2. 3.2平面与平面垂直的判定
【教学目标】
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
【教学重难点】
重点：平面与平面垂直的判定。
难点：找出二面角的平面角。
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们先利用具体的实物来进行观察,研探。
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
角
二面角
图形
A
边
顶点 O B
边
A
β
棱 l
B α
定义
从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形
从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成
射线 — 点（顶点）一 射线
半平面 一 线（棱）一 半平面
表示
∠AOB
二面角α-l-β或α-AB-β
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求OA⊥L ，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平
面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 图2.3-3
（三）实际应用,巩固深化
例1、（课本69页例3）设AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上的任意点，求证：面PAC ⊥面PBC.
变式： 课本的探究问题
例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC(平面PBD。
说明：这两题都涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BC⊥平面PAC和BD⊥平面PAC是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着“线线垂直线面垂直面面垂直”转化途径进行．
变式. 课本的练习
（四）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
（五）当堂检测
P81习题 2.3 A组 第4、6、7题, B组 第1题
【板书设计】
二面角的概念
两个平面垂直的定义
两个平面垂直的判定定理
三种形式描述
例1
例2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
2.3.2平面与平面垂直的判定
课前预习学案
一、预习目标：（1）明确角的定义及推广。
（2）初步知道什么是二面角。
二、预习内容
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
问题3、二面角的有关概念
角
二面角
图形
A
边
顶点 O B
边
A
β
棱 l
B α
定义
从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形
构成
射线 — 点（顶点）一 射线
表示
∠AOB
问题4、二面角如何度量？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
学习重点：平面与平面垂直的判定。
学习难点：找出二面角的平面角。
二、学习过程
（一）、二面角的平面角
1、 如何找出二面角的平面角？
2、二面角的平面角为 说明了什么？
（二）、平面与平面垂直的判定定理（文字，符号及图形表示）
（三）、定理的应用
例1（课本中的例3）
变式1、课本的探究问题
例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC(平面PBD。
变式2、课本的练习
当堂达标测试
P81习题 2.3 A组 第4、6、7题, B组 第1题
课后练习与提高
1．过平面外两点且垂直于平面的平面 （ ）
有且只有一个 不是一个便是两个 有且仅有两个 一个或无数个
2．若平面平面，直线，,，则 （ ）
且 与中至少有一个成立
3．对于直线和平面，的一个充分条件是 （ ）
，
4．设表示三条直线，表示三个平面，给出下列四个命题：
①若，则；②若是在内的射影，，则；
③若，则； ④若，则． 其中真命题是 （ ）
①② ②③ ①③ ③④
5．如图正方体中，分别是的中点，
求证：平面平面。
6．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，为的中点，且，
（1）求证：平面平面
（2）求点到平面的距离
参考答案
1、D2、D3、B4、A 5，6（略）
第二课时 平面与平面垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.
2．过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.
3．情态、态度与价值观
通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.
（二）教学重点、难点
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小.
（三）教学方法
实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
学生自由发言，教师小结，并投影两个平面所成角的实际例子：公路上的表面与水平面，打开的门与门椎所在平面等，怎样定义两个平面所成的角呢？
复习巩固，以旧导新
探索新知
一、二面角
1．二面角
（1）半平面
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.
（2）二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
（3）二面角的求法与画法
棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角. 有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P – AB – Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角或P – l – Q.
2．二面角的平面角
如图（1）在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.
（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]
（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.
教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）.
师生共同实验(折纸)思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？
生：过二面角棱上一点O在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.
师：改变O的位置，这个角的大小变不变.
生：由等角定理知不变.
通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.
通过实验，培养学生学习兴趣和探 索意识，加深对知识的理解与掌握.
探索新知
二、平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面与垂直，记作⊥.
2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
学生自学，教师点拔一下注意事项.
师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即，请同学给出面面垂直的判定定理.
培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察能力，归纳能力，语言表达能力.
典例分析
例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明：设⊙O所在平面为，由已知条件，
PA⊥，BC在内，
所以PA⊥BC.
因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，
所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.
又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线.
所以BC⊥平面PAC.
又因为BC在平面PBC内，
所以，平面PAC⊥平面PBC.
师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A – PC – B的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理正面面垂直的关键是在其中一个平面内找?(作)一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC符合解题要求，为什么？
学生分析，教师板书
巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.
随堂练习
1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G 3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S – EFG中必有（ A ）
A．SG⊥EFG所在平面
B．SD⊥EFG所在平面
C．GF⊥SEF所在平面
D．GD⊥SEF所在平面
2．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
答：面ABC⊥面BCD
面ABD⊥面BCD
面ACD⊥面ABC.
学生独立完成
巩固知识
提升能力
归纳总结
1．二面角的定义画法与记法.
2．二面角的平面角定义与范围.
3．面面垂直的判定方法.
4．转化思想.
学生总结、教师补充完善
回顾、反思、归纳知训提高自我整合知识的能力
课后作业
2.3 第二课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备选例题
例1 如图，平面角为锐角的二面角，A∈EF，，∠GAE = 45°若AG与所成角为30°，求二面角的平面角.
【分析】首先在图形中作出有关的量，AG与所成的角(过G到的垂线段GH，连AH，∠GAH = 30°)，二面角的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH建立联系，抓住GH⊥这一特殊条件，作HB⊥EF，连接GB，利用相关关系即可解决问题.
【解析】作GH⊥于H，作HB⊥EF于B，连结GB，
则CB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角.
又∠GAH是AG与所成的角，
设AG = a，则，.
所以∠GBH = 45°
反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.
例2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD．
【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需
要寻找已知条件“SC⊥平面ABCD ”与需证结论
“平面EDB⊥平面ABCD”之间的桥梁．
【证明】连结AC、BD，交点为F，连结EF，
∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC．
∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．
又EF平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD．
【评析】将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键．
例3 如图，四棱锥P – ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD．
证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
【分析】由△PAD ≌ △PCD，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可．
【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形．作AE⊥DP,垂足为E，连接EC，则△ADE ≌△CDE．
∴AE = CE，∠CED = 90°．故∠CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角．设AC与BD相交于点O．连接EO，则EO⊥AC．
∴，
在△AEC中，
=，
∴∠AEC ＞ 90°．
所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．
课后提升作业 二十
直线的两点式方程
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.已知△ABC三顶点坐标A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的截距式方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+ =1 D.+=1
【解析】选A.由题意知M(2，4)，N(3，2)，故直线MN为=，即+=1.
2.过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为 ( )
A.x=2 B.y=2
C.x=3 D.x=6
【解析】选B.由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y=2，故选B.
3.(2018·衡阳高一检测)过两点(-1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为
( )
A.- B.- C. D.2
【解析】选A.直线方程为=，
化为截距式为+=1，则在x轴上的截距为-.
4.(2018·长沙高一检测)直线-=1在y轴上的截距为-3，则q= ( )
A.3 B.-3 C.- D.
【解析】选A.直线-=1化为截距式方程为+=1，由题意知-q=-3，所以q=3.
5.直线l过点A(-4，-6)，B(2，6)两点，点C(1006，b)在直线l上，则b的值为 ( )
A.2012 B.2013 C.2014 D.2018
【解析】选C.因为直线l过A(-4，-6)，B(2，6)两点，
所以直线l的方程为=，即y=2x+2.
又点C(1006，b)在直线l上，
所以b=2×1006+2=2014.
【一题多解】选C.由题意三点A(-4，-6)，B(2，6)，C(1006，b)三点共线，故kAB=kBC即=，故b=2014.
6.两直线-=1与-=1的图象可能是图中的哪一个 ( )
【解题指南】将两直线方程化为斜截式，根据斜率之间的关系判断.
【解析】选B.由-=1，得y=x-n；
由-=1，得y=x-m，
即两直线的斜率同号且互为倒数.
7.过点P(1，4)且在x轴，y轴上的截距的绝对值相等的直线共有 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
【解析】选C.当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，当直线不经过原点时，设直线方程为+=1.
由题意得
解得或
综上，符合题意的直线共有3条.
8.(2018·深圳高一检测)直线+=1在y轴上的截距是 ( )
A.|b| B.-b2 C.b2 D.±b
【解析】选C.由直线的截距式方程特点知该直线在y轴上的截距为b2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.过点(0，1)和(-2，4)的直线的两点式方程是____________.
【解析】由直线的两点式方程得=，或=.
答案：=
10.过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________.
【解析】设点A(m，0)，B(0，n)，由点P(1，3)是AB的中点可得m=2，n=6，
即A，B的坐标分别为(2，0)，(0，6).
则l的方程为+=1.
答案：+=1
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.(2018·郑州高一检测)已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(-1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上.
(1)求点C的坐标.
(2)求直线MN的方程.
【解析】(1)设点C(m，n)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，
由中点坐标公式得
解得
所以点C的坐标为(1，-3).
(2)由(1)知：点M，N的坐标分别为M，N，
由直线方程的截距式，得直线MN的方程是+=1，即y=x-.
12.已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6，-2)，求直线l的方程.
【解析】方法一：设直线l的点斜式方程为y+2=k(x-6)(k≠0).
令x=0，得y=-6k-2；令y=0，
得x=+6.
于是-(-6k-2)=1，
解得k1=-或k2=-.
故直线l的方程为y+2=-(x-6)或y+2=-(x-6)，即y=-x+2或y=-x+1.
方法二：设直线l的斜截式方程为y=kx+b.
令y=0，得x=-.
依题意，得?
或
故直线l的方程为y=-x+1或y=-x+2.
【能力挑战题】
为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m，应如何设计才能使草坪面积最大？
【解题指南】求出点E，F的坐标，利用直线方程的两点式，写出直线EF的方程，在线段EF上取点P(m，n)，利用点P的坐标表示出草坪的面积，从而得出答案.
【解析】如图建立坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，
所以线段EF所在的直线方程为+=1(0≤x≤30)，
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，做PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S=|PQ|·|PR|=(100-m)·(80-n)，又因为+=1(0≤x≤30)，所以n=20，所以S=(100-m)=-(m-5)2+(0≤m≤30)，
于是当m=5，即=时，草坪面积最大.
课件36张PPT。新知自解两个半平面这条直线这两个半平面二面角α－l－β二面角P－AB－Q二面角P－l－Q垂直射线∠AOBOA⊥lOB⊥l直二面角α⊥βa?α垂线答案： C答案： B答案： 45°课堂探究 答案： A
谢谢观看！课件29张PPT。第二章 § 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；
2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；
3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 二面角思考1 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门
所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上，用
哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？
答案 二面角.
思考2 平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
答案 二面角的平面角.答案1.定义：从一条直线出发的___________所组成的图形.
2.相关概念：
①这条直线叫二面角的___，②两个半平面叫二面角的___.
3.画法：答案 两个半平面棱面4.记法：二面角_________或___________或________，或P－AB－Q.
5.二面角的平面角：
若有①O___l；②OA___α，OB___β；③OA___l，OB___l，则二面角α－l－β的平面角是________.答案 α－l－βα－AB－βP－l－Q∈??⊥⊥∠AOB知识点二 平面与平面垂直思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？
答案 都是垂直.
1.平面与平面垂直
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.
(2)画法：记作：_______.答案直二面角α⊥β2.判定定理答案返回垂线l?β题型探究 重点难点 个个击破类型一 定义法判定两平面垂直例1 如图，在四面体ABCD中，
求证：平面ABD⊥平面BCD.反思与感悟解析答案解 因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.反思与感悟由于AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，所以AE⊥面BCD.
又AE?面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.1.利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方法是：
(1)找出两相交平面的平面角；
(2)证明这个平面角是直角；
(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直.
2.此类问题在证明平面角是直角时常用勾股定理的逆定理，解答时要特别注意.跟踪训练1 如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.
求证：平面ABC⊥平面BSC.解析答案证明 取BC中点D，连接SD、AD，
由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA.
∴AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角.∴SD2＋AD2＝SA2.
∴∠ADS＝90°，∴平面ABC⊥平面BSC.类型二 面面垂直的判定定理判定两平面垂直例2 如图，在四棱锥P--ABCD中，若PA⊥平面ABCD且ABCD是菱形.
求证：平面PAC⊥平面PBD.证明 ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA.
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
又∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.解析答案反思与感悟利用面面垂直的判定定理证明两平面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.跟踪训练2 如图，三棱柱ABC--A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，
证明：平面BDC1⊥平面BDC.证明 由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.
又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.解析答案类型三 求二面角的大小例3 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点.
(1)求点C到平面A1ABB1的距离；解析答案解 由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，
又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值.解析答案反思与感悟反思与感悟解 如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1.
又由(1)知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，
所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角.
因CD⊥面A1ABB1，AB1?面A1ABB1，所以AB1⊥CD，
又已知AB1⊥A1C，A1C∩CD＝C，
所以AB1⊥面A1CD，故AB1⊥A1D，
从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，
所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.求二面角的大小应注意做题的顺序，一般情况下，是先作出二面角的平面角，然后证明它是二面角的平面角，接着是求出这个角的值，最后说明二面角为多少度.这个过程可以简记为：作(找)、证、求、答.跟踪训练3 如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC.
(1)证明：BD⊥平面SAC；证明 ∵SB＝BC，且E为SC的中点，
∴BE⊥SC，
又∵DE⊥SC，∴SC⊥平面BDE，
∴BD⊥SC，
∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BD，
∴BD⊥平面SAC.解析答案返回(2)求二面角E－BD－C的大小.解 由(1)BD⊥平面SAC可得BD⊥DE且BD⊥AC，
∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角，
设SA＝a，则AB＝a，解析答案∴SC＝2a，∴∠ASC＝60°，
又∵∠EDC＝∠ASC，∴∠EDC＝60°，
∴二面角E－BD－C的大小为60°.123达标检测 4解析答案1.直线l⊥平面α，l?平面β，则α与β的位置关系是( )
A.平行 B.可能重合
C.相交且垂直 D.相交不垂直
解析 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.C1234解析答案2.下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中正确的是( )
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
解析 ①不符合二面角定义，
③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角.故选B.B12343.如图，已知Rt△ABC，斜边BC?α，点A?α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，则二面角A－BC－O的大小为________.解析答案解析 如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.
∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC.
又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.
而AD?平面AOD，∴AD⊥BC.
∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角.
由AO⊥α，OB?α，OC?α，知AO⊥OB，AO⊥OC.
又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，
∴设AO＝a，则AC＝ a，AB＝2a.解析答案1234∴∠ADO＝60°.
即二面角A－BC－O的大小是60°.12341234解析答案4.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点.求证：面EFC⊥面BCD.证明 ∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.
∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC.
∵BD?面BCD，∴面EFC⊥面BCD.1.求二面角的步骤
简称为“一作二证三求”.2.作二面角的三种常用方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角.
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.返回3.证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义；
(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、基础过关
1．过两点与一个已知平面垂直的平面 ( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．一个或无数个 D．可能不存在
2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是 ( )
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面经过另一个平面的一条垂线
C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是 ( )
①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是 ( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
6．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.
8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
二、能力提升
9．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
10．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是 ( )
A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE
C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC
11．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
三、探究与拓展
13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝，AC＝2，AB＝，BC＝.
(1)求证：PD⊥平面ABC；
(2)求二面角P—AB—C的正切值．
答案
1．C 2.D 3.B 4.B
5．45° 6．5
7．证明 因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.
又BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，
所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.
又GF?平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PDC.
8．(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，
△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，则∠PBA＝60°.
故二面角A—BE—P的大小是60°.
9．B 10．C
11．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.
因为EF?平面ABC，BC?平面ABC.
所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.
又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
13．(1)证明 连接BD，
∵D是AC的中点，PA＝PC＝，
∴PD⊥AC.
∵AC＝2，AB＝，BC＝，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.
∴BD＝AC＝＝AD.
∵PD2＝PA2－AD2＝3，PB＝，
∴PD2＋BD2＝PB2.∴PD⊥BD.
∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.
(2)解 取AB的中点E，连接DE、PE，由E为AB的中点知DE∥BC，
∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.
∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.
又AB⊥DE，DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB.
∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角．
在△PED中，DE＝BC＝，PD＝，∠PDE＝90°，
∴tan∠PED＝＝.
∴二面角P—AB—C的正切值为.
