第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
一、基础过关
1．下列命题：
①书桌面是平面；
②有一个平面的长是50 m，宽是20 m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2．下列图形中，不一定是平面图形的是 ( )
A．三角形 B．菱形
C．梯形 D．四边相等的四边形
3．空间中，可以确定一个平面的条件是 ( )
A．两条直线 B．一点和一条直线
C．一个三角形 D．三个点
4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有 ( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．
6．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．
7．如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
8．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点．
二、能力提升
9．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是 ( )
A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定
10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是 ( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合
11．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
12. 如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
三、探究与拓展
13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．
求证：(1)C1、O、M三点共线；
(2)E、C、D1、F四点共面．
答案
1．A 2.D 3.C 4.D
5．0
6．A∈m
7. 解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，
即点S在交线上，
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的
交线．
8．证明 ∵l1?β，l2?β，l1D∥l2，
∴l1、l2交于一点，记交点为P.
∵P∈l1?α，P∈l2?γ，∴P∈α∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3交于一点．
9．C 10.C
11．③
12．证明 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
13．证明 (1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴E、C、D1、F四点共面．
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、基础过关
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 ( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有 ( )
A．∠BAC＝∠B′A′C′
B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
D．∠BAC＞∠B′A′C′
3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
4．“a、b为异面直线”是指：
①a∩b＝?，且aD∥b；②a?面α，b?面β，且a∩b＝?；③a?面α，b?面β，且α∩β＝?；④a?面α，b?面α；⑤不存在面α，使a?面α，b?面α成立．
上述结论中，正确的是 ( )
A．①④⑤ B．①③④
C．②④ D．①⑤
5．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．
6．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
7．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，
BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
8．如图，正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
二、能力提升
9.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是
( )
A．MN≥(AC＋BD) B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD) D．MN<(AC＋BD)
10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )
A．12对 B．24对 C．36对 D．48对
11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上结论中正确的序号为________．
12．已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
三、探究与拓展
13．已知三棱锥A—BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．
答案
1．D 2．C 3．B
4．D 5.平行或异面
6．(1)60° (2)45°
7．(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊AD.又BC綊AD，
∴GH綊BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解 由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
8．解 (1)如图，∵CG∥BF，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH，BD，FO，∵HD綊EA，EA綊FB，
∴HD綊FB，
∴四边形HFBD为平行四边形，
∴HF∥BD，
∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，
∴△AFH为等边三角形，
又依题意知O为AH中点，∴∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.
9．D 10．B
11．①③
12．(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)解 取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
13．解 如图，取AC的中点P.
连接PM、PN，
则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD，
所以∠MPN为直线AB与CD所成的角(或所成角的补角)．
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，
若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，
所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)．
又因AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，
所以∠PMN＝60°，
即AB与MN所成的角为60°.
若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，
即AB与MN所成的角为30°.
故直线AB和MN所成的角为60°或30°.
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
一、基础过关
1．已知直线a∥平面α，直线b?α，则a与b的位置关系是 ( )
A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面
2．直线l与平面α不平行，则 ( )
A．l与α相交 B．l?α
C．l与α相交或l?α D．以上结论都不对
3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 ( )
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交
4．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是 ( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．AB?α
5．直线a?平面α，直线b? 平面α，则a，b的位置关系是________．
6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．
7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．
8. 如图，直线a∥平面α，a?β，α∩β＝b，求证：a∥b.
二、能力提升
9．下列命题正确的是 ( )
A．若直线a在平面α外，则直线a∥α
B．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交
C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥β
D．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β
10．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线( )
A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直
11．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为________．
12. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．
三、探究与拓展
13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．
答案
1．D 2．C 3．D 4．C
5.平行、相交或异面
6．b?α，b∥α或b与α相交
7．解 不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.
8．证明 ∵直线a∥平面α，
∴直线a与平面α无公共点．
∵α∩β＝b，∴b?α，b?β.
∴直线a与b无公共点．
∵a?β，∴a∥b.
9．D 10.D 11.平行或相交
12．解 由α∩γ＝a知a?α且a?γ，
由β∩γ＝b知b?β且b?γ，
∵α∥β，a?α，b?β，∴a、b无公共点．
又∵a?γ且b?γ，∴a∥b.
∵α∥β，∴α与β无公共点，
又a?α，∴a与β无公共点，∴a∥β.
13．解 由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，
如图(1)所示；
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；
图(1) 图(2)
当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．
图(3)
§2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
一、基础过关
1．直线m∥平面α，直线n∥m，则 ( )
A．n∥α B．n与α相交
C．n?α D．n∥α或n?α
2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不相交
3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是 ( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b?α D．b∥α或b与α相交
4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是 ( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α
5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：
(1)与直线AB平行的平面是______；
(2)与直线AA1平行的平面是______；
(3)与直线AD平行的平面是______．
6．已知不重合的直线a，b和平面α.
①若a∥α，b?α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b?α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b?α，其中正确命题的个数是________．
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1∥平面AEC.
8. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF.
二、能力提升
9．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝EF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交
C．在内 D．不能确定
10．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面 ( )
A．不存在 B．只能作出一个
C．能作出无数个 D．以上都有可能
11．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．
12． 如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.
三、探究与拓展
13. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)
答案
1．D 2.B 3.D 4.D
5．(1)平面A1C1和平面DC1 (2)平面BC1和平面DC1 (3)平面B1C和平面A1C1
6．1
7．证明 如图，连接BD交AC于F，连接EF.
因为F为正方形ABCD对角线的交点，所以F为AC、BD的中点．
在三角形DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B.
又EF?平面AEC，BD1?平面AEC，所以BD1∥平面AEC.
8．证明 连接OF，
∵O为正方形DBCE对角线的交点，∴BO＝OE，
又AF＝FE，
∴AB∥OF，
?AB∥平面DCF.
9．A 10．D 11．12
12．证明 取A′D的中点G，连接GF，GE，
由条件易知FG∥CD，FG＝CD，BE∥CD，BE＝CD，
所以FG∥BE，FG＝BE，故四边形BEGF为平行四边形，
所以BF∥EG.因为EG?平面A′DE，
BF?平面A′DE，
所以BF∥平面A′DE.
13．证明 如图所示，连接AQ并延长交BC于K，连接EK.
∵KB∥AD，∴＝.
∵AP＝DQ，AE＝BD，
∴BQ＝PE.
∴＝.∴＝.∴PQ∥EK.
又PQ?平面BCE，EK?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
2.2.2 平面与平面平行的判定
一、基础过关
1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是 ( )
A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定
2．平面α与平面β平行的条件可以是 ( )
A．α内的一条直线与β平行
B．α内的两条直线与β平行
C．α内的无数条直线与β平行
D．α内的两条相交直线分别与β平行
3．给出下列结论，正确的有 ( )
①平行于同一条直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；
④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是 ( )
A．12 B．8 C．6 D．5
5．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a?α，b、c?β，则α与β的关系是________．
6．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.
其中正确的有________．(填序号)
7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.
8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、
A1B1、C1D1的中点．
求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.
二、能力提升
9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是
( )
A．α，β都平行于直线a、b
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
10. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的
中点．
求证：(1)E、F、D、B四点共面；
(2)平面AMN∥平面EFDB.
三、探究与拓展
13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC.
答案
1．B 2．D 3．B 4.D
5．相交或平行
6．③
7．证明 由于AB∥CD，BE∥CF，故平面ABE∥平面DCF.
而直线AE在平面ABE内，根据线面平行的定义，知AE∥平面DCF.
8．证明 ∵E、E1分别是AB、A1B1的中点，∴A1E1∥BE且A1E1＝BE.
∴四边形A1EBE1为平行四边形．
∴A1E∥BE1.∵A1E?平面BCF1E1，
BE1?平面BCF1E1.
∴A1E∥平面BCF1E1.
同理A1D1∥平面BCF1E1，
A1E∩A1D1＝A1，
∴平面A1EFD1∥平面BCF1E1.
9．D 10.A 11.M∈线段FH
12．证明 (1)∵E、F分别是B1C1、C1D1的中点，∴EF綊B1D1，
∵DD1綊BB1，
∴四边形D1B1BD是平行四边形，
∴D1B1∥BD.
∴EF∥BD，
即EF、BD确定一个平面，故E、F、D、B四点共面．
(2)∵M、N分别是A1B1、A1D1的中点，
∴MN∥D1B1∥EF.
又MN?平面EFDB，
EF?平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.
连接NE，则NE綊A1B1綊AB.
∴四边形NEBA是平行四边形．
∴AN∥BE.又AN?平面EFDB，BE?平面EFDB.∴AN∥平面EFDB.
∵AN、MN都在平面AMN内，且AN∩MN＝N，
∴平面AMN∥平面EFDB.
13．(1)证明 连接BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H.
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有＝＝＝2.
连接PF、FH、PH，有MN∥PF.
又PF?平面ACD，MN?平面ACD，
∴MN∥平面ACD.
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD.
(2)解 由(1)可知＝＝，
∴MG＝PH.
又PH＝AD，∴MG＝AD.
同理NG＝AC，MN＝CD.
∴△MNG∽△DCA，其相似比为1∶3，
∴S△MNG∶S△ADC＝1∶9.
2.2.3 直线与平面平行的性质
一、基础过关
1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面( )
A．只有一个 B．至多有两个
C．不一定有 D．有无数个
2. 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )
A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°
3. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行和异面
4．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
5．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)
6. 如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
7. ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
8. 如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.
求证：CD∥平面EFGH.
二、能力提升
9.如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是( )
A．l1平行于l3，且l2平行于l3
B．l1平行于l3，且l2不平行于l3
C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3
D．l1不平行于l3，但l2平行于l3
10．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．
10题图 11题图
11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.
12. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：BC∥l；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
三、探究与拓展
13．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
答案
1．C 2．C 3．A 4．B
5．①②?③(或①③?②) 6.a
7．证明 如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，
∵ABCD是平行四边形，
ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
∴O是AC中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，
则有AP∥GH.
8．证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH?平面BCD，EF?平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，∴EF∥CD.
而EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
9．A 10.平行四边形
11．m∶n
12．(1)证明 因为BC∥AD，AD?平面PAD，
BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC＝l，BC?平面PBC，所以BC∥l.
(2)解 MN∥平面PAD.
证明如下：
如图所示，取PD中点E.
连接EN、AE.
又∵N为PC中点，∴EN綊AB
∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.
又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
13．证明 连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，连接ED，
∵A1B∥平面AC1D，
平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
∴A1B∥ED，
∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，
又∵C1D?平面AC1D，BD1?平面AC1D，
∴BD1∥平面AC1D，
又A1B∩BD1＝B，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
2.2.4 平面与平面平行的性质
一、基础过关
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
2．已知a、b表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是 ( )
A．α∩β＝a，b?α?a∥b
B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
3. 如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于 ( )
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
4．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )
①?a∥b; ②?a∥b；
③?α∥β； ④?α∥β；
⑤?α∥a; ⑥?a∥α.
A．④⑥ B．②③⑥ C．②③⑤⑥ D．②③
5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”)
(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；
(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．
6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，＝，则AC＝______.
7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求证：N为AC的中点．
8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．
二、能力提升
9．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C ( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A．16 B．24或 C．14 D．20
11．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．
12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.
求△A′B′C′的面积．
三、探究与拓展
13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
答案
1．A 2．D 3．B 4．C
5．(1)相似 (2)全等
6．15
7．证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，
∴N为AC的中点．
8. 解 当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，
证明如下：
取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE，①
由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE，②
由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF?平面BFM，
∴BF∥平面AEC.
9．D 10．B
11．2
12．解 相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB、A′B′，
由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.
同理相交直线BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、B′C′，从而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′.
∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反．
∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.
∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，
∴△ABC∽△A′B′C′，∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，
∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.
∴＝＝.而S△ABC＝AB·AC＝×2×1＝1.
∴＝()2，
∴S△A′B′C′＝S△ABC＝×1＝.
13．解 能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，PC1∥MC，PC1＝MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
连接MN，作A1H⊥MN于点H，
∵A1M＝A1N＝，
MN＝BC1＝2，
∴A1H＝.
∴S△A1MN＝×2×＝.
故S?A1MCN＝2S△A1MN＝2.
§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、基础过关
1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是 ( )
A．b⊥β B．b∥β
C．b?β D．b?β或b∥β
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是 ( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a?β D．a?β或a∥β
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是 ( )
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．
6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.
7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．
求证：CF⊥平面EAB.
8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD.
二、能力提升
9. 如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中 ( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.
三、探究与拓展
13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为，求直线AB和平面α所成的角．
答案
1．A 2.D 3．C 4．B
5．(1)45° (2)30° (3)90°
6．90°
7．证明 在平面B1BCC1中，
∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，
∴△BB1E≌△CBF，
∴∠B1BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，
又AB⊥平面B1BCC1，CF?平面B1BCC1，
∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B，
∴CF⊥平面EAB.
8．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA.
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，
∴GF綊CD，
∴GF綊AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF.
∵PA＝AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD.
∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.
9．A 10．B
11．∠A1C1B1＝90°
12．证明 连接AB1，CB1，设AB＝1.
∴AB1＝CB1＝，
∵AO＝CO，∴B1O⊥AC.
连接PB1.
∵OB＝OB2＋BB＝，
PB＝PD＋B1D＝，
OP2＝PD2＋DO2＝，
∴OB＋OP2＝PB.
∴B1O⊥PO，
又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC.
13．解 (1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝＝.
∴∠BAH＝30°.
(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成 的角．
∵△BCB1∽△ACA1，
∴＝＝2，
∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝，
∴B1C＝.
∴tan∠BCB1＝＝＝，
∴∠BCB1＝60°.
综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.
2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、基础过关
1．过两点与一个已知平面垂直的平面 ( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．一个或无数个 D．可能不存在
2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是 ( )
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面经过另一个平面的一条垂线
C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是 ( )
①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是 ( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
6．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.
8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
二、能力提升
9．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
10．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是 ( )
A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE
C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC
11．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
三、探究与拓展
13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝，AC＝2，AB＝，BC＝.
(1)求证：PD⊥平面ABC；
(2)求二面角P—AB—C的正切值．
答案
1．C 2.D 3.B 4.B
5．45° 6．5
7．证明 因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.
又BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，
所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.
又GF?平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PDC.
8．(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，
△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，则∠PBA＝60°.
故二面角A—BE—P的大小是60°.
9．B 10．C
11．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.
因为EF?平面ABC，BC?平面ABC.
所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.
又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
13．(1)证明 连接BD，
∵D是AC的中点，PA＝PC＝，
∴PD⊥AC.
∵AC＝2，AB＝，BC＝，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.
∴BD＝AC＝＝AD.
∵PD2＝PA2－AD2＝3，PB＝，
∴PD2＋BD2＝PB2.∴PD⊥BD.
∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.
(2)解 取AB的中点E，连接DE、PE，由E为AB的中点知DE∥BC，
∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.
∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.
又AB⊥DE，DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB.
∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角．
在△PED中，DE＝BC＝，PD＝，∠PDE＝90°，
∴tan∠PED＝＝.
∴二面角P—AB—C的正切值为.
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、基础过关
1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是 ( )
①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上；
④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 ( )
A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行
3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ( )
①?n⊥α； ②?m∥n；
③?m⊥n; ④?n⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
5. 如图所示，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.
6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．
7. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
8. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
二、能力提升
9. 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于( )
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
10．设α－l－β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
11．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
12．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.
(1)设M是PC上的一点，
求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求四棱锥P—ABCD的体积．
三、探究与拓展
13．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1
的中点，DC1⊥BD.
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1－BD－C1的大小．
答案
1．B 2.B 3．C 4．C
5．6
6．a⊥β
7．证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB.
8．证明 (1)∵ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，
∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，
∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1.
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC.
∴ON綊CD綊AB，
∴ON∥AM.
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，
∴ON＝AM.
∵ON＝AB，∴AM＝AB，
∴M是AB的中点．
9．A 10．C
11．①②③
12．(1)证明 在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4，
∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.
又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD?面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，
∴面MBD⊥面PAD.
(2)解 过P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P—ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO＝2.
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，
此即为梯形的高．
∴S四边形ABCD＝×＝24.
∴VP—ABCD＝×24×2＝16.
13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.
又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，CD∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
因为BC?平面BCD，所以DC1⊥BC.
(2)解 DC1⊥BC，CC1⊥BC?BC⊥平面ACC1A1?BC⊥AC，取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，A1C1＝B1C1?C1O⊥A1B1，面A1B1C1⊥面A1BD?C1O⊥面A1BD，又∵DB?面A1DB，∴C1O⊥BD，又∵OH⊥BD，∴BD⊥面C1OH，C1H?面C1OH，∴BD⊥C1H，得点H与点D重合，且∠C1DO是二面角A1－BD－C的平面角，设AC＝a，则C1O＝a，C1D＝a＝2C1O?∠C1DO＝30°，故二面角A1－BD－C1的大小为30°.
章末检测
一、选择题
1．下列推理错误的是 ( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A∈l，l?α?A∈α
2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．下列命题正确的是 ( )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则 ( )
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P一定在直线AC或BD上
D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是 ( )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ( )
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有 ( )
A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面
8．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD C．A1D D．A1D1
8题图 9题图
9．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是 ( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
10．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 ( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
10题图 11题图
11．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
12．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 ( )
A．2 B. C. D．1
二、填空题
13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
14．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b?α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b?α，则b∥α.
其中正确命题的序号是________．
15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
15题图 16题图
16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
三、解答题
17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？
18．ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面BCE.
19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：
(1)三角形PCD的面积；
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．
20．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面
ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥面BDE；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
21．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
答案
1．C 2.D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 9.A 10．D 11．D 12．D
13．9
14．④
15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
16．a>6
17．解 直线MN∥平面A1BC1，M为AB的中点，证明如下：
∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1.
∴MN?平面A1BC1.
如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1.
∵NO1綊D1C1，MB綊D1C1，
∴NO1綊MB.
∴四边形NO1BM为平行四边形．
∴MN∥BO1.
又∵BO1?平面A1BC1，
∴MN∥平面A1BC1.
18．证明 如图所示，连接AN，延长交BE的延长线于P，连接CP.
∵BE∥AF，
∴＝，
由AC＝BF，AM＝FN得MC＝NB.
∴＝.
∴＝，
∴MN∥PC，又PC?平面BCE.
∴MN∥平面BCE.
19．解 (1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.
又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.
因为PD＝＝2，CD＝2，
所以三角形PCD的面积为×2×2＝2.
(2)如图，取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．
在△AEF中，由EF＝，AF＝，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，
所以∠AEF＝45°.
因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.
20．(1)证明 连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA.
∵OE?面BDE，PA?面BDE，
∴PA∥面BDE.
(2)证明 ∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝O，
∴BD⊥面PAC.
又∵BD?面BDE，
∴面PAC⊥面BDE.
(3)解 取OC中点F，连接EF.
∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD.
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，∴∠EOF＝30°.
在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，∴EF＝OF·tan 30°＝a，
∴OP＝2EF＝a.
∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3.
21．(1)证明 因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.
如图，设AC∩BD＝F，连接EF.
因为AC＝2，PA＝2，PE＝2EC，
故PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，
＝.
因为＝，∠FCE＝∠PCA，
所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.由此知PC⊥EF.
因为PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以PC⊥平面BED.
(2)解 在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，
所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，
故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，
所以底面ABCD为正方形，AD＝2，
PD＝＝2.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD?平面PBC，BC?平面PBC，
故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，
则sin α＝＝.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
单元质量评估(二)
(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.(2018·蚌埠高二检测)已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系是 ( )
A.b?平面α
B.b⊥平面α
C.b∥平面α
D.b与平面α相交，或b∥平面α
【解析】选D.直线a显然不可能在平面α内，平行与相交都有可能，故选D.
2.下列叙述中，正确的是 ( )
A.四边形是平面图形
B.有三个公共点的两个平面重合
C.两两相交的三条直线必在同一个平面内
D.三角形必是平面图形
【解析】选D.A中四边形可以是空间四边形；B中两个相交平面的交线上有无数个公共点；C中若三条直线有一个公共点，可得三条直线不一定在一个平面内，故A，B，C不正确，D正确.
3.(2018·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则 ( )
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
【解题指南】根据线、面垂直的定义判断.
【解析】选C.由题意知,α∩β=l,所以l?β,因为n⊥β,
所以n⊥l.
4.(2018·银川高一检测)空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选D.取AC中点E，连接BE，DE，因为AB=AD=AC=CB=CD=BD，所以AC垂直于BE，也垂直于DE，所以AC垂直于平面BDE，因此AC垂直于BD.
5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论不正确的是 ( )
A.C1D1⊥B1C B.BD1⊥AC
C.BD1∥B1C D.∠ACB1=60°
【解析】选C.因为C1D1⊥平面B1C，B1C?平面B1C，
所以C1D1⊥B1C，
所以A选项正确；
由于AC⊥平面BDD1，
所以BD1⊥AC，B选项正确；
因为三角形AB1C为等边三角形，
所以∠ACB1=60°，即D选项正确.
由于BD1与B1C是异面直线，所以C错.
6.(2018·鞍山高一检测)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是 ( )
A.若l⊥α，α⊥β，则l?β
B.若l∥α，α∥β，则l?β
C.若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D.若l∥α，α⊥β，则l⊥β
【解析】选C.若l⊥α，α⊥β，则l?β或l∥β，故A不正确；若l∥α，
α∥β，则l?β或l∥β，故B不正确；若l⊥α，α∥β，则l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l?β或l∥β，故D不正确.
7.(2018·衡水高二检测)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：
①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1⊥平面CBA1，其中正确结论的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选D.①因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，因为BC=AC，所以B1C1=A1C1，又因为M为A1B1的中点，所以C1M⊥A1B1，因为平面A1B1C1∩平面ABB1A1=A1B1，所以C1M⊥平面ABB1A1，故①正确；②由①知，C1M⊥A1B，又因为AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，所以A1B⊥平面AMC1，所以A1B⊥AM，因为M，N分别是A1B1，AB的中点，所以ANB1M是平行四边形，所以AM∥NB1，因为A1B⊥AM，所以A1B⊥NB1，故②正确；③由②知A1B⊥平面AMC1，又因为A1B?平面CBA1，所以平面AMC1⊥平面CBA1，故③正确，综上所述，正确结论的个数为3.
8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
【解析】选D.A.由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确，不符合题意；
B.EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，
故有EF∥平面ABCD，此命题正确，不符合题意；
C.三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B的距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，不符合题意；
D.由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D是错误的.
9.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 ( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
【解析】选D.由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；连接AC，易证BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可证AC1⊥B1C，因为BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；对于选项D，因为BC∥AD，所以∠B1CB即为AD与CB1所成的角，此角为45°，故D错.
10.在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为AC=，其余各棱长均为1，故AB⊥BC，AD⊥DC，取CD，AC的中点分别为E，F，连接EF，BF，BE，则EF∥AD，所以EF⊥CD.且EF=AD=，BF=AC=，BE⊥CD，且BE=，所以∠FEB为二面角A-CD-B的平面角，在△BEF中，BE2=BF2+EF2，所以△BEF为直角三角形，所以cos∠FEB===.
11.(2018·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.如图所示:
因为α∥平面CB1D1,所以若设平面CB1D1∩平面ABCD=m1,则m1∥m.
又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
结合平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D1,
所以B1D1∥m1,故B1D1∥m.同理可得:CD1∥n.
故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.而B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),因此∠CD1B1=,即sin∠CD1B1=.
12.一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M，N分别为A1B，B1C1的中点.
下列结论中正确的个数有 ( )
①直线MN与A1C相交.
②MN⊥BC.
③MN∥平面ACC1A1.
④三棱锥N-A1BC的体积为=a3.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】选B.由三视图可知，
该几何体是底面为等腰直角三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱.取边BC中点E，连ME，NE，则ME∥A1C，NE∥C1C，故平面MNE∥平面ACC1A1，故MN∥平面ACC1A1，所以直线MN与A1C相交错误，故③正确，①错误.因为三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形且侧棱垂直于底面，故BC⊥平面MNE，所以MN⊥BC，②正确.==×a××a×a=a3，故④正确.所以②③④正确.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点.给出以下四个结论：
①直线AM与直线C1C相交；
②直线AM与直线DD1异面；
③直线AM与直线BN平行；
④直线BN与直线MB1异面.
其中正确结论的序号为________(填入所有正确结论的序号).
【解析】由异面直线判定定理知：①直线AM与直线CC1异面；②直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面，因为直线BN与直线AE平行(E为DD1的中点)，所以③直线AM与直线BN异面.
答案：②④
14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________.
【解析】由题意知：PA⊥DE，
又PE⊥DE，PA∩PE=P，
所以DE⊥面PAE，
所以DE⊥AE.
易证△ABE∽△ECD.
设BE=x，
则=，
即=.
所以x2-ax+9=0，由Δ>0，
解得a>6.
答案：a>6
15.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，点M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可).
【解题指南】可以证明BD⊥PC，因此只需确定M的位置，使BM⊥PC即可.
(DM⊥PC也可).
【解析】因为四边形ABCD的边长相等，所以四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.
若PC⊥平面BMD，即PC垂直于平面BMD中两条相交直线，所以当BM⊥PC时，PC⊥平面BMD，所以平面PCD⊥平面BMD.
答案：BM⊥PC(其他合理即可)
16.(2018·成都高二检测)如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：
①AB与DE所成角的正切值是；②AB∥CE；③VB-ACE的体积是a2；
④平面ABC⊥平面ADC；⑤直线EA与平面ADB所成角为30°.
其中正确的有________.(填写你认为正确的序号)
【解析】由题意，AB=BC，AE=a，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=a，①由于BC∥DE，所以∠ABC(或其补角)为AB与DE所成角.因为AB=a，BC=a，AC=a，所以BC⊥AC，所以tan∠ABC=，故①正确；②由图象可知AB与CE是异面直线，故②错误.③VB-ACE的体积是S△BCE×AD=×a3=a3，故③错误；④因为AD⊥平面BCDE，BC?平面BCDE，所以AD⊥BC，因为BC⊥CD，AD∩CD=D，
所以BC⊥平面ADC，因为BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故④正确；
⑤连接CE交BD于F，则EF⊥BD，因为平面ABD⊥平面BDE，所以EF⊥平面ABD，连接AF，则∠AFE为直线AE与平面ABD所成角，在△AFE中，EF=a，AE=a，所以sin∠EAF==，则∠EAF=30°，故⑤正确.
答案：①④⑤
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，
AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
(1)D，B，E，F四点共面.
(2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.
【证明】(1)连接B1D1.因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD，
所以EF∥BD，所以EF与BD共面，
所以E，F，B，D四点共面.
(2)因为AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.
同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
因为A1C∩平面DBFE=R，
所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
所以P，Q，R三点共线.
18.(12分)(2018·菏泽高一检测)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点.
(1)求证：OE∥平面BCC1B1.
(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.
【解析】(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE?平面BCC1B1，
BC1?平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.
(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，
A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC?平面A1BC，
所以AC1⊥BC.
19.(12分)如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG.
(1)求证：EC⊥CD.
(2)求证：AG∥平面BDE.
【证明】(1)由平面ABCD⊥平面BCEG，
平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE?平面BCEG，
所以EC⊥平面ABCD，又CD?平面ABCD，故EC⊥CD.
(2)在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连接DM，则由已知知，MG=MN，MN∥BC∥DA，且MN=AD=BC，
所以MG∥AD，MG=AD，
故四边形ADMG为平行四边形，
所以AG∥DM，因为DM?平面BDE，AG?平面BDE，所以AG∥平面BDE.
20.(12分)(2018·泰安高一检测)如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC.
(1)求证：平面AEF⊥平面PBC.
(2)求二面角P-BC-A的大小.
【解题指南】(1)要证平面AEF⊥平面PBC，可通过证明AE⊥平面PBC得出，而要证AE⊥平面PBC，已有AE⊥PB，则证出BC⊥AE即可，后者利用BC⊥平面PAB可以证出.
(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，易知为45°.
【解析】(1)因为PA⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，AB与PA相交于点A，
所以BC⊥平面PAB，又AE?平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，而PB与BC相交于点B，所以AE⊥平面PBC，又AE?平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC.
(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BC，又AB⊥BC，
所以∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△PAB中，因为PA=AB，所以∠PBA=45°，
即二面角P-BC-A的大小为45°.
21.(12分)(2018·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC.
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
【解析】(1)因为PC⊥平面ABCD,DC?平面ABCD,所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC?平面PAC,所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC,DC⊥平面PAC,所以AB⊥平面PAC.
又因为AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)取PB中点F.连接CE,EF,CF.
因为E为AB中点,所以PA∥EF.
又因为PA?平面CEF,EF?平面CEF,所以PA∥平面CEF.
因此,当F为PB中点时,PA∥平面CEF.
22.(12分)如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=
∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.
(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论.
(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.
【解析】(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.
证明如下：
取AB的中点F，连接DP，PF，EF，
则FP∥AC，FP=AC，
取AC的中点M，连接EM，EC，
因为AE=AC且∠EAC=60°，
所以△EAC是正三角形，所以EM⊥AC.
所以四边形EMCD为矩形，
所以ED=MC=AC.
又因为ED∥AC，
所以ED∥FP且ED=FP，
所以四边形EFPD是平行四边形，所以DP∥EF，
而EF?平面EAB，DP?平面EAB，
所以DP∥平面EAB.
(2)过C作CG∥AB，过B作BG∥AC，CG∩BG=G，连接GD.
因为ED∥AC，所以ED∥BG，
所以B，E，D，G四点共面，
所以平面EBD与平面ABC相交于BG，
因为CD⊥AC，平面ACDE⊥平面ABGC，
所以CD⊥平面ABGC，
又因为BG?平面ABGC，
所以BG⊥CD，
又BG⊥GC，CD∩GC=C，
所以BG⊥平面CDG，
所以BG⊥DG，
所以∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ，设AB=AC=AE=a，
则GC=AB=a，DC=EM=a，
所以GD==a，
所以cosθ=cos∠DGC==..Com]
阶段通关训练(二)
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.(2018·吉安高二检测)下列说法中正确的是 ( )
A.三点确定一个平面
B.两条直线确定一个平面
C.两两相交的三条直线一定在同一平面内
D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内
【解析】选D.选项A中，缺条件“不共线”；选项B中，须指明这两条直线的位置关系，比如两条异面直线就不能确定一个平面；选项C中，两两相交的三条直线当相交于同一点时，它们可以不在同一平面内，比如正方体中同一顶点的三条棱.
2.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么 ( )
A.PA=PB>PC
B.PA=PB
C.PA=PB=PC
D.PA≠PB≠PC
【解析】选C.因为M为AB的中点，△ACB为直角三角形，所以BM=AM=CM，又PM⊥平面ABC，所以Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA=PB=PC.
3.(2018·成都高二检测)如图，已知三条长度相等的线段AB，BC，CD，若AB⊥BC，BC⊥CD，且直线AB与CD所成角大小为60°，则直线AD与BC所成角大小为 ( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
【解析】选C.如图，过B作BECD，连接DE，AE，则四边形BCDE为正方形，∠ABE为直线AB与CD所成角，∠ADE为直线AD与BC所成角.因为AB=BC=CD=BE，∠ABE=60°，所以AB=BE=AE.因为AB⊥BC，所以AB⊥DE，又BE⊥DE，AB∩BE=B，所以DE⊥平面ABE，所以DE⊥AE，所以△AED为等腰直角三角形，所以∠ADE=
45°.
【拓展延伸】求异面直线所成角的方法
求异面直线所成角主要是如何通过平移作出其平面角，主要途径有：利用三角形的中位线、构造平行四边形、利用梯形两底平行、平行线分线段成比例的性质等，如本题通过利用条件中的垂直关系构造正方形，达到平移的目的.
【补偿训练】(2018·台州高二检测)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选C.由题可知，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B∥D1C，所以异面直线A1D与D1C所成的角与直线A1D与A1B所成的角相等，连接A1B，BD，∠BA1D为所求角，设正方体的棱长为1，在△A1DB中，三条边长均为，故∠BA1D=60°.
4.(2018·北京高二检测)已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是 ( )
A.若α⊥β，m?β，则m⊥α B.若α∥β，m⊥α，则m⊥β
C.若α∥β，m∥α，则m∥β D.若m∥α，m∥β，则α∥β
【解析】选B.若α⊥β，m?β，则直线m与平面α相交，或直线m在平面α内，或直线m与平面α平行，所以选项A不正确；若α∥β，m∥α，则直线m与平面β平行，或直线m在平面β内，所以选项C不正确.若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，所以选项D不正确.
5.(2018·辽宁师大附中高一检测)如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论不正确的是 ( )
A.CF⊥平面PAD B.DF⊥平面PAF
C.CF∥平面PAB D.CD∥平面PAF
【解析】选A.因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则AF∥CD，由线面平行的判定定理，可得CD∥平面PAF，故D正确；DF⊥AF，DF⊥PA，由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF，故B正确；CF∥AB，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面PAB，故C正确；CF与AD不垂直，故A中，CF⊥平面PAD不正确.
6.已知矩形ABCD，AB=1，BC=，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中 ( )
A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
【解析】选B.A错误.理由如下：过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，
若直线AC与直线BD垂直，则可得BD⊥平面ACE，
于是BD⊥CE，而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直.
B正确.理由：翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时，平面ABC⊥平面BCD，此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC，于是有AB⊥CD.故B正确.
C错误.理由如下：若直线AD与直线BC垂直，则由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD，于是BC⊥AC，但是AB二、填空题(每小题5分，共20分)
7.下列说法：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b?α，则a∥b；[来源:Zxxk.Com][来源:学#科#网]
③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b?α，则b∥α.
其中正确说法的序号是________.
【解析】①中b可能在α内；②a与b还可能异面或者垂直；③a还可能与α内的直线异面或垂直.
答案：④
8.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.
【解析】当点E是SA的中点时，连接AC.
设AC与BD的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以点O是AC的中点.
又E是SA的中点，所以OE是△SAC的中位线.
所以OE∥SC.因为SC?平面EBD，OE?平面EBD，
所以SC∥平面EBD.
答案：点E是SA的中点
9.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是棱PC，PD的中点，则
①棱AB与PD所在直线垂直；
②平面PBC与平面ABCD垂直；
③△PCD的面积大于△PAB的面积；
④直线AE与直线BF是异面直线.[来源:学科网]
以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)
【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD，故①正确；
若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，
得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能的，故②错；
S△PCD=CD·PD，S△PAB=AB·PA，
由AB=CD，PD>PA知③正确；
由E，F分别是棱PC，PD的中点，
可得EF∥CD，又AB∥CD，
所以EF∥AB，故AE与BF共面，④错.
答案：①③
10.(2018·西宁高二检测)在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则CM与平面ABD所成角的正弦值为________.
【解析】如图所示，取BD中点O，连接CO，MO，由已知条件BC=CD=1，所以BD⊥CO，由平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，所以CO⊥平面ABD，则∠CMO即为直线CM与平面ABD所成的角，由AB⊥AD，所以BD=，则得到BC⊥CD，所以CO=BD=，MO=AD=，所以在Rt△COM中，CM==，所以sin∠CMO===.[来源:Z§xx§k.Com]
答案：
三、解答题(共4小题，共50分)
11.(12分)(2018·台州高二检测)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别是AB，PC的中点，PA=AD=a.
(1)求证：MN∥平面PAD.
(2)求证：平面PMC⊥平面PCD.
【证明】(1)设PD的中点为点E，连接AE，NE，由点N为PC的中点知ENDC，又ABCD是矩形，所以DCAB，所以ENAB，又点M是AB的中点，所以ENAM，所以AMNE是平行四边形，所以MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD，所以MN∥平面PAD.
(2)因为PA=AD，所以AE⊥PD，又因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以CD⊥PA，而CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，因为PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD，因为MN∥AE，所以MN⊥平面PCD，又MN?平面PMC，所以平面PMC⊥平面PCD.
【补偿训练】(2018·济南高一检测)如图所示，平面四边形PACB中，∠PAB为直角，△ABC为等边三角形，现把△PAB沿着AB折起，使得△APB与△ABC垂直，且点M为AB的中点.
(1)求证：平面PAB⊥平面PCM.
(2)若2PA=AB，求直线BC与平面PMC所成角的正弦值.
【解析】(1)因为平面APB⊥平面ABC且交线为AB，又因为∠PAB为直角，所以AP⊥平面ABC，故AP⊥CM，又因为△ABC为等边三角形，点M为AB的中点，所以CM⊥AB，又因为PA∩AB=A，所以CM⊥平面PAB，又CM?平面PCM，所以平面PAB⊥平面PCM.
(2)假设PA=a，则AB=2a，再设B到平面PMC的距离为hB.则VP-MBC=VB-PMC
=PA·S△MBC=hB·SPMC，在直角三角形PAM中，由PA=AM=a，得PM=a，在等边三角形ABC中，AB边上的高CM=a，而三角形PMC为直角三角形，故面积为
S△PMC=CM·PM=·a·a=a2.
又S△MBC=S△ABC=a2.所以a·a2=hB·a2.
故hB=a.[来源:学科网ZXXK]
所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值
sinθ===.
12.(12分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由.
【解析】(1)因为PA⊥底面ABC，
所以PA⊥BC.又∠BCA=90°，
所以AC⊥BC.
又因为AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC.
(2)因为DE∥BC，
又由(1)知，BC⊥平面PAC，
所以DE⊥平面PAC.
又因为AE?平面PAC，PE?平面PAC，
所以DE⊥AE，DE⊥PE.
所以∠AEP为二面角A-DE-P的平面角.
因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥AC，
所以∠PAC=90°.
所以在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC.这时∠AEP=90°，
故存在点E，使得二面角A-DE-P为直二面角.
13.(13分)(2018·杭州高二检测)已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面相互垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，DC=8，
(1)证明：BD⊥平面BCF.
(2)设二面角E-BC-D的平面角为α，求sinα.
(3)M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)因为平面ABCD⊥平面CDEF，且矩形CDEF中FC⊥DC，所以FC⊥
面ABCD，FC⊥DB，在直角梯形ABCD中易得DB⊥BC，又FC∩BC=C，所以BD⊥
平面BCF.
(2)因为FC⊥平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥平面ABCD，又DB⊥BC，所以EB⊥BC，所以∠EBD为二面角E-BC-D的平面角α，
所以sinα=sin∠EBD===.
(3)猜想DP=1.取ED，EC的四等分点P，Q，使得ED=4PD，EC=4QC，则PQ∥CD，PQ=CD=6，取BC中点N，连接MN，NQ，则MN∥CD，MN=(CD+AB)=6，所以PQ??MN，所以四边形PQNM为平行四边形，所以MP∥QN，又因为MP?平面BCE，QN?平面BCE，所以MP∥平面BCE.
14.(13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点.
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)求证：C1F∥平面ABE.
(3)求三棱锥E-ABC的体积.
【解析】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，
BB1⊥底面ABC，
所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，BB1∩BC=B，
所以AB⊥平面B1BCC1，
又AB?平面ABE，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG=AC.
因为AC∥A1C1，且AC=A1C1，
所以FG∥EC1，且FG=EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形.
所以C1F∥EG.
又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
(3)因为AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
所以AB==.
所以三棱锥E-ABC的体积
V=S△ABC·AA1
=×××1×2=.
【能力挑战题】
(2018·桂林高二检测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=
90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC的中点.
(1)求证：AB⊥PE.
(2)求二面角A-PB-E的大小.
【解题指南】(1)连结PD，根据等边三角形三线合一可证得PD⊥AB，由中位线可得DE∥BC，即可得DE⊥AB，根据线面垂直的判定定理可证得AB⊥平面PDE，从而可证得AB⊥PE.(2)由面面垂直的性质定理可证得PD⊥平面ABC，从而可证DE⊥PD，根据线面垂直的判定定理可证得DE⊥平面PAB，过D作DF垂直PB于F，连接EF，则EF⊥PB.根据二面角的定义可知∠DFE即为所求，在△DEF中求∠DFE即可.
【解析】(1)连结PD，因为PA=PB，D为AB的中点，所以PD⊥AB.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC，又因为BC⊥AB，所以DE⊥AB.又PD∩DE=D，所以AB⊥平面PDE，因为PE?平面PDE，所以AB⊥PE.
(2)因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，所以PD⊥平面ABC，所以DE⊥PD.又ED⊥AB，PD∩AB=D，所以DE⊥平面PAB，
过D作DF垂直PB于F，连接EF，则EF⊥PB，
所以∠DFE为所求二面角的平面角，则：DE=，DF=，则tan∠DFE==，故二面角A-PB-E的大小为60°.
课件65张PPT。
第 二 章 点、直线、平面之间的位置关系知能整合提升热点考点例析答案： D答案： A答案： A答案： D答案： 13
谢谢观看！课件45张PPT。章末复习课第二章 点、直线、平面之间的位置关系1.整合知识结构，梳理各知识网络，进一步巩固、深化所学知识；
2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化.要点归纳题型探究达标检测学习目标要点归纳 主干梳理 点点落实1.四个公理
公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2：过__________________的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____________________.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_____.
2.直线与直线的位置关系答案————共面直线异面直线：不同在_____一个平面内，没有公共点两点不在同一条直线上一条过该点的公共直线平行平行相交任何3.平行的判定与性质
(1)直线与平面平行的判定与性质答案a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b(2)面面平行的判定与性质答案α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a(3)空间中的平行关系的内在联系4.垂直的判定与性质
(1)直线与平面垂直答案任意m∩n＝O答案a⊥αb?αa∥b(2)平面与平面垂直的判定与性质定理α⊥β，
α∩β＝a，
l?β，
l⊥a垂线答案(3)空间中的垂直关系的内在联系.答案5.空间角
(1)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的_____________叫做异面直线a，b所成的角(或夹角).
②范围：设两异面直线所成角为θ，则0°<θ≤90°.锐角(或直角)(2)直线和平面所成的角
①平面的一条斜线与它在______________所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角.
②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为__________.
(3)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线和由这条直线出发的_____________所组成的图形叫做二面角.
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作_________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.返回答案平面内的射影90°和0°两个半平面垂直于棱类型一 几何中共点、共线、共面问题题型探究 重点难点 个个击破例1 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
求证：(1)E、F、G、H四点共面；
证明 ∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD，
又EF∥BD，∴EF∥GH，
∴E、F、G、H四点共面.解析答案(2)GE与HF的交点在直线AC上.
证明 ∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH.
又EF∥GH，∴EG与FH不平行，
则必相交，设交点为M.反思与感悟?M在面ABC与面ACD的交线上，
又面ABC∩面ACD＝AC?M∈AC.
∴GE与HF的交点在直线AC上.解析答案1.证明共面问题
证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合.
2.证明三点共线问题
证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上.
3.证明三线共点问题
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.跟踪训练1 如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点.求证：O、M、A1三点共线.证明 ∵O∈AC，AC?平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.
∵M∈AC1，AC1?平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1.
又已知A1∈平面ACC1A1，
即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，
又O、M、A1三点都在平面A1BD上，
所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，
所以O、M、A1三点共线.解析答案类型二 空间中的平行关系例2 如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，
求证：(1)GE∥平面BB1D1D；
证明 如图，取B1D1中点O，连接GO，OB，解析答案∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形.
∴OB∥GE.
∵OB?平面BDD1B1，GE?平面BDD1B1，
∴GE∥平面BDD1B1.(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明 由正方体性质得B1D1∥BD，
∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF.
连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.
∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，
∴HD1∥平面BDF.
∵B1D1∩HD1＝D1，
∴平面BDF∥平面B1D1H.解析答案反思与感悟1.判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：
(1)利用线面平行的判定定理.
(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.
2.判断面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ?α∥γ)；
(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β?α∥β).跟踪训练2 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，
又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，
∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，
∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，
又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC，
∴DN∥平面ABC，
又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC.解析答案例3 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.
证明：(1)CD⊥AE；
证明 在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.类型三 空间中的垂直关系解析答案(2)PD⊥平面ABE.
证明 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.解析答案反思与感悟空间垂直关系的判定方法
(1)判定线线垂直的方法：
①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；
②线面垂直的性质(若a⊥α，b?α，则a⊥b).
(2)判定线面垂直的方法：
①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)；
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α)；
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ).反思与感悟(3)面面垂直的判定方法：
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).跟踪训练3 如图，A，B，C，D为空间四点.在△ABC中，AB＝2，(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；解 如图，取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，解析答案解 当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：①当D在平面ABC内时，
因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，
由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.
又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，
由CD?平面CDE，得AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.解析答案(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.类型四 空间角问题解析答案例4 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；解 在四棱锥P—ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，
从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.
在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明：AE⊥平面PCD；
证明 在四棱锥P—ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，
所以CD⊥平面PAC.
又AE?平面PAC，所以AE⊥CD.
由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
又PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.解析答案(3)求二面角A—PD—C的正弦值.解析答案反思与感悟解 过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示.
由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，
则可证得AM⊥PD.
因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角.
由已知，可得∠CAD＝30°.
设AC＝a，可得在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，反思与感悟1.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).
2.求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).
3.二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法.解析答案跟踪训练4 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
解 ∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，
∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.
∴OC⊥平面ABO.
又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.解析答案(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
解 如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.解析答案(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数.
解 ∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，
∴OC⊥平面AOB.
又∵OC?平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.返回123达标检测 解析答案1.下列四个结论：
(1)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行.
(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行.
(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.
(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.34解析 (1)两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能；
(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面；
(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能；
(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内.
答案 A1234解析答案2.设有不同的直线m、n和不同的平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C.若α⊥β，m?α，则m⊥β
D.若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α1234解析 选项A中当m∥α，n∥α时，m与n可以平行、相交、异面；
选项B中满足条件的α与β可以平行，也可以相交；
选项C中，当α⊥β，m?α时，m与β可以垂直，也可以平行等.
故选项A、B、C均不正确.D解析答案3.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点.
求证：(1)C1O∥面AB1D1；
证明 如图，连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O1，连接AO1，
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1ACC1是平行四边形，
∴A1C1∥AC且A1C1＝AC，
又O1，O分别是A1C1，AC的中点，
∴O1C1∥AO且O1C1＝AO，
∴四边形AOC1O1是平行四边形，
∴C1O∥AO1，AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1，
∴C1O∥面AB1D1.1234解析答案(2)A1C⊥面AB1D1.
证明 ∵CC1⊥面A1B1C1D1，
∴CC1⊥B1D1，
又∵A1C1⊥B1D1，
∴B1D1⊥面A1C1CA，
即A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，
又B1D1∩AB1＝B1，∴A1C⊥面AB1D1.1234解析答案12344.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.
(1)证明：△PBC是直角三角形.
解 因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，
B的一动点，
所以BC⊥AC，
因为PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，
又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，
所以BC⊥PC，
所以△PBC是直角三角形.1234(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为 时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解析答案1234解 如图，过A作AH⊥PC于H，连接BH，
因为BC⊥平面PAC，所以BC⊥AH，PC∩BC＝C，
所以AH⊥平面PBC，所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成角，
因为PA⊥平面ABC，所以∠PCA即是PC与平面ABC所成角，一、平行关系
1.平行问题的转化关系2.直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；
(4)a⊥α，a⊥β?α∥β.
二、垂直关系
1.空间中垂直关系的相互转化2.判定线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理.
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.
(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.
(4)利用面面垂直的性质.
3.判定线线垂直的方法
(1)平面几何中证明线线垂直的方法.
(2)线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b.
(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b.4.判断面面垂直的方法
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.
三、空间角的求法
1.找异面直线所成角的三种方法
(1)利用图中已有的平行线平移.
(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.
(3)补形平移.
2.线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.返回章末检测
一、选择题
1．下列推理错误的是 ( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A∈l，l?α?A∈α
2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．下列命题正确的是 ( )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则 ( )
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P一定在直线AC或BD上
D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是 ( )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ( )
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有 ( )
A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面
8．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD C．A1D D．A1D1
8题图 9题图
9．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是 ( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
10．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 ( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
10题图 11题图
11．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
12．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 ( )
A．2 B. C. D．1
二、填空题
13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
14．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b?α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b?α，则b∥α.
其中正确命题的序号是________．
15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
15题图 16题图
16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
三、解答题
17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？
18．ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面BCE.
19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：
(1)三角形PCD的面积；
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．
20．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面
ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥面BDE；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
21．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
答案
1．C 2.D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 9.A 10．D 11．D 12．D
13．9
14．④
15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
16．a>6
17．解 直线MN∥平面A1BC1，M为AB的中点，证明如下：
∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1.
∴MN?平面A1BC1.
如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1.
∵NO1綊D1C1，MB綊D1C1，
∴NO1綊MB.
∴四边形NO1BM为平行四边形．
∴MN∥BO1.
又∵BO1?平面A1BC1，
∴MN∥平面A1BC1.
18．证明 如图所示，连接AN，延长交BE的延长线于P，连接CP.
∵BE∥AF，
∴＝，
由AC＝BF，AM＝FN得MC＝NB.
∴＝.
∴＝，
∴MN∥PC，又PC?平面BCE.
∴MN∥平面BCE.
19．解 (1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.
又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.
因为PD＝＝2，CD＝2，
所以三角形PCD的面积为×2×2＝2.
(2)如图，取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．
在△AEF中，由EF＝，AF＝，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，
所以∠AEF＝45°.
因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.
20．(1)证明 连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA.
∵OE?面BDE，PA?面BDE，
∴PA∥面BDE.
(2)证明 ∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝O，
∴BD⊥面PAC.
又∵BD?面BDE，
∴面PAC⊥面BDE.
(3)解 取OC中点F，连接EF.
∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD.
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，∴∠EOF＝30°.
在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，∴EF＝OF·tan 30°＝a，
∴OP＝2EF＝a.
∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3.
21．(1)证明 因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.
如图，设AC∩BD＝F，连接EF.
因为AC＝2，PA＝2，PE＝2EC，
故PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，
＝.
因为＝，∠FCE＝∠PCA，
所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.由此知PC⊥EF.
因为PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以PC⊥平面BED.
(2)解 在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，
所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，
故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，
所以底面ABCD为正方形，AD＝2，
PD＝＝2.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD?平面PBC，BC?平面PBC，
故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，
则sin α＝＝.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
