人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：04【提高】充分条件与必要条件

充分条件与必要条件
【学习目标】
1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；
2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；
3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.
4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.
【要点梳理】
要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念
符号与的含义
“若，则”为真命题，记作：；
“若，则”为假命题，记作：.
充分条件、必要条件与充要条件
①若，称是的充分条件，是的必要条件.
②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.
要点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.
①“若，则”为真命题；
②是的充分条件；
③是的必要条件
以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.
要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系
①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；
③若，且，即，则、互为充要条件；
④若，且，则是的既不充分也不必要条件.
从集合与集合间的关系看
若p：x∈A，q：x∈B，
①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；
②若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件；
③若A=B，则、互为充要条件；
④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.
要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：
①确定哪是条件，哪是结论；
②尝试用条件推结论，
③再尝试用结论推条件，
④最后判断条件是结论的什么条件.
要点三、充要条件的证明
要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）
要点诠释：对于命题“若，则”
①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；
②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；
③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.
【典型例题】
类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定
例1. “x<－1”是“x2－1>0”的________条件．
【解析】，故，但，
∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分而不必要条件．
【点评】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”；有时需要将条件等价转化后再判定.
举一反三：
【变式1】指出下列各题中，是的什么条件？
(1) : ， : ；
(2) : ，: 抛物线过原点
(3) : 一个四边形是矩形，: 四边形的邻边相等
【答案】
(1)∵: 或, :
∴且,∴是的必要不充分条件；
(2)∵且,∴是的充要条件；
(3)∵且，∴是的既不充分条件也不必要条件.
【变式2】判断下列各题中是的什么条件.
（1）:且, :
（2）:, : .
【答案】
（1）是的充分不必要条件.
∵且时，成立；
反之，当时，只要求、同号即可.
∴必要性不成立.
（2）是的既不充分也不必要条件
∵在的条件下才有成立.
∴充分性不成立，同理必要性也不成立.
【变式3】设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件，那么丙是甲的（ ）.
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】A；
【解析】由已知有甲乙，丙乙且乙丙.
于是有丙乙甲，且甲丙（否则若甲丙，而乙甲丙，与乙丙矛盾）
故丙甲且甲丙，所以丙是甲的充分非必要条件.
例2. （2018 天津）设 ，则“ ”是“ ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】的解集为（1，3），的解集为，故 是的充分不必要条件。
故选：A。
【总结升华】
①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；
②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.
举一反三：
【变式1】已知p：0（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】q：|x-1|<2，解得-1如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，
从图中看P(Q， pq，但qp，所以选择（A）.
【变式2】下列叙述中正确的是(　　)
A． 若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B． 若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
C． 命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D． l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
【答案】 (1)对于选项A
若a，b，c∈R，当“ax2＋bx＋c≥0”对于任意的x恒成立时，则有：
①当a＝0时，b＝0，c≥0，此时b2－4ac＝0，b2－4ac≤0成立；
②当a＞0时，b2－4ac≤0．
∴“ax2＋bx＋c≥0”是“b2－4ac≤0”充分不必要条件，“b2－4ac≤0”是“ax2＋bx＋c≥0”必要不充分条件．
故选项A不正确．
(2)对于选项B
当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，
∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．
反之，当a＞c时，若b＝0，则ab2＝cb2，不等式ab2＞cb2不成立．
∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．
故选项B不正确．
(3)对于选项C
结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，
命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2＜0”．
故选项C不正确．
(4)对于选项D
命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．
故答案为：D
　
【变式3】设，则条件“”的一个必要不充分条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【变式4】（2018 德州一模）已知p：“直线l的倾斜角”；q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 p：“直线l的倾斜角”，则直线l的斜率k=tanα＞1或k＜0；
q：“直线l的斜率k＞1”，
则p是q的必要不充分条件。
故选B。
类型二：充要条件的探求与证明
例3. 设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【解析】
（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，
于是|x+y|=|x|+|y|
如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，
当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.
当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.
总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.
（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，
即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，
∴xy≥0.
综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【点评】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.
判断命题的充要关系有三种方法：
（1）定义法；
（2）等价法，即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.
（3）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.
举一反三：
【变式1】已知a, b, c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
【答案】
（1）充分性:若ac<0，则Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2,
∵ac<0, ∴x1·x2=<0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.
（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x1>0, x2<0，
则x1·x2=<0，∴ac<0
综上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
【变式2】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.
【答案】
（1）a=0时适合.
（2）当a≠0时，显然方程没有零根，
若方程有两异号的实根，则必须满足；
若方程有两个负的实根，则必须满足
综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1
类型三：充要条件的应用
例4.已知若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.
【答案】
【解析】由解得
又由解得
p是q的充分不必要条件，所以
或
解得
【点评】
解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A、B，再由它们的因果关系，得到A与B的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.
举一反三：
【变式1】已知命题p：1－c0)，命题q：x>7或x<－1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是________．
【答案】0【解析】命题p对应的集合A＝{x|1－c0}，同理，命题q对应的集合B＝{x|x>7或x<－1}．因为p是q的既不充分又不必要条件，所以或A不是B的子集且B不是A的子集，所以，①或，②，解①得c≤2，解②得c≥－2，又c>0，综上所述得0【变式2】已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】－2≤a≤2
【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
∵p是q的充分不必要条件，
∴，即A(B，
可知或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内
∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.
【巩固练习】
一、选择题
1.（2018 天津文）设，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．命题p：不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R，命题q：0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.（2018 宁城县模拟）已知a＜b，函数f（x）=sinx，g（x）=cosx。命题p：f（a）·f（b）＜0，命题q：函数g（x）在区间（a，b）内有最值。则命题p是命题q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(2018 ·北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且．“m∥β”是“α∥β”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(2018 湖北)设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；
，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
二、填空题
7．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是________．
8．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)，都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的________条件．
9．用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空：
(1)“m≠3”是“|m|≠3”的________；
(2)“四边形ABCD为平行四边形”是“AB∥CD”的________；
(3)“a>b，c>d”是“a－c>b－d”的________．
10. 函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是________．
三、解答题
11．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：x＝1；　q：x－1＝.
(2)p：－1≤x≤5；　q：x≥－1且x≤5.
(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形．
12．已知p: x2-8x-20>0, q: x2-2x+1-a2>0, 若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.
13．不等式x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，求m的取值范围．
14．证明：方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
15.求不等式(a2－3a＋2)x2＋(a－1)x＋2>0的解是一切实数的充要条件．
【答案与解析】
1. 【答案】C
【解析】
,所以充分性不成立；，必要性成立，故选C
2. 【答案】　A
【解析】　若b＝c＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c＝ax2经过原点，
若二次函数y＝ax2＋bx＋c过原点，则c＝0，故选A.
3. 【答案】　B
【解析】　当a＝0时，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R；
当，即00的解集为R.
综上，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R时，0≤a<1，故选B.
4. 【答案】　A
【解析】∵f（a）·f（b）＜0，
又∵f（x）在R上连续
根据函数的零点判定定理可知，函数f（x）在（a，b）上存在零点
根据正弦函数、余弦函数的性质可知，正弦函数的零点是余弦函数的最值点
∴g（x）=cosx在（a，b）上有最值
∴pq
若g（x）=cosx在（a，b）上有最值则根据余弦函数的零点是正弦函数的零点
则f（x）=sinx在（a，b）上有零点，但是由于函数f（x）=sinx在（a，b）不一定单调，f（a）f（b）＜0不一定成立
故命题p：f（a）·f（b）＜0，命题q：函数g（x）在区间（a，b）内有最值的充分不必要条件
故选A。
5. 【答案】B
【解析】
因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.
6. 【答案】A
【解析】
对命题p：a1，a2，…，an成等比数列，则公比且an≠0；
对命题q，①当an=0时，成立；
②当an≠0时，根据柯西不等式，等式成立，
则，所以a1，a2，…，an成等比数列，所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件. 故选A
7. 【答案】m＝0
【解析】当m＝0时，原方程即为x＝2，满足条件；当m≠0时，，m＝1或，
Δ＝(m＋1)2－8m2；m＝1及均使Δ<0，故充要条件是m＝0.
8. 【答案】　充分不必要
【解析】　点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}为等差数列，
但是{an}是等差数列却不一定就是an＝2n＋1.
9. 【答案】　(1)必要不充分条件
(2)充分不必要条件
(3)既不充分也不必要条件
10．【答案】b＝0
【解析】f(x)关于y轴对称?.
11. 【解析】　(1)充分不必要条件
当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
(2)充要条件
∵－1≤x≤5?x≥－1且x≤5.
(3)充分不必要条件
∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．
12．【解析】解不等式x2-8x-20>0，得p: A={x|x>10或x<-2}
解不等式x2-2x+1-a2>0，得q: B={x|x>1+a或x<1-a, a<0}
依题意，pq且qp, 说明AB，
于是有 且等号不同时成立，解得：0∴正实数a的取值范围是013．【解析】　令f(x)＝x2－2mx－1
要使x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，只需f(x)＝x2－2mx－1在[1,3]上的最小值大于0即可．
（1）当m≤1时，f(x)在[1,3]上是增函数，
f(x)min＝f(1)＝－2m>0，解得m<0，
又m≤1，∴m<0.
（2）当m≥3时，f(x)在[1,3]上是减函数，
f(x)min＝f(3)＝8－6m>0，解得，
又m≥3，∴此时不成立．
（3）当10不成立，
综上所述，m的取值范围为m<0.
14. 【解析】证明：(1)充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，
∴ax2＋bx＋c＝ax2＋bx－a－b＝0，
∴a(x－1)(x＋1)＋b(x－1)＝0，
∴(x－1)[a(x＋1)＋b]＝0，∴x＝1或a(x＋1)＋b＝0，
∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
(2)必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a＋b＋c＝0.综上(1)(2)命题得证．
15. 【解析】　讨论二次项系数：
(1)由a2－3a＋2＝0，得a＝1或a＝2.
当a＝1时，原不等式为2>0恒成立，∴a＝1适合．
当a＝2时，原不等式为x＋2>0，即x>－2，它的解不是一切实数，
∴a＝2不符合．
(2)当a2－3a＋2≠0时，必须有
解得
∴a<1或.
综上可知，满足题意的充要条件是a的取值范围是a≤1或.