7.1 为什么要证明课时作业（含解析）

7.1 为什么要证明课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
本节知识点：
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
（思维拓展）如图所示，①代表0，②代表9，③代表6，则④代表（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
4个人进行游泳比赛，赛前A．B、C、D等4名选手进行预测．A说：“我肯定得第一名．”B说：“我绝对不会得最后一名．”C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名．”D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误．预测错误的人是（　　）
A．A B．B C．C D．D
一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（　　）
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
跳远（米）
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
跳绳（次）
63
a
75
60
63
72
70
a﹣1
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（　　）
A．5号学生进入30秒跳绳决赛 B．2号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛
某轮船往返于A．B两地之间，设船在静水中的速度不变，那么，当水的流速增大时，轮船往返一次所用的时间（　　）
A．不变 B．增加 C．减少 D．增加，减少都有可能
甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是（　　）
A．甲的车是白色的，乙的车是银色的 B．乙的车是蓝色的，丙的车是红色的
C．丙的车是白色的，丁的车是蓝色的 D．丁的车是银色的，甲的车是红色的
、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
有5名新同学，如果每两个人都握手1次，那么他们握手的总次数是　 　次．
A．B、C、D四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，现已知：如果A中奖，那么B也中奖；如果B中奖，那么C中奖或A不中奖；如果D不中奖，那么A中奖，C不中奖；如果D中奖，那么A也中奖，则这四个人中，中奖的人数是　 　人．
甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书，他们相约在每个星期天相互交换读完的书．经过数次交换后，他们都读完了这3本书．若乙读的第三本书是丙读的第二本书，则乙读的第二本书是甲读的第______本书．
张老师把红、白、蓝各一个气球分别送给三个小朋友．根据下面三句话，请你猜一猜，他们分到的各是什么颜色的气球？
（1）小春说：“我分到的不是蓝气球．”
（2）小宇说：“我分到的不是白气球．”
（3）小华说：“我看见张老师把蓝气球和红气球分给上面两位小朋友了．”
则小春、小宇、小华分别分到　 　颜色的气球．
如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在200个小伙子中，如果某人不亚于其他199人，就称他为棒小伙子，那么，200个小伙子中的棒小伙子最多可能有　??________
甲、乙、丙、丁、戊五个同学是好朋友，一次郊游时都已口渴难耐，却只剩下两个梨，大家相互推让：
甲说：“如果我吃一个，那么乙也应吃一个”；
乙说：“如果我吃一个，那么丙也应吃一个”；
丙说：“如果我吃一个，那么丁也应吃一个”；
丁说：“如果我吃一个，那么戊也应吃一个”；
大家都遵守诺言，两个梨均被吃掉，请问：哪两个人吃掉了这两个梨？　 　．
、解答题（本大题共5小题，共35分）
现有21个酒桶，其中7个酒桶里面装满了葡萄酒，还有7个酒桶中只装了半桶葡萄酒，剩下的7个酒桶是完全空的．如果要把所有的酒桶和葡萄酒分给3个人，并保证每个人都得到等份的葡萄酒和酒桶，但是酒桶里的葡萄酒不允许倒出，这种条件下，你知道怎样等分吗？
某足球协会举办了一次足球联赛，其积分规则为：胜﹣3，平﹣1，负﹣0，当全部比赛结束（每队平均比赛12场）时，A队共积19分，请通过计算，判断A队胜、平、负各几场．
如图，A，B，C，D，E五人围坐在圆桌旁，为A祝贺生日，小华问他们当时的座位．
A说：“我在B的旁边．”
B说：“我的左边不是C就是D．”
C说：“我在D的旁边．”
D说：“不，C在B的右边是错的．”
只有E作了如实回答：“除B说正确之外，A，C，D都说错了．”
你能确定他们的位置吗？
某校学生会主席换届选举，经初选、复选后，共有甲，乙，丙三人进入最后的竞选，最后决定用投票方式进行选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内，全校设有四个投票箱，目前第一、第二、第三投票箱已开完所有选票，剩下第四投票箱尚未开票，结果如表所示：（单位：票）
投票箱
候选人
废票
合计
甲
乙
丙
一
200
211
147
12
570
二
286
85
244
15
630
三
97
41
205
7
350
四
250
（1）若第二投票箱候选人甲的得票数比乙的3倍还多31票，请分别求出第二投票箱甲、乙两名候选人的得票数．
（2）根据（1）题的数据分析，请判断乙侯选人是否还有机会当选，并详细解释或完整写出你的解题过程．
阅读下列材料，并解答以下问题．
完成一件事有k类不同的方案，在第一类方案中有m1个不同的方法，在第二类方案中有m2个不同的方法，…，在第k类方案中有mk个不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1+m2+…+mk种不同方法，这是分类加法计数原理．完成一件事有需要分成k个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法，…，做第k步有mk种不同方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mk种不同的方法，这就是分步乘法计数原理．
（1）若完成沿图所示的街道从A点出发向B点行进这件事（规定：必须向北或向东走），会有　 　种不同的走法．
（2）若完成沿图所示的街道从A点出发向B点行进，并禁止通过交叉点C这件事（规定：必须向北或向东走），有　 　种不同的走法．
答案解析
、选择题
【考点】推理与论证
【分析】根据图形得出图①可以代表0点，图②可以代表9点，图③可以代表6点，进而得出答案．
解：∵如图所示，①代表0，②代表9，③代表6，
，
∴图①可以代表0点，图②可以代表9点，图③可以代表6点，
∴则④代表3点．
故选：B．
【点评】此题主要考查了推理与论证，利用已知图形得出各点所代表的数结合钟表数字得出是解题关键．
【考点】推理与论证
【分析】首先考虑B和D，进而得出矛盾，再考虑A和C得出A预测错误．
解：先考虑B和D，如果B错，则B最后，D也错如果D错，则A第一，
B不是最后，C不是最后，D不是最后矛盾，则B和D都对；
再考虑A和C，如果C错，则A第一，B中间，D最后，C就对了，矛盾；
若A错，则C中间D最后，A中间B第一，成立所以A是错的．
故选：A．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．
【考点】推理与论证
【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，进而得出符合题意的答案．
解：如图所示：设①的周长为：4x，③的周长为2y，④的周长为2b，即可得出①的边长以及③和④的邻边和，
设②的周长为：4a，则②的边长为a，可得③和④中都有一条边为a，
则③和④的另一条边长分别为：y﹣a，b﹣a，
故大矩形的边长分别为：b﹣a+x+a＝b+x，y﹣a+x+a＝y+x，
故大矩形的面积为：（b+x）（y+x），其中b，x，y都为已知数，
故n的最小值是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了推理与论证，正确结合正方形面积表示出矩形各边长是解题关键．
【考点】推理与论证
【分析】直接利用已知得出甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，进而得出答案．
解：∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，
∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，
∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平，
∵丙得分3分，1胜0平，乙得分5分，1胜2平，
∴与乙打平的球队是甲与丁．
故选：B．
【点评】此题主要考查了推理与论证，正确分析得出每队胜负场次是解题关键．
【考点】推理与论证
【分析】根据题意可知，1到8号在立定跳远中进入决赛，再分情况讨论即可得出结论．
解：根据题意可知，1到8号在立定跳远中进入决赛，
（1）若a﹣1＞75，即a＞76，跳绳的排序是a，a﹣1，75，72，70，
63有两位跳绳，则很显然有5位或7位进入决赛，不符合题意，
（2）若a﹣1＞63或 a＜70，即64＜a＜70时，跳绳的排序是 75，72，70，a，a﹣1，
63有两位跳绳，则很显然有5位或7位进入决赛，不符合题意．
（3）若a＝62，a﹣1＝61，时，跳绳的排序是 75，72，70，63，63，a，一共六位进入决赛，
也就是，1，2，3，5，6，7号跳绳运动员六位进入决赛，
（4）若 a＜60，跳绳的排序是 75，72，70，63，63，60一共六位进入决赛，
也就是，1，3，4，5，6，7号跳绳运动员六位进入决赛，
∴1，3，5，6，7号肯定进入跳绳决赛，
故选：A．
【点评】此题是推理与论证，正确利用已知条件得出合理的结论是解本题的关键．
【考点】推理与论证
【分析】可设全程，船的静水速度，原来的水流速度，后来的水流速度为未知数，让路程÷顺水速度+路程÷逆水速度，分别求得两种情况下轮船往返一次所用的时间，进而让得到的两个代数式相减，根据结果可判断相应的时间大小．
解：设全程为S，船在静水中的速度为V，水的流速为V水，往返一次所需时间为，当水的流速度增大时，则不妨设水的流速由V水1，变为V水2，所以，时间差为(

∵（V+V水1）（V-V水1）-（V+V水2）（V-V水2）=V水22-V水12＞0，
∴V水2＞V水1
∴当水速增加时，往返一次时间变长．
故选B．
【点睛】考查推理与论证；得到两种水速下时间的代数式是解决本题的突破点；比较两个代数式的大小，通常用减法，将得到的结果与0的比较．
【考点】推理与论证
【分析】先判断出乙和丙的车不是红色，进而判断出甲的车是红色，再根据丙的说法不是实话，判断出丁的车是蓝色，再根据甲的说法判断出丙和乙的车的颜色．
解：∵丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，
假设乙的车是红色，
∴乙的说法是实话，
∴丙的车也是红色，和乙的车是红色矛盾，
假设丙的车是红色，
∴丙的说法是实话，而乙说：“丙的车是红色的．”，
∴乙的说法是实话，
∴有两人说的是实话，与只有一个人是说法是实话矛盾，
∴只有甲的车是红色，
∴甲的说法是实话，
∴丙的说法不是实话，
∵丙说：“丁的车不是蓝色的．”
∴丁的车是蓝色，
∴乙和丙的车一个是白色，一个是银色，
∵甲说：“乙的车不是白色．”且甲的说法是实话，
∴丙的车是白色，乙的车是银色，
即：甲的车是红色，乙的车是银色，丙的车是白色，丁的车是蓝色，
故选：C．
【点评】此题是推理与论证题目，解决此类题目先假设某个说法正确，然后根据题意进行分析推理，看是否有矛盾，进而得出结论，
、填空题
【考点】推理与论证
【分析】根据每两个人都握手1次，则每个同学参与了4次握手，但每一次握手算了2次，所以这5人握手的总次数是5×4÷2＝10次．
解：有5名同学，因此每个人握手的次数为5×4＝20次，
由于每两个人握手一次，所以它们握手的总次数为20÷2＝10次．
【点评】本题需注意每一次握手对每个人来说重复算了一次，类似于比赛类问题中的单循环赛制．
【考点】推理与论证
【分析】从最后一句话出发：如果D中奖，那么A也中奖；返回到第一句，如果A中奖，那么B也中奖；继续判断，A已经中奖，那么“如果B中奖，那么C中奖或A不中奖”的条件中，应只考虑C中将的情况．可得到如果B中奖，那么C中奖．所以一共有4个人中奖．
解：根据题意，可将已知条件大致分为三类：（为叙述方便，将中奖简写为“中”）
①如果A中，则B中；
②如果B中，则C中或A不中；
③如果D不中，则A中且C不中；
已知了A中且D中，当A中时，由①知：B也中；
当B中时，由②知C也中（由于A已中奖，因此A不中的条件可以舍去）；
因此A．B、C、D四人都中奖了，由此可得出中奖的人数为4人．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了推理论证，解决本题应从所给的假设入手，然后依据题目所给的条件逐步分析判断．
【考点】推理与论证
【分析】根据甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书，在每个星期天相互交换读完的书，得出3人交换书的所有情况，进而得出乙读的第二本书是甲读的第三本书．
解：设3人分别读了a，b，c三本书，则
甲：a b c
乙：b c a
丙：c a b，
∵乙读的第三本书是丙读的第二本书，
∴乙读的第二本书是甲读的第三本书，
故答案为：三.
【点睛】本题主要考查了推理与论证，根据已知得出交换书的所有情况是解题关键．
【考点】推理与论证
【分析】首先根据小春和小华说的判断出分给小宇蓝色气球，分给小春红色气球，即可得出结论．
解：∵小春说：“我分到的不是蓝气球．”小华说：“我看见张老师把蓝气球和红气球分给上面两位小朋友了．”
∴小宇分到达是蓝色气球，小春分到的是红色气球，
∴剩下的白色气球分给了小华，
即：小春分到红色气球，小宇分到蓝色气球，小华分到白色气球，
故答案为：红、蓝、白．
【点评】此题是推理与论证题目，审清题意，根据小春和小华的说法判断出小宇分到蓝色气球是解本题的关键．
【考点】推理与论证
【分析】欲求得最多是多少人，且如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，我们可把这一百个小伙子用A1～A200来表示，然后根据体重和身高两个条件找出答案．
解：先退到两个小伙子的情形，如果甲的身高数＞乙的身高数，且乙的体重数＞甲的体重数，可知棒小伙子最多有2人．
再考虑三个小伙子的情形，如果甲的身高数＞乙的身高数＞丙的身高数，且丙的体重数＞乙的体重数＞甲的体重数，可知棒小伙子最多有3人．
这时就会体会出小伙子中的豆芽菜与胖墩现象．
由此可以设想，当有200个小伙子时，设每个小伙子为Ai，（i=1，2，…，200），其身高数为xi，体重数为yi，当y200＞y199＞…＞yi＞yi-1＞…＞y1且 x1＞x2＞…＞xi＞xi+1＞…＞x200时，由身高看，Ai不亚于Ai+1，Ai+2，…，A200；
由体重看，Ai不亚于Ai-1，Ai-2，…，A1 所以，Ai不亚于其他199人（i=1，2，…，200）所以，Ai为棒小伙子（i=1，2，…，200）
因此，200个小伙子中的棒小伙子最多可能有 200个．
故答案为：200个．
【点睛】本题主要考查了推理和论证，关键注意本题有身高和体重两种情况，少有一项大，就称作不亚于，从而可求出解，属于基础题．
【考点】推理与论证
【分析】此题含有一个隐含条件，也就是戊没有说：如果我吃一个，那么别的朋友也吃一个…解题可以从这里突破．结合只剩下两个梨，由此进行推理即可得到结论．
解：∵这个题还有一个隐含条件，也就是戊没有说：如果我吃一个，那么别的朋友也吃一个…
如果甲吃一个，则乙吃一个、丙吃一个、丁吃一个、戊吃一个，需要5个梨；
如果乙吃一个，而甲可吃一个可不吃一个，则丙吃一个、丁吃一个、戊吃一个，至少需要4个梨；
如果丙吃一个，而甲和乙可吃一个可不吃一个，则丁吃一个、戊吃一个，至少需要3个梨；
如果丁吃一个，而甲和乙和丙可吃一个可不吃一个，则戊吃一个，至少需要2个梨．
因为题中说只剩下2个梨，
所以丁和戊吃掉了这两个梨，甲、乙、丙都没有吃．
故答案为：丁和戊．
【点评】考查了推理与论证，首先要找出题目的隐含条件，然后利用隐含条件进行推理才能正确得出结论．
、解答题
【考点】推理与论证
【分析】根据题意保证每个人都得到等份的葡萄酒和酒桶，酒桶里的葡萄酒不允许倒出，进而首先得出平均每人分配的葡萄酒和酒桶的数量，进而得出答案．
解：由题意可得：每个人能分得7个酒桶以及每人可得3桶半葡萄酒，
故第1个人：3个桶满+1个桶半+3个桶空，
第2个人：3个桶满+1个桶半+3个桶空，
第3个人：1个桶满+5个桶半+1个桶空．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据题意得出每个人分得的酒桶与酒的数量是解题关键．
【考点】推理与论证
【分析】利用胜、平所获得分数，进而分别分析得出符合题意答案．
解：如果它胜7场，就21分了，不可能．
如果它胜不到4场，那最多3胜9平18分，也不可能．
所以它可能胜4、5、6场．
按19分算，相应地平了7、4、1场．
再用12场去减，负了1、3、5场．
【点评】此题主要考查了推理与论证，利用得分情况分别分析是解题关键．
【考点】推理与论证
【分析】首先根据A的说法是错误的，则B的位置可能有两个．再根据B的说法正确和D的说法是错误的，说明C在B的右边，D在B的左边．剩下的位置即为E．
解：如图，有两种可能．
【点评】此题要用逐步推理的方法，找到它们各自正确的位置．
【考点】推理与论证
【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据题意将三个投票箱所得所有票数相加得出甲、乙、丙三名候选人的得票，进而分别分析得票的张数得出答案．
解：（1）设乙的得票数为x张，则甲的得票数为（3x+31）张，
根据题意得，x+3x+31+244+15＝630，
解得x＝85，3x+31＝286；
答：第二投票箱甲、乙两名候选人的得票数分别为286张，85张；
（2）∵第一、第二、第三投票箱甲得票数为：200+286+97＝583；
乙得票数为：211+85+41＝337；
丙得票数为：147+244+205＝596：
∴596﹣583＝13，
即丙目前领先甲13票，
所以第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选；
596﹣337＝259＞250，
若第四投票所250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选．
【点评】此题主要考查了推理与论证，正确利用表格中数据分析得票情况是解题关键．
【考点】推理与论证
【分析】（1）根据完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m+n种不同的方法，则到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和．从而计算出从A点到达其余各交叉点的走法数；
（2）先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它．
解：（1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走，
∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，
故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1．
答：从A点到B点的走法共有35种．
故答案为：35；
（2）可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数．
完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点，
使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，
见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6＝18种．
故从A点到B点但不经过C点的走法数为35﹣18＝17种．
故答案为：17．
【点评】此题主要考查了推理与论证，能够根据题意中的方法进行计算，掌握这两种不同的计算方法可以使此类题的计算过程更简便．