人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：07【基础】全称量词与存在量词

全称量词与存在量词
【学习目标】
1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；
2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“” “?”来表述相关的教学内容；
3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；
4. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
【要点梳理】
要点一、全称量词与全称命题
全称量词
全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.
常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”.
全称命题
全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.
一般形式：“对中任意一个，有成立”，
记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.
要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.
要点二、存在量词与特称命题
存在量词
定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.
常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“?”表示，读作“存在?”.
特称命题
特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.
一般形式：“存在中一个元素，有成立”，
记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.
要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在使.
（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.
（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述
要点三、 含有量词的命题的否定
对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题：，
的否定：，；
从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意”的否定为“，”.
对含有一个量词的特称命题的否定?
特称命题：，
的否定：，；
从一般形式来看，特称命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，”.
要点诠释：
(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；
(2)命题的否定与命题的否命题是不同的.?
（3）正面词：等于?、 大于??、小于、???是、???都是、??至少一个??、至多一个、??小于等于 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、?一个也没有、?至少两个?、?大于等于.
要点四、全称命题和特称命题的真假判断
①要判定全称命题“，”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明成立；要判定全称命题“，”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得不成立，即举一反例即可.
②要判定特称命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得成立即可；要判定特称命题“，”是假命题，必须证明在集合M中，使 成立得元素不存在.

【典型例题】
类型一：量词与全称命题、特称命题
例1. 判断下列命题是全称命题还是特称命题.
（1）xR，x2+1≥1；
（2）所有素数都是奇数；
（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（4）有些整数只有两个正因数.
【解析】
（1）有全称量词“任意”，是全称命题；
（2）有全称量词“所有”，是全称命题；
（3）有存在量词“存在”，是特称命题；
（4）有存在量词“有些”；是特称命题。
【总结升华】通过量词来确定命题是全称命题还是特称命题. 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”，“任意”，“任何”，“存在”，“有的”，“至少有”等词语，或隐含有这些词语的意思.
举一反三：
【变式】下列命题中全称命题的个数为(　　)
①平行四边形的对角线互相平分　
②梯形有两边平行　
③存在一个菱形，它的四条边不相等
A．0　　　　 B．1　　　　
C．2　　　　 D．3
【答案】　C
【解析】①②是全称命题，③是特称命题．
类型二：判断全称命题、特称命题的真假
例2. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假.
（1）对数函数都是单调函数；
（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；
（3），是无理数；
（4），.
【解析】
（1）全称命题，真命题.
（2）特称命题，真命题.
（3）全称命题，假命题，例如，但是有理数.
（4）特称命题，真命题.
【总结升华】
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；
（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.
举一反三：
【变式1】下列全称命题中真命题的个数为（ ）
①末位是0的整数，可以被2整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
③正四面体中相邻两侧面的夹角相等.
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【变式2】判断下列命题的真假.
（1）p：xR，；
（2）p：xN，.
【答案】（1）命题为真；
（2）命题为假；
类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定
例3. 写出下列命题的否定并判断真假
（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
（2）p：每一个非负数的平方都是正数；
（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于；
（4）p：有的四边形没有外接圆；
（5）p：某些梯形的对角线互相平分.
【解析】（1）存在未位数字是0或5的整数但它不能被5整除，假命题；
（2）存在一个非负数的平方它不是正数，真命题；
（3）任何一个三角形它的内角和都不大于180°，真命题；
（4）所有的四边形都有外接圆，假命题；
（5）任一梯形的对角线都不互相平分，真命题
【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题.
举一反三：
【变式1】(2018 浙江)命题“ 且的否定形式是（ ）
A. 且 B. 或
C. 且 D. 或
【答案】D.
【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.
【变式2】（2018 浙江理） 命题“，使得”的否定形式是
A．，使得 B．，使得
C．，使得 D．，使得
【答案】D
【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
【变式3】写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）；
（2）所有的正方形都是矩形；
（3）；
（4）至少有一个实数x0，使得.
【答案】
（1）：（假命题）；
（2）：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；
（3）：（真命题）；
（4）：（真命题）.
类型四：含有量词的命题的应用
例4．已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【解析】
q:x2-2x+1-m2≤0([x-(1-m)][x-(1+m)]≤0
又∵m>0
∴不等式的解为1-m≤x≤1+m
∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件”
∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)的解集的子集.

∴实数m的取值范围是
【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.
举一反三：
【变式1】已知p：x≠2或y≠3；q：x+y≠5，判断 p是q的什么条件.
【答案】；
q
∴p是q的必要不充分条件.
【变式2】(2018 山东)若“，”是真命题，则实数m的最小值为 。
【答案】1
【解析】若“，”是真命题
则，其中
函数 的最大值为1

即的最小值为1，所以答案应填1.
【变式3】（2018 江苏模拟）若函数，g（x）=a（x－a+3）同时满足以下两条件：
①，f（x）＜0或g（x）＜0；
②，f（x）g（x）＜0。
则实数a的取值范围为________。
【答案】
∵已知函数，g（x）=a（x－a+3），
根据①，f（x）＜0，或g（x）＜0，
即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值，
由f（x）≥0，求得x≤－1，
即当x≤－1时，g（x）＜0恒成立，
故，解得：a＞2；
根据②，使f（x）·g（x）＜0成立，
∴g（1）=a（1－a+3）＞0，
解得：0＜a＜4，
综上可得：a∈（2，4），
故答案为：（2，4）
【巩固练习】
一、选择题
1．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是(　　)
A．任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
B．存在x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
C．任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy
D．存在x＜0，y＜0，都有x2＋y2≤2xy
2．下列特称命题中真命题的个数是(　　)
①?x∈R，x≤0　②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数　③?x∈{x|x是整数}，x2是整数
A．0 B．1
C．2 D．3
3．（2018 河南模拟）已知函数，，则下列命题为真命题的是( )
A．都有
B．都有
C．使得
D．使得
4．（2018 衡水校级模拟）命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（ ）
A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1
C．存在x0∈R，使得x02≥1 D．存在x0∈R，使得x02＜1
5．(2018 河南)设命题,则为
A． B．，
C． D．，
6．下列命题中，是真命题且是全称命题的是(　　)
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x，
D．对数函数在定义域上是单调函数
二、填空题
7．命题“末位是0的整数，可以被5整除”________全称命题．(填“是”或“不是”)
8．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．
9．下列命题中真命题为________，假命题为________．
①末位是0的整数，可以被2整除　
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等　
③正四面体中两侧面的夹角相等　
④有的实数是无限不循环小数　
⑤有些三角形不是等腰三角形　
⑥所有的菱形都是正方形
10．（2018 湛江二模）若（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是________。

三、解答题
11．写出下列命题的否定．
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)对任意实数x，存在实数y，使x＋y>0；
(4)有些质数是奇数．
12．判断命题的真假，并写出命题的否定．
(1)存在一个三角形，它的内角和大于180°.
(2)所有圆都有内接四边形．
13．写出下列命题的否定：
(1)若2x>4，则x>2；
(2)若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根；
(3)可以被5整除的整数，末位是0；
(4)被8整除的数能被4整除；
(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
14. 命题“存在x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，求实数a的取值范围．
15.设有两个命题：p：不等式|x|+|x－1|≥m的解集为R；q：函数是减函数.若这两个命题中有且只有一个真命题，求实数m的范围.
【答案与解析】
1. 【答案】　A
【解析】 全称命题是任意x，y∈R，x2＋y2≥2xy都成立，故选A.
2. 【答案】　D
【解析】　①②③都是真命题．
3. 【答案】 B
【解析】 函数
显然都有f(x)>g(x),故选：B.
4. 【答案】 D．
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x0∈R，使得x02＜1。
故选D。
5. 【答案】C
【解析】∵命题的否定，∴为：，n2≤2n，故选C
6. 【答案】　D
【解析】　A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D.
7. 【答案】　是
【解析】　所有末位为0的整数都可以被5整除．
8. 【答案】　?x，y∈R，x＋y>1；?x，y∈R，x＋y≤1；假
【解析】　注意练习符号?、?、?、∧、∨等，原命题为真，所以它的否定为假．
9. 【答案】　①②③④⑤　⑥
【解析】正方形的集合是菱形集合的子集.
10．【答案】　.
【解析】（a＞0且a≠1），
∴0＜a＜1，，
∴，即。
则实数a的取值范围是。
故答案为：．
11.【答案】
(1)的否定：有些自然数的平方不是正数．
(2)的否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
(3)的否定：存在实数x，对所有实数y，有x＋y≤0.
(4)的否定：所有的质数都不是奇数．
12. 【答案】　
(1)假命题
所有的三角形，它的内角和都不大于180°.
(2)真命题
存在一个圆，没有内接四边形．
13．【答案】　(1)的否定：存在实数x0，虽然满足2x0>4，但x0≤2.
(2)的否定：存在一个实数m≥0使x2＋x－m＝0无实根．
(3)的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.
(4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．
(5)存在一个四边形，虽然它是正方形，则它的四条边中至少有两条不相等．
14．【答案】　
【解析】　题目中的命题为假命题，则它的否命题“任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即可解得.
15. 【答案】
【解析】 由不等式|x|+|x－1|≥m的解集为R，得m≤1；
由函数是减函数，得
若这两个命题中有且只有一个真命题，
则