2. 3.1直线与平面垂直的判定
【教学目标】
?1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
?2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；
3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.
【教学重难点】
教学重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
教学难点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
【教学过程】
1. 从实际背景中感知直线与平面垂直的形象
?问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？
?问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．
?设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义．
2.提炼直线与平面垂直的定义
?问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？
?设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？
?问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．
?(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？
?(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?
?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么
设计意图：主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念．
?（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）
?思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
?（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（对问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若，则)
?设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念．通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法．
?通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法．
?3.探究直线与平面垂直的判定定理
?创设情境? 猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？
设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理．
?学生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）
????????????????
问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
? （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（组织学生动手操作、探究、确认）
?设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直．
?问题6：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？
对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内．问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）
?设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线．
问题7：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证
?，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？
?设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．
?根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法．
?（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）
?问题8：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?
（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么??
设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.
?思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？
如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？
?设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时通过提出 “为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解．
?4.直线与平面垂直判定定理的应用
?如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？
??
思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．?（分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面）
?设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．
练习：如图７，在三棱锥V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．
?
求证：AC⊥平面VKB
思考：
?(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；
?(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；
? (3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF， ∴VB⊥平面ABC”，对吗？
?设计意图：例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用．变式（1）在例2的基础上，应用了直线与平面垂直的意义；变式（2）是对例1判定方法的应用；变式（3）的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理．3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通．
5.总结反思，当堂检测
（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述．
（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？
? 检测设计
?1．课本探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．
?2．如图９，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形．
? ?
【板书设计】
一、直线与平面垂直的定义
二、直线与平面垂直的判定定理
三、例题
例1
变式1
【作业布置】课本练习2
?
2.3.1直线与平面垂直的判定导学案
课前预习学案
一、预习目标：
借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
二、预习内容：问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？
问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．
?问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？
问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．
(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？
(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?
(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么
直线与直线垂直是的定义________________________________________________________________
?思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？
(3) 如何判定一条直线直线和平面垂直呢？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
（1）探究出直线与平面垂直的判定定理
（2）利用定理解决实际问题
学习重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
学习难点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、学习过程
1、探究判定定理
学生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）
????????????????
问题1：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
?
问题2：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？
?
思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？
如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？
问题3：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证?，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？
直线与平面垂直的判定定理（文字，图形和符号三种形式）
问题4： （1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?
（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么??
2、直线与平面垂直判定定理的应用
?如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？
?
思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．
练习：如图７，在三棱锥V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．
?
求证：AC⊥平面VKB
思考：
?(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；
?(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；
? (3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF， ∴VB⊥平面ABC”，对吗？
3、当堂检测设计
?1．课本探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．
?2．如图９，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形．
? ?
3．课本练习2
课后练习与提高
1．下列关于直线与平面的命题中，真命题是 （ ）
若且，则 若且，则
若且，则 且，则
2．已知直线a、b和平面M、N，且，那么 （ ）
（A）∥Mb⊥a （B）b⊥ab∥M
（C）N⊥Ma∥N （D）
3．在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为 （ ）
线段 线段
的中点与的中点连成的线段 的中点与的中点连成的线段
4．三条不同的直线，、、为三个不同的平面
①若∥ ②若∥.
③若、 ④若∥
上面四个命题中真命题的个数是
5．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，
（1）求证：平面； （2）求证：
（3）若，求证：平面
参考答案1B2A34②④5略
第一课时 直线与平面垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.
2．过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法.
3．情态、态度与价值观
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.
（二）教学重点、难点
重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理；
（2）直线和平面所成的角.
难点：直线与平面垂直判定定理的探究.
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题：直线和平面平行的判定方法有几种？
师投影问题，学生回答.
生：可用定义可判断，也可依判定定理判断.
复习巩固
探索新知
一、直线和平面垂直的定义、画法
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表不平面的平行四边形的一边垂直，如图.
师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面，桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？
师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？
生：旗杆与地面内任意一条经B的直线垂直.
师：那么旗杆所在直线与平面内不经过B点的直线位置关系如何，依据是什么？（图）
生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.
师：你能尝试给线面垂直下定义吗？
……
师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明.
培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.
探索新知
二、直线和平面垂直的判定
1．试验 如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？
2．直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线？
师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）.
学生动手实验，然后回答问题.
生：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直.
师：此时AD垂直上的一条直线还是两条直线？
生：AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.
师：怎么证明？
生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD
……
师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.
典例剖析
例1 如图，已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
证明：在平面内作两条相交直线m、n.
因为直线a⊥，根据直线与平面垂直的定义知
a⊥m，a⊥n.
又因为b∥a，
所以b⊥m，b⊥n.
又因为，m、n是两条相交直线，
b⊥.
师：要证b⊥，需证b与内任意一条直线的垂直，又a∥b，问题转化为a与面内任意直线m垂直，这个结论显然成立.
学生依图及分析写出证明过程.
……
师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直.
巩固所知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.
探索新知
二、直线和平面所成的角
如图，一条直线PA和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.
教师借助多媒体直接讲授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的.
借助多媒体讲授，提高上课效率.
典例剖析
例2 如图，在正方体ABCD – A1B1C1D1中，求A 1B和平面A1B1CD所成的角.
分析：找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.
解：连结BC1交B1C于点O，连结A1O.
设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1， A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，
，，
所以，
∠BA1O = 30°
因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
师：此题A1是斜足，要求直线A1B与平面A1B1CD所成的角，关键在于过B点作出（找到，面A1B1CD的垂线，作出（找到）了面A1B1CD的垂线，直线A1B在平面A1B1CD内的射影就知道了，怎样过B作平面A1B1CD的垂线呢？
生：连结BC1即可.
师：能证明吗？
学生分析，教师板书，共同完成求解过程.
点拔关键点，突破难点，示范书写及解题步骤.
随堂练习
1．如图，在三棱锥V–ABC中，VA = VC，AB = BC，求证：VB⊥AC.
2．过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥，垂足为O，连接PA?，PB，PC.
（1）若PA= PB = PC，∠C =90°，则点O是AB边的 心.
（2）若PA = PB =PC，则点O是△ABC的 心.
（3）若P A⊥PB，PB⊥PC，PB⊥P A，则点O是△ABC的 . 心.
3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？
4．如图，直四棱柱A′B′C′D′ – ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A′C⊥B′D′？
学生独立完成
答案：
1．略
2．（1）AB边的中点；（2）点O是△ABC的外心；（3）点O是△ABC的垂心.
3．不一定平行.
4．AC⊥BD.
巩固所学知识
归纳总结
1．直线和平面垂直的定义判定
2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.
3．线线垂直线面垂直
学生归纳总结教师补充
巩固学习成果，使学生逐步养成爱总结，会总结的习惯和能力.
课后作业
2.7 第一课时 习案
学生独立完成
强化知识
提升能力
备选例题
例1 如图，在空间四边形ABCD中，AB = AD，CB = CD，M为BD中点，作AO⊥MC，交MC于O．求证：AO⊥平面BCD．
【解析】连结AM
∵AB = AD，CB = CD，M为BD中点．
∴BD⊥AM，BD⊥CM．
又AM∩CM = M，∴BD⊥平面ACM．
∵AO 平面ACM，∴BD⊥AO．
又MC⊥AO，BD∩MC = M，∴AO⊥平面貌BCD．
【评析】本题为了证明AO⊥平面BCD，先证明了平面BCD内的直线垂直于AO所在的平面．这一方法具有典型性，即为了证明线与面的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直．这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决．
例2 已知棱长为1的正方体ABCD – A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．
【解析】取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连AO．
由已知正方体，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO为所求．
在Rt △EOA中，
，
，
sin∠EAO = ．
所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为．
【评析】求直线和平面所成角的步骤：
（1）作——作出斜线和平面所成的角；
（2）证——证明所作或找到的角就是所求的角；
（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形）
（4）答．
课后提升作业 十三
直线与平面垂直的判定
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：
①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.
其中正确说法的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.①正确，因为n∥β，α∥β，
所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；
②错误，α∥β，m⊥α?m⊥β，
因为m⊥n，则可能n?β；
③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则可能n?β且m?β；
④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β.
2.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是
( )
A.平行
B.垂直相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
【解析】选C.因为ABCD为菱形，所以DB⊥AC，
又MC⊥平面ABCD，所以MC⊥BD.
又AC∩MC=C，所以BD⊥平面ACM.
又AM?平面AMC，所以BD⊥AM，又BD与AM不共面，所以MA与BD垂直但不相交.
【延伸探究】本题若将条件 “菱形ABCD”改为“平行四边形ABCD”，加上条件“MA⊥BD”，判断平行四边形ABCD的形状.
【解析】因为MC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以MC⊥BD，又BD⊥MA，
MA∩MC=M，
所以BD⊥平面MAC，又AC?平面MAC，
所以BD⊥AC，故平行四边形ABCD为菱形.
3.(2018·南昌高二检测)如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，
∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥底面ABC，垂足为点H，则点H在 ( )
A.直线AC上 B.直线AB上
C.直线BC上 D.△ABC内部
【解析】选B.作C1H⊥AB，因为∠BAC=90°，且BC1⊥AC，所以AC⊥平面ABC1，所以AC⊥C1H，因为AB∩AC=A，所以C1H⊥平面ABC，即点H在底面的垂足在AB边上.
4.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
【解析】选B.因为PB⊥α，AC?α，所以PB⊥AC，
又AC⊥PC，PB∩PC=P，
所以AC⊥平面PBC，又BC?平面PBC，
所以AC⊥BC.故△ABC为直角三角形.
5.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.如图，设AB=a，
则AA1=2a，三棱锥C-BDC1的高为h，CD与平面BDC1所成的角为α.
因为=，
即××a×ah
=×a2×2a，
解得h=a.
所以sinα==.
6.如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是 ( )
A.AC=BC
B.VC⊥VD
C.AB⊥VC
D.S△VCD·AB=S△ABC·VO
【解析】选B.因为VA=VB，AD=BD，
所以VD⊥AB.因为VO⊥平面ABC，
AB?平面ABC，所以VO⊥AB.
又VO∩VD=V，VO?平面VCD，VD?平面VCD，
所以AB⊥平面VCD，
又CD?平面VCD，VC?平面VCD，
所以AB⊥VC，AB⊥CD.
又AD=BD，所以AC=BC(线段垂直平分线的性质)，因为VO⊥平面ABC，
所以VV-ABC=S△ABC·VO.
因为AB⊥平面VCD，
所以VV-ABC=VB-VCD+VA-VCD
=S△VCD·BD+S△VCD·AD
=S△VCD·(BD+AD)
=S△VCD·AB，
所以S△ABC·VO=S△VCD·AB，
即S△VCD·AB=S△ABC·VO.综上知，A，C，D正确.
7.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是 ( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
D.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
【解析】选C.因为SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，所以连接BD，则BD⊥AC，又AC⊥SD，可得AC⊥SB，故A正确；因为AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；因为AB∥CD，所以∠SCD为AB与SC所成角，∠SAB为SA与DC所成角，显然∠SCD≠∠SAB，故C不正确.由AC⊥平面SBD，记AC与BD交于O，连接SO，则∠ASO为SA与平面SBD所成角，∠CSO为SC与平面SBD所成角，显然∠ASO=∠CSO.
8.(2018·温州高二检测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是 ( )
A.CC1与B1E是异面直线
B.AC⊥平面ABB1A1
C.AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D.A1C1∥平面AB1E
【解析】选C.A选项，ABC-A1B1C1是三棱柱，则CE∥B1C1，所以，CEB1C1是一个平面，CC1与B1E共面；B选项，因为AC与AB的夹角是60°，所以AC和平面ABB1A1不垂直；C选项，E是BC的中点，则AE⊥BC，又因为BB1⊥平面ABC，所以AE⊥BB1，又BC∩BB1=B，所以AE⊥平面BCC1B1，所以AE⊥B1C1；D选项，A1C1∥AC，AC和平面AB1E相交，所以A1C1与平面AB1E不平行.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
【解析】如图所示，连接B1C，由BC=CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1=90°等)
答案：∠A1C1B1=90°(答案不唯一)
10.(2018·青岛高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________.
【解析】连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，
因为A1C1⊥B1D1，
A1C1⊥BB1，
故A1C1⊥平面BB1D1D，所以A1B在平面BB1D1D内射影为OB，
所以∠A1BO即为A1B与平面BB1D1D所成角.
设正方体棱长为a，则A1B=a，
A1O=A1C1=a，
所以sin∠A1BO===，
所以∠A1BO=30°.
答案：30°
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.(2018·山东高考)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.
(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB.
(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.
【解析】(1)连接ED,因为AB=BC,AE=EC,D为AC中点,
所以AC⊥DE,AC⊥DB,DE∩DB=D,又EF∥DB,所以E,F,B,D四点共面,所以AC⊥平面EFBD,
所以AC⊥FB.
(2)取FC中点I,连接GI,HI,则有GI∥EF,HI∥BC,
又EF∥DB,所以GI∥BD,
又GI∩HI=I,BD∩BC=B,
所以,平面GHI∥平面ABC,
因为GH?平面GHI,
所以GH∥平面ABC.
12. (2014·湖北高考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点.求证：
(1)直线BC1∥平面EFPQ.
(2)直线AC1⊥平面PQMN.
【解题指南】(1)通过证明FP∥AD1，得到BC1∥FP，根据线面平行的判定定理即可得证.
(2)证明BD⊥平面ACC1，得出BD⊥AC1，进而得MN⊥AC1，同理可证PN⊥AC1，根据线面垂直的判定定理即可得出直线AC1⊥平面PQMN.
【证明】(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，
因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)连接AC，BD，则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1.
而AC1?平面ACC1，所以BD⊥AC1.
因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，
所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN=N，所以直线AC1⊥平面PQMN.
【能力挑战题】
如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.
(1)求证：CD⊥平面ABD.
(2)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积.
【解题指南】(1)利用线面垂直的判定定理证明.
(2)分别求出△ABM的面积和高CD，继而求出体积.
【解析】(1)因为AB⊥平面BCD，
CD?平面BCD，
所以AB⊥CD.
又因为CD⊥BD，AB∩BD=B，
AB?平面ABD，BD?平面ABD，
所以CD⊥平面ABD.
(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，
因为AB=BD=1，所以S△ABD=.
因为M是AD的中点，
所以S△ABM=S△ABD=.
由(1)知，CD⊥平面ABD，
所以三棱锥C-ABM的高h=CD=1，
因此三棱锥A-MBC的体积
VA-MBC=VC-ABM=S△ABM·h=.
课件44张PPT。新知自解所有垂直l⊥α垂线垂面垂足两条相交直线a∩b＝Aa?αb?α射影角0°∠PAO答案： A答案： C答案： (1)AB，BC，AC (2)BC课堂探究答案： B答案： (2)(3)
谢谢观看！课件30张PPT。第二章 § 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1.理解直线与平面垂直的定义；
2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用；
3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 直线与平面垂直的定义思考1 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案 不变，90°.答案答案任意一条l⊥α垂线垂足垂面知识点二 直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？
答案 不一定.
思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
答案 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直.答案答案两条相交直线a∩b知识点三 直线与平面所成的角答案相交垂直直线PA交点点A垂线垂足斜足直线AO答案∠PAO90°0°0°≤θ≤90°返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 直线和平面垂直的定义例1 下列命题中，正确的序号是________.
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.反思与感悟解析答案解析 当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；
当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，
④正确；
过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.
故填④⑤.
答案 ④⑤反思与感悟反思与感悟1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
2.由定义可得线面垂直?线线垂直，即若a⊥α，b?α，则a⊥b.跟踪训练1 下面叙述中：
①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；
②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；
③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；
④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析答案解析 ①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；
②由定义知正确；
③中直线与梯形的两腰所在直线垂直，则与梯形所在平面垂直，由定义知也与两底边所在直线垂直，所以正确；
④中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直，故不一定与两腰所在直线垂直，不正确.
故选B.
答案 B类型二 线面垂直的判定例2 在平面α内有直角∠BCD，AB⊥平面α，求证CD⊥平面ABC.
解 如图所示.解析答案?CD⊥平面ABC.反思与感悟反思与感悟1.使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决.
2.线面垂直的定义具有双重作用：判定和性质，证题时常用它作为性质使用，即“如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线”.跟踪训练2 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；证明 因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.解析答案(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明 因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，
所以BD⊥平面SAC.解析答案类型三 直线与平面所成的角例3 如图，在正方体ABCD--A1B1C1D1中，
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
解 ∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.解析答案(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
解 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角，解析答案反思与感悟∴∠A1BO＝30°.
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.反思与感悟求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.跟踪训练3 如图，在三棱锥ABC--A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.
(1)证明：A1D⊥平面A1BC.解 取BC的中点E，连接A1E，DE，AE，
由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，
因为AB＝AC，所以AE⊥BC，故AE⊥平面A1BC，
由D，E分别是B1C1，BC的中点，
得DE∥B1B且DE＝B1B，所以DE∥A1A，
所以四边形A1AED是平行四边形，故A1D∥AE，
又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.解析答案返回(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.解 作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.
因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.
因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.
所以BC⊥A1F，A1F⊥平面BB1C1C.
所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角.解析答案123达标检测 45解析答案1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交 D.不确定
解析 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，
又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.B12345解析答案2.直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.垂直
解析 若l∥m，l?α，m?α，
∴l∥α，
这与已知l⊥α矛盾.
所以直线l与m不可能平行.A123453.如图①，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体，使G1、G2、G3三点重合于点G，则下面结论成立的是( )
A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFG
C.GF⊥平面SEF D.GD⊥平面SEF解析 在图①中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，
因此在图②中，SG⊥GE，SG⊥GF，
又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.A解析答案12345解析答案4.如图，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.12345解 由题意知，A是M在平面ABC内的射影，
∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB内的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△BMC中，BM＝5，∠MBC＝60°，12345解析答案5.如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC.证明 ∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AC⊥BC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.
又∵PC⊥AE，BC∩PC＝C，
PC?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AE⊥平面PBC.规律与方法1.线线垂直和线面垂直的相互转化2.证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义.
(2)线面垂直的判定定理.
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.返回§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、基础过关
1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是 ( )
A．b⊥β B．b∥β
C．b?β D．b?β或b∥β
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是 ( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a?β D．a?β或a∥β
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是 ( )
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．
6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.
7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．
求证：CF⊥平面EAB.
8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD.
二、能力提升
9. 如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中 ( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.
三、探究与拓展
13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为，求直线AB和平面α所成的角．
答案
1．A 2.D 3．C 4．B
5．(1)45° (2)30° (3)90°
6．90°
7．证明 在平面B1BCC1中，
∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，
∴△BB1E≌△CBF，
∴∠B1BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，
又AB⊥平面B1BCC1，CF?平面B1BCC1，
∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B，
∴CF⊥平面EAB.
8．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA.
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，
∴GF綊CD，
∴GF綊AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF.
∵PA＝AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD.
∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.
9．A 10．B
11．∠A1C1B1＝90°
12．证明 连接AB1，CB1，设AB＝1.
∴AB1＝CB1＝，
∵AO＝CO，∴B1O⊥AC.
连接PB1.
∵OB＝OB2＋BB＝，
PB＝PD＋B1D＝，
OP2＝PD2＋DO2＝，
∴OB＋OP2＝PB.
∴B1O⊥PO，
又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC.
13．解 (1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝＝.
∴∠BAH＝30°.
(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成 的角．
∵△BCB1∽△ACA1，
∴＝＝2，
∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝，
∴B1C＝.
∴tan∠BCB1＝＝＝，
∴∠BCB1＝60°.
综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.
