2.3等差数列的前n项和（一）
一、教学目标
1、等差数列前n项和公式．
2、等差数列前n项和公式及其获取思路；
3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．
二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．
教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．
三、教学过程
（一）、复习引入：
1．等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）
2．等差数列的通项公式：
（1） （2） （3） =pn+q (p、q是常数)
3．几种计算公差d的方法：① － ② ③
4．等差中项：成等差数列
5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
6．数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为.
“小故事”1、2、3
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050．”
教师问：“你是如何算出答案的？”
高斯回答说：“因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．
二、讲解新课：
1．等差数列的前项和公式1：
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得：．
2． 等差数列的前项和公式2： ．
用上述公式要求必须具备三个条件：．
但 代入公式1即得：
此公式要求必须已知三个条件：
总之：两个公式都表明要求必须已知中三个．
公式二又可化成式子： ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式．
三、例题讲解
例1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d ;
(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
解：(1)
(2)设题中的等差数列为，前n项为 则
由公式可得 . 解之得：（舍去）
∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54．
例2、教材P43面的例1
解：
例3．求集合的元素个数，并求这些元素的和．
解：由得
∴正整数共有14个即中共有14个元素
即：7，14，21，…，98 是等差数列．
∴ 答：略．
例4、等差数列的前项和为，若，求.
（学生练学生板书教师点评及规范）
练习：⑴在等差数列中，已知，求.
⑵在等差数列中，已知，求.
例4．已知等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.
解：依题意，得
两式相加得
又所以
又，所以n=26．
例5．已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数
列的前n项的和吗？.
思考：（1）等差数列中，成等差数列吗？
（2）等差数列前m项和为,则、.、是等差数列吗？
练习：教材第118页练习第1、3题．
三、课堂小结：
1.等差数列的前n项和公式1： ；
2.等差数列的前n项和公式2：．
四、课外作业：
1.阅读教材第42～44页；
2.《习案》作业十三．
2.3 等差数列的前项和（二）
教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.
如果An，Bn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，则．
教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.
教学难点：灵活应用求和公式解决问题.
教学过程：
1、 复习准备：
1、等差数列求和公式：，
2、在等差数列{an}中
(1) 若a5=a, a10=b, 求a15; (2) 若a3+a8=m, 求a5+a6;
(3) 若a5=6, a8=15, 求a14; (4) 若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.
二、讲授新课：
1、探究：等差数列的前项和公式是一个常数项为零的二次式.
例1、已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
【结论】数列的前项和与的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即=.
练习：已知数列的前项和，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？
探究：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
（是，，）.
由此，等差数列的前项和公式可化成式子：，当d≠0，是一个常数项为零的二次式.
2. 教学等差数列前项和的最值问题：
① 例题讲解：
例2、数列是等差数列，. （1）从第几项开始有；（2）求此数列的前 项和的最大值.
结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：
（1） 当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值；
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值.
（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值.
练习：在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值.
例3、已知等差数列的前n项的和为，求使得最大的序号n的值。
归纳：（1）当等差数列{an}首项为正数，公差小于零时，它的前n项的和为有最大值，可以通过
求得n
（2）当等差数列{an}首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和为有最小值，可以通过
求得n
三、课堂小结：
求＂等差数列前n项和的最值问题＂常用的方法有：
（1）满足的n值；
（2）由利用二次函数的性质求n的值；
（3）利用等差数列的性质求．
四、课外作业：
作业：《习案》作业十四。
补充题：（依情况而定）
1．(1)已知等差数列{an}的an＝24－3n，则前多少项和最大？
(2)已知等差数列{bn}的通项bn＝2n-17,则前多少项和最小?
解：(1)由an＝24－3n知当时，，当时，，前8项或前7项的和取最大值.
(2)由bn＝2n－17n知当时，，当时，， 前8项的和取最小值.
2. 数列{an}是首项为正数a1的等差数列,又S9= S17.问数列的前几项和最大?
解:由S9= S17得9a5=17 a9,
说明:．
3．首项为正数的等差数列{an},它的前3项之和与前11项之和相等,问此数列前多少项之和最大?
解法一:由S3=S11 得: 解之得
故当n=7时, Sn 最大,即前7项之和最大.
解法二:由
解得:，所以n=7,即前7项之和最大.
解法三:由知: {an}是递减的等差数列.
又S3=S11,
必有，前7项之和最大．
4．已知等差数列{an},满足an =40-4n ,求前多少项的和最大?最大值是多少?
解法一:由
解法二:
令
．
5．已知等差数列{an}，3 a5 =8 a12， a1<0，设前n项和为Sn,求Sn取最小值时n的值．
[分析]求等差数列前n项的和最小,可以用函数的方式去求,亦可以用数列单调性,也可以由完成.
解法一:
点(n,Sn)是开口向上抛物线上一些孤立的点,即在函数的图象上,其对称轴距离x=15.7最近的整数点(16,S16),
解法二:
