9 有理数的乘方
第1课时 乘方的意义
课题
第1课时 乘方的意义(1)
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义.
2.在现实背景中，感受有理数乘方的必要性，掌握有理数乘方的概念，能进行有理数的乘方运算.
3.认识并理解a2的非负数特征．
数学思考
经历探索有理数乘方的运算过程，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力．使学生初步具备类比、特殊到一般、化归及分类讨论的数学思想，并培养学生的逆向思维．
问题解决
在问题情境中让学生获得有理数乘方的初步经验；通过类比、联想、归纳，加强对乘方意义的理解，发展学生的思维能力；经历从乘法到乘方的推广的过程，从中感受化归的数学思想．
情感态度
通过经历探索有理数乘方意义的过程，获得数学活动的体验，鼓励学生积极主动发现问题并解决问题，提高学生分析问题的能力，培养学生的探索精神以及良好的学习习惯，增加学习数学的兴趣．体会与他人合作交流的重要性．
教学
重点
理解有理数乘方的意义，会进行有理数的乘方运算．
教学
难点
有理数的乘方的运算及幂的符号法则．认识并理解a2的非负数特征.
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】用我们学习数学就能成为一名代繁为简的高手．问题1：比如3＋3＋3＋3＋3＋3＝3×( )，这么长的式子就变得简单了.
问题2：我们现在学习了乘法，那么3×3×3×3×3＝( )，你们打算怎样简化一下呢？
处理方式：让学生在轻松的氛围下，自主交流2分钟左右，对学生有思考的每个回答都给以积极的评价.
[师]带着这个问题，我们进入本课“有理数的乘方”的学习．(板书课题：第1课时 乘方的意义)．
通过问题引导学生的思维，激发学生的兴趣，通过类比的方法让学生感受到新的知识和方法的存在，使得知识的学习在迁移中更易于被学生接受.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究】有理数的乘方
问题1：正方形的边长为2，则面积是多少？
问题2：棱长为2的正方体，其体积为多少？
处理方式：让学生思考回答，2·2＝22，读作2的平方(或二次方).2·2·2＝a3，读作2的立方(或三次方).
合作探究
某种细胞每过30 min便由1个分裂成2个，经过5 h，这种细胞由1个分裂成多少个？
图2－9－
处理方式：由学生思考交流，合作探讨如何解决问题．教师就势设计下列问题：
问题1：这个细胞分裂一次可得多少个细胞？
问题2：分裂两次呢？
问题3：分裂三次呢？四次呢？
问题4：那么5 h共分裂了多少次？分裂成多少个细胞？
处理方式：不同学生回答，当学生回答细胞分裂成2×2×2×2×2×2×2×2×2×2个细胞时，教师让学生思考下列问题：
1.这些个式子有什么相同点？
2.想一想：这样的运算能像平方、立方那样简写吗？
2个a相乘可表示为________；3个a相乘可表示为________；
4个a相乘可表示为________；n个a相乘可表示为________.
3.引出乘方的概念(出示投影如下)：
一般地，n个相同的因数a相乘，记作an
1.让学生感受现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用，面对实际问题，主动尝试从数学的角度运用所学知识解决实际问题，并在解决问题的过程中体验到乘法运算的必要性和优越性.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
求n个相同因数a的乘积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数.
an读作“a的n次幂”(或“a的几次方”).
图2－9－
注意：乘方是一种运算，幂是乘方的结果.
处理方式：学生由具体的数据推导出乘方的定义，老师给予适时指导，让学生能分清底数、指数、幂之间的联系和区别．先由学生讨论，然后由小组代表表达自己的观点．在表示乘方的结果时，如何区分底数和指数.
练习：
1.写出下列各幂的底数与指数：
(1)在64中，底数是________，指数是________；
(2)在a4中，底数是________，指数是________；
(3)在(－6)4中，底数是________，指数是________.
2.你能再写出一些幂的形式的例子，并指出他们的底数与指数吗？
3.请你说说下列各数表示什么？它们一样吗？
(1)23，32，3×2；(2)(－5)4与－54.
处理方式：题目较容易，第一题由学生口答．第2题学生仿照例子，写出正确的式子，第3题学生找出各数的不同之处，教师适时点评．在处理这些问题时，学生可能对于(－5)4与－54容易犯错，错误的原因是弄不清底数和指数.
2.通过实际问题，为学生提供数学活动的机会，通过动手实践和合作交流，使学生在现实情境中得出乘方的定义，经历数学知识的发生、发展过程．强调乘方是一种特殊的乘法运算.
3.从三个问题中让学生明确：对于分数的乘方，负数的乘方，书写时一定要注意小括号.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例 计算：
(1)35；(2)(－2)4；(3)－24；(4)－(－4)2；(5)3×52.
解：(1)35＝3×3×3×3×3＝243.
(2)(－2)4＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝16. (3)－24＝－2×2×2×2＝－16.
(4)－(－4)2＝－(－4)×(－4)×(－4)×(－4)＝－256. (5)3×52＝3×5×5＝75.
处理方式：第(1)题教师在黑板上板演，其余4题找学生上台做题，剩下学生在练习本上仿照例子做题，教师巡视，适时点拨．学生在做第(2)题和第(3)题时，容易迷糊，分不清底数．在处理第(5)题时，渗透乘方和乘法的运算顺序问题
变式
计算：(1)； (2)； (3)(－)2；
(4)(－1)3； (5)－(－2)3； (6)－(－)2.
由师生学生完成例题的教学，充分体现学生的主体地位，培养学生的语言表达能力，体现例题的示范作用.
通过变式训练巩固学生的计算能力，让学生逐步熟练有理数的乘方运算，进一步规范幂的书写格式，加深对有理数的乘方运算的印象.
【拓展提升】
1.计算：(－1)2n＋＝________.
2.一个数的5次幂是负数，则这个数的7次幂是________数，4次幂是________数.
3.一个数的平方等于36，则这个数为________；
一个数的平方等于它本身，这个数是________；
一个数的立方等于它本身，这个数是________.
拓展提升，提高学生应用知识的能力.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂检测】
1.对于(－2)4与－24，下面说法正确的是( )
A.它们的意义相同，结果相等
B.它们的意义相同结果不等
C.它们的意义不同，结果相等
D.它们的意义不同，结果不等
2.(－4)×(－4)×(－4)×(－4)×(－4)写成乘方的式子是________；(－)4中，底数是________，指数是________.
3.－23________(－2)3(填“>”“<”或“＝”).
4.(－1)10＝______； (－1)9＝______；(－3)3＝______.
5.计算：(1)(－3)3； (2)－； (3)(－0.2)2；
(4)－(－14)2； (5)－(－)3； (6)(－2)2－(－)3.
6.若a2＝16，b2＝9，求a－b的值.
当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
【板书设计】
第1课时 乘方的意义
乘方定义：
例：
投
影
区
学生活动区
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
通过类比乘法与加法的关系，使得学生对乘方和乘法的关系有大致的猜测和感性的认识，为下一步的验证提供方向，也感受数学中类比的思想．
②[讲授效果反思]
通过具体的例子，逐步引入乘方的概念，并体会到乘方与乘法的关系，进而理解并掌握乘方运算，同时体会幂的底数与相同因数的关系和指数与因数个数的关系，有效地解决幂的相关问题，让学生对乘方和幂都有清晰地认识．
③[师生互动反思]
_________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号________________________________________
错题题号________________________________________
反思，更进一步提升．
9 有理数的乘方
第2课时 有理数乘方的应用
课题
第2课时 有理数乘方的应用
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.进一步理解有理数乘方的意义并能解决一些相关的数学问题.
2.经历有理数乘方的符号法则的探究过程，通过实际计算发现底数为10的幂的特点．
数学思考
利用有理数的乘方运算解决一些简单实际问题，使学生初步了解转化、类比、归纳的数学思想方法．
问题解决
通过实例感受有理数的乘方运算，通过对解决过程的反思获得解决问题的经验．
情感态度
参与操作折纸活动让学生在探索问题的过程中体验学习数学的乐趣，增强自主学习、合作学习的意识与习惯．
教学
重点
利用有理数的乘方法则准确地进行有理数的乘方运算，并适时总结运算规律．
教学
难点
把实际问题转化成有理数的乘方运算，以此来解决实际问题．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
复习回顾
问题1：什么是有理数的乘方？什么叫幂？
处理方式：学生回答，教师适时纠正，并板书
图2－9－
回顾乘方的意义，可以提高学生共同归纳的兴趣，为下一步的学习做铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
阅读教科书第61页读一读栏目“棋盘摆米”中的第一自然段后提出问题：棋盘里的米有多少呢？国王的国库里有这么多米吗？
图2－9－
处理方式：学生分小组讨论，以理解乘方的意义．
通过故事的趣味性吸引学生的注意力激发学生的求知欲，让学生自己想办法如采用估测或查阅资料等解决问题．同时引入新课：本节课我们来学习解决这类问题的方法并从中获得启示.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究】请同学们完成下列两组题目，并与同伴交流.
计算下列各式的值，符号有什么规律？
(1)22，23，24，25； (2)(－2)2，，(－2)4，(－2)5.
处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，最后板书符号规律.
规律总结：
有理数乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数.
【探究】折纸与楼高
珠穆朗玛峰是世界最高峰，它的海拔高度是8844米．把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰？
(1)纸的厚度为0.1 mm，对折一次后，厚度为2×0.1 mm，对折两次后，厚度为多少毫米？
(2)假设对折20次后，厚度为多少毫米？
(3)若每层楼高度为3米，这张纸对折20次后约有多少层楼高？
(4)假设对折30次，其厚度能否超过珠穆朗玛峰？
(5)通过活动，你从中得到了什么启示？
处理方式：将问题细化成5个小问题，引导学生逐个解决，同时借助于计算机显示230＝1073741824.对折20次后厚度为0.1×220mm，对折20次后大约有35层楼高.
1.本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对有理数乘方的符号规律进行归纳总结.
2.培养学生应用知识解决问题的能力，进一步加深对乘方的意义的理解，积累应用数学知识解决问题的经验.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例 计算：(1)102，103，104，105；
(2)(－10)2，(－10)3，(－10)4，(－10)5.
处理方式：先给学生1分钟时间观察例3两式的特点，再分别口述解题过程，教师板书．教师点评归纳10的正整数次幂的规律性.
变式
1.计算：(1)－；(2)－(－)2；(3)－52；(4)－.
2.判断下列各式的符号：
(1)(－5)2；(2)(－5)5；(3)－(－5)6；(4)－(－5)7.
【拓展提升】
1.已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，…，根据上述规律，请你猜想211的末尾数字是( )
A.2 B．4
C.6 D．8
2.若(1－m)2＋|n＋2|＝0，则(m＋n)2015的值为( )
A.－1 B．1
C.3 D．无法确定
通过例题和变式训练体会有理数的乘方的符号法则，进一步加深对有理数乘方意义的理解.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
3.一根1米上的木棒，第1次截去一半，第2次又截去剩下的一半，如此下去，第7次后剩下的木棒有多长？如果木棒原长为3.2米呢？
图2－9－
4.如图2－9－，将一个边长为1的正方形分割成7部分，其中部分①是边长为1的正方形面积的一半，部分②是部分①的一半，部分③是部分②的一半，…以此类推.
(1)阴影部分的面积是多少？(2)由此启发，你能求出下式的值吗？＋＋＋＋＋
学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂检测】
1.计算：(1)－34；(2)－(－)2；(3)－(－3)3；(4)－；(5)－.
2.判断下列程式结果的符号，你能发现什么规律？
(1)(－5)4；(2)(－5)5；(3)(－5)6；(4)－(－5)7.
3.若(x－2)4＋|3＋y|＝0，求x－y的值.
4.面积为3.2平方米的长方形纸片，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次截后剩下的面积是多少？
通过练习进一步熟悉有理数乘方的运算及乘方的符号法则.
【板书设计】
第2课时 有理数乘方的应用
有理数的乘方
运算法则：
例1
例2
投
影
区
学生活动区
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在复习乘方和幂基础上，通过故事的趣味性吸引学生的注意力，激发学生的求知欲，同时引入新课.
②[讲授效果反思]
通过计算引导学生探究有理数乘方的符号的规律，并进行归纳总结，体会乘方运算时结果变化的幅度，感受数学对实际生活的帮助.
③[师生互动反思]
学生的探究活动进行的比较好，学生的交流充分，部分学生独立思考的时间不足，对问题没有自己的理解和认识就参与到了交流中，导致对问题的认识不深刻，存在学习上的隐患.
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思，更进一步提升.
