课题：数列复习（一）通项公式
教学目标
（1） 知识与技能目标
数列通项公式的求法．
（2） 过程与能力目标
1． 熟练掌握本章的知识网络结构及相互关系.
2． 掌握数列通项公式的求法．
教学重点：掌握数列通项公式的求法．
教学难点：根据数列的递推关系求通项．
教学过程
一、基本概念
数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个
公式就叫做这个数列的通项公式．
二、数列的通项公式的求法
题型一：已知数列的前几项，求数列的通项公式．
例1 根据数列的前几项，写出下列个数列的一个通项公式：
（1）
（2） 0.9,0.99,0.999,0.9999,…；
（3） 1,0,1,0,1,0,…．
【解】（1）注意到前四项中有两项分子均为4，不妨把分子都统一为4，即，，，，…观察符号是正负交替出现，因而有．
(2) 将数列中的项和1比较，就会发现，=0.9=1- =0.99=1-=1-
=0.999=1-=1-,因此就有．
(3)数列中的奇数项为1，偶数项为0，注意的值为2和0，因此有．
题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2 写出下面各数列一个通项公式．
（1） 练习1：；
（2），； 练习2：，；
（3）， 练习3：
（4），； 练习4：，
【解】（1）法一：∵， ∴，
故．
法二：∵，∴
∴｛｝是一个首项为－1，公比为的等比数列，
∴，即．
练习： ∵，∴ ，
∴{}是以为首项，2为公比的等比数列，
∴，所以该数列的通项．
（备用）∵， ∴
∴数列｛｝是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，即．
［点评］若数列{an}满足a1 =a，an+1 = pan +q (p≠1)，通过变形可转化为，即转化为是等比数列求解．
解：（2）由得，即，又，
∴数列｛｝是以1为首项，为公差的等差数列．
∴，∴．
练习2：由得， 即，又，
∴数列｛｝是以1为首项，为公差的等差数列．
∴，∴．
［点评］若数列｛｝满足，，通过取倒可转化为，即转化为｛｝是等差数列求解．
（3）∵， ∴
… …
将上述（n－1）个式子相加，得
即，．
练习3：
是以为首项，2为公比的等比数列．
∴
［点评］若数列｛｝满足，，则用累加法求解，即．
（4）∵，， ∴，
∴，，，…， ，
将上述（n－1）个式子相乘，得，即．
练习4：∵ ，∴ ∴，，，…，，
将上述（n－1）个式子相乘，得，即．
［点评］若数列｛｝满足，，则用迭乘法求解，即．
三、课堂小结：
1． 已知数列的前几项，求数列的通项公式的方法：观察法．
2． 已知递推公式，求特殊数列的通项公式的方法：
转化为等差、等比数列求通项；累加法；迭乘法．
四、课外作业：
《习案》作业二十．
课题：数列求和
教学目标
（1） 知识与技能目标
数列求和方法．
（2） 过程与能力目标
数列求和方法及其获取思路．
教学重点：数列求和方法及其获取思路．
教学难点：数列求和方法及其获取思路．
教学过程
1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法：
（1）
例1．求和：
分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加法．
小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n项和.
2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法：
（2）
例2．求和：
3．分组法求和
例3求数列的前n项和；
例4．设正项等比数列的首项，前n项和为，且
（Ⅰ）求的通项； （Ⅱ）求的前n项和。
例5．求数列的前n项和Sn.
4．裂项法求和
例6．求和：
解：设数列的通项为an，则,
例7．求数列的前n项和.
解：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
三、课堂小结：
1．常用数列求和方法有：
(1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;
(2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；
(3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和；
(4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和；
(5) 并项求和法: 将相邻n项合并为一项求和；
(6) 分部求和法：将一个数列分成n部分求和；
(7) 裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.
四、课外作业：
1．《学案》P62面《单元检测题》
2．思考题
（
（2）．在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
（3）．在各项均为正数的等比数列中，若的值.
解：设
由等比数列的性质 （找特殊性质项）
和对数的运算性质 得
（合并求和）
＝
＝
＝10
第二章数列复习
知识结构
知识纲要
⑴数列的概念 ，通项公式，数列的分类，用函数的观点看数列．
⑵等差、等比数列的定义．
⑶等差、等比数列的通项公式．
⑷等差中项、等比中项．
⑸等差、等比数列的前n项和公式及其推导的方法．
知识归纳
一、等差数列
1.等差数列这单元学习了哪些内容？
2. 等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题:
n≥2，an －an－1＝d (常数)
3. 等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？
an＝a1＋(n－1) d an＝An＋B (d＝A∈R)
4. 等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？
5. 用什么方法推导等差数列前n项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n项和公式结构有什么特点?
Sn＝An2＋Bn (A∈R) 注意: d＝2A !
6. 你知道等差数列的哪些性质?
等差数列{an}中，(m、 n、p、q∈N+):
①an＝am＋(n－m)d ；
②若 m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq ；
③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列；
④ 每n项和Sn , S2n－Sn , S3n－S2n …组成的数列仍是等差数列.
二、等比数列
1. 等比数列的定义
2. 等比数列的通项公式
3. 等比中项
4. 等比数列的判定方法
（1）an=an－1·q（n≥2），q是不为零的常数，an－1≠0{an}是等比数列.
（2）an2=an－1·an＋1（n≥2, an－1,an,an＋1≠0）{an}是等比数列.
（3）an=c·qn（c，q均是不为零的常数）{an}是等比数列.
5. 等比数列的性质
(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时， {an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时， {an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列；当q＜0时，{an}是摆动数列.
(2)an＝am·qn－m(m、n∈N*).
6. 等比数列的前n项和公式
7. 等比数列前n项和的一般形式
8. 等比数列的前n项和的性质
(1)在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则
(2)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，a1、an、n、d（q）、Sn“知三求二”，体现了方程（组）的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有公式法、化归法、倒序相加法、错位相减法、并项求和法、分步求和法、裂项相消法等．
练习
1. 已知: x＞0，y＞0, x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
2．数列的前项和记作，满足，．
证明数列为等比数列；并求出数列的通项公式．
记，数列的前项和为，求．
3．已知实数列是等比数列，其中，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）数列的前项和记为，证明：．
4．设数列的前项和为，为等比数列，且，，
求数列和的通项公式；设，求数列的前项和
等差数列复习
知识归纳
1. 等差数列这单元学习了哪些内容？
2. 等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题:
n≥2，an －an－1＝d (常数)
3. 等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？
an＝a1＋(n－1) d an＝An＋B (d＝A∈R)
4. 等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？
5. 用什么方法推导等差数列前n项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n
项和公式结构有什么特点?
Sn＝An2＋Bn (A∈R) 注意: d＝2A !
6. 你知道等差数列的哪些性质?
等差数列{an}中，(m、 n、p、q∈N+):
①an＝am＋(n－m)d ；
②若 m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq ；
③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列；
④ 每n项和Sn , S2n－Sn , S3n－S2n …组成的数列仍是等差数列.
知识运用
1.下列说法:
(1)若{an}为等差数列,则{an2}也为等差数列
(2)若{an} 为等差数列,则{an＋an＋1}也为等差数列
(3)若an＝1－3n,则{an}为等差数列.
(4)若{an}的前n和Sn＝n2＋2n＋1, 则{an}为等差数列.
其中正确的有( (2)(3) )
2. 等差数列{an}前三项分别为a－1,a＋2, 2a＋3, 则an＝ 3n－2 .
3.等差数列{an}中, a1＋a4＋a7＝39, a2＋a5＋a8＝33, 则a3＋a6＋a9＝27 .
4.等差数列{an}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0 .
5.等差数列{an}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10, a3＋a15＝ 20 .
6. 等差数列{an}, S15＝90, a8＝ 6 .
7.等差数列{an}, a1= －5, 前11项平均值为5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽取的项为 ( A )
A. a11 B. a10 C. a9 D. a8
8.等差数列{an}, Sn＝3n－2n2, 则( B )
A. na1＜Sn＜nan B. nan＜Sn ＜na1 C. nan＜na1＜Sn D. Sn＜nan＜na1
能力提高
1. 等差数列{an}中, S10＝100, S100＝10, 求 S110.
2. 等差数列{an}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0, S1、S2、… S12哪一个最大？
课后作业《习案》作业十九.
等比数列复习
1、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．
注意（1）、q是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即
（2）、由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q也不为0.
（3）、公比q可为正数、负数，特别当q=1时，为常数列a1,a1,……；
q=－1时，数列为a1,－a1,a1,－a1,…….
（4）、要证明一个数列是等比数列，必须对任意n∈N＋，
an＋1÷an=q，或an÷an－1=q（n≥2）都成立.
2、等比数列的通项公式
由a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，……，归纳出an=a1qn－1.此式对n=1也成立.
3、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
4、等比数列的判定方法
（1）、an=an－1·q（n≥2），q是不为零的常数，an－1≠0{an}是等比数列.
（2）、an2=an－1·an＋1（n≥2, an－1,an,an＋1≠0）{an}是等比数列.
（3）、an=c·qn（c，q均是不为零的常数）{an}是等比数列.
5、等比数列的性质
设{an}为等比数列，首项为a1，公比为q.
（1）、当q>1，a1>0或01，a1<0或00时，{an}是递减数列；当q=1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列.
（2）、an=am·qn－m（m、n∈N*）.
（3）、当m＋n=p＋q（m、n、q、p∈N*）时，有am·an=ap·aq.
（4）、{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积.
（5）、数列{λan}（λ为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为qq′的等比数列；数列是公比为的等比数列；{|an|}是公比为|q|的等比数列.
（6）、在{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.
（7）、当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列.
（8）、{an}中，连续取相邻两项的和（或差）构成公比为q的等比数列.
（9）、若m、n、p（m、n、p∈N*）成等差数列时，am、an、ap成等比数列.
6、等比数列的前n项和公式
由此得q≠1时等比数列{an}的前n项和的公式.
因为an=a1qn－1，所以上面公式还可以写成 .
当q=1时，Sn=na1.
7、等比数列前n项和的一般形式
一般地，如果a1,q是确定的，那么
8、等比数列的前n项和的性质
（1）、若某数列前n项和公式为Sn=an－1(a≠0,±1)，则{an}成等比数列.
（2）、若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m=Sn＋qn·Sm.
（3）、在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则
（4）、Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等比数列.
二、举例讲解
1、利用等比数列的通项公式进行计算.
【例1】 在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3=－3,a1a2a3=8 ①求通项公式，②求a1a3a5a7a9.
解析：①设公比为q，则由已知得
【例2】 有四个数，前三个成等差，后三个成等比，首末两项和37，中间两项和36，求这四个数.
解析1：按前三个数成等差可设四个数为：a－d,a,a＋d,，由已知得：
解析2：按后三个数成等比可设四个数为2a－aq,a,aq,aq2，
由已知得：
解析3：依条件设四个数分别为x,y,36－y,37－x，
2、利用等比数列的性质解题.
【例3】等比数列{an}中，
（1）、已知，求通项公式.（2）、已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.
3、如何证明所给数列是否为等比数列.
【例4】 设{an}是等差数列，，已知，，求等差数列的通项an.
4、利用等比数列的前n项和公式进行计算.
【例5】 若数列{an}成等比数列，且an>0,前n项和为80，其中最大项为54，前2n项之和为6560，求S100=?
5、利用an，Sn的公式及等比数列的性质解题.
【例6】 数列{an}中，a1=1，且anan＋1=4n，求前n项和Sn.
解析：由已知得anan＋1=4n ……①
an＋1an＋2=4n＋1 ……②
a1≠0，②÷①得 .
∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…；
a2,a4,a6,…,a2n，…都是公比q=4的等比数列，a1=1,a2=4.
①当n为奇数时，
作业：《学案》P48面双基训练
