的线长为米，此时小明正好站在处，并测得，牵引底端离地面米，求此时风筝离地面的高度．（结果保留根号）
如图，甲船在港口的南偏西方向，距港口海里的处，沿方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口．乙船从港口出发，沿南偏东方向匀速驶离港口，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精确到个位，参考数据：，）


如图，是北京市环路的一段，，，都是南北方向的街道，这些街道与环路的交叉立交桥分别位于，，．经测某学校位于点的北偏东方向、点的北偏东方向上，，．
⑴ 求，之间的距离；
⑵ 求，之间的距离．