人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：09《常用逻辑用语》全章复习与巩固

《常用逻辑用语》全章复习与巩固
【学习目标】
1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
2.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
【知识网络】
/
【要点梳理】
要点一：命题
（1）命题的概念：可以真假的语句叫做命题. 一般可以用小写英文字母表示. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.
（2）全称量词与全称命题
全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.
全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号表示为，
（3）存在量词与存在性命题
存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.
存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题. 符号表示为，.
要点二：基本逻辑联结词
基本逻辑联结词有“或”、“且”、“非”.
（1）：用“且”把命题和联结起来，得到的新命题，读作“且”，相当于集合中的交集.
（2）：用“或”把命题和联结起来，得到的新命题，读作“或”，相当于集合中的并集.
（3）：对命题加以否定，得到的新命题，读作“非”或“的否定”，相当于集合中的补集.
要点三：充分条件、必要条件、充要条件
对于“若p则q”形式的命题：
①若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.
判断命题充要条件的三种方法
（1）定义法：
（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断，比如A(B可判断为A(B；A=B可判断为A(B，且B(A，即A(B.
如图：
“”“，且”是的充分不必要条件.
“”“”是的充分必要条件.
/ /
要点诠释：
（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.
（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.
“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.
要点四：四种命题及相互关系
如果用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则命题的四种形式为：
原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p.
四种命题的关系

①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.
②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.
除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.
要点五：命题真假的判断方法
（1）对于一般的命题，结合所学知识经过推理论证或举反例来判断；
（2）对于含有逻辑联结词的命题的真假判断，可参考下表（真值表）：
命题的真假判断（利用真值表）：
非
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
（3）对于“若，则”型的命题，因为原命题与逆否命题同真或同假，故可以利用其逆否命题的真假来判断.
要点诠释：
①当、同时为假时，“或”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；
②当、同时为真时，“且”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”；
③“”与的真假相反.
要点六：量词与全称命题、特称命题
全称量词与存在量词
（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“?”表示，读作“对任意?”。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)?是关于x的命题.
（2）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在?”。
含有存在量词的命题，叫做特称命题。
特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)?是关于x的命题.
对含有一个量词的命题进行否定
（1）对含有一个量词的全称命题的否定
?????全称命题p：?，他的否定：? 。全称命题的否定是特称命题。??? （2）对含有一个量词的特称命题的否定? ?特称命题p：?，他的否定：? 。特称命题的否定是全称命题。 要点诠释：
（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.?命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。
（2）一些常见的词的否定：
正面词
等于
大于
小于
?是
都是
一定是
至少一个
至多一个
否定词
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
一定不是
一个也没有
至少两个
【典型例题】
类型一：命题的四种形式
例1. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。
【思路点拨】找准条件和结论，根据定义写出命题，再利用知识进行判断.
【解析】逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题；
否命题：已知是实数，若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题；
逆否命题：已知是实数，若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题。
【总结升华】
1.“已知是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；
2. 互为逆否命题的两个命题同真假；
3. 注意区分命题的否定和否命题.
举一反三：
【变式1】“已知是实数，若，，则”，写出下面相应的命题，并判断真假.
上述命题的逆命题为： , ；
上述命题的否命题为： , ；
上述命题的否定为： , .
【答案】
逆命题：已知 是实数，若 ，则，；假命题。
否命题：已知是实数，若或，则；假命题。
命题的否定：已知是实数，若，，则.假命题。
【变式2】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。
（1）若q<1，则方程x2+2x+q=0有实根；
（2）若x2+y2=0,则x,y全为零。
【答案】
（1）逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则q<1，为假命题；
　　 否命题：若q≥1，则方程x2+2x+q=0无实根，假命题；
　　 逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根，则q≥1，真命题。
（2）逆命题：若x,y全为零，则x2+y2=0,真命题；
否命题：若x2+y2≠0,则x,y不全为零，真命题；
逆否命题：若x,y不全为零，则x2+y20，真命题。
例2. 写出下列命题的否命题：
（1）若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0；
（2）若x2+y2=0，则x，y全是0.
【解析】
（1）若，则a，b，c都不为0；
（2）若则x，y不都为0.
【总结升华】注意否命题的结构和含有逻辑量词的命题的否定.
举一反三：
【变式】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。
（1）若q<1，则方程x2+2x+q=0有实根；
（2）若x2+y2=0,则x,y全为零。
【答案】
（1）逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则q<1，为假命题；
　　 否命题：若q≥1，则方程x2+2x+q=0无实根，假命题；
　　 逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根，则q≥1，真命题。
（2）逆命题：若x,y全为零，则x2+y2=0,真命题；
否命题：若x2+y2≠0,则x,y不全为零，真命题；
逆否命题：若x,y不全为零，则x2+y20，真命题。
类型二：充分、必要条件，充要条件的判断
例3. 填空（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种）。
（1）已知：：；：方程有实根. 则是的 条件；
（2）已知：:；:.则是的 条件.
【思路点拨】运用二次方程有无实根，解绝对值不等式及一元二次不等式进行判断.
【解析】
(1)方法一：定义法
∵方程有实根，
且方程有实根.
　　所以是的充分而不必要条件。
方法二：从集合的观点入手
：
：方程有实根
　　因为，所以是的充分而不必要条件.
（2）:；:.
/ /
由图知：但,故是的充分不必要条件,故是的充分不必要条件.
【总结升华】1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；
2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是与关系.
举一反三：
【变式1】指出下列各组命题中, A是B的什么条件
（1）A：；B：方程有实根；
（2）A：；B：；
（3）A：圆与直线相切；B：.
【答案】
(1)必要非充分条件．
∵或，
方程有实根或，
∴或/或，即/.
所以A是B的必要非充分条件．
(2)必要非充分条件
∵；，
所以A推不出B，但B可以推出A，
故A是B的必要非充分条件．
(3)充要条件
直线与圆相切 圆(0，0)到直线的距离，
即.
所以A是B的充要条件.
【变式2】设aR，则a>1是的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 根据幂函数的性质，a>1时成立；但当时也成立，设aR，则a>1是的充分不必要条件.
【变式3】(2018 北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且．“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
因为/，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.
类型三：命题真假的判断
例4. 已知下列各组命题，写出满足条件的新的形式命题，并判断真假.
（1）：是方程的根，：是方程的根； p或q，
（2）：， ：是有理数； p且q，
（3）：若，则或； 非p
【解析】
（1）p或q：或是方程的根，真命题；
（2）p且 ：是大于3的有理数，假命题；
（3）非p：若，则且，假命题；
【总结升华】
1. 判断复合命题的真假的步骤：
①确定复合命题的构成形式；
②判断其中简单命题p和q的真假；
③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.
2. 条件“或”是“或”的关系，否定时要注意.
举一反三：
【变式1】若命题P：，则命题“非P”是（ ）
A．且 B．或 C． D．
【答案】A ；
【解析】∵因为命题可陈述为：属于集合A或属于集合B，∴非：即不属于集合A且也不属于集合B，即非：且，故选A.
【变式2】例4 若命题p∨q是真命题，?p是真命题，则（ ）
（A）p和q都是真命题
（B）p和q都是假命题
（C）p是真命题，q是假命题
（D）p是假命题，q是真命题
【答案】D
【变式3】满足“p或q”为真，“非p”为真的是 （填序号）
（1）p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q: ＝sinx在第一象限是增函数
（2）p：；q: 不等式的解集为
（3）p:圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是.
【答案】(2)；
【解析】由已知条件，知命题p假、命题q真. 选项(1)中，命题p真而命题q假，排除；选项(2)中命题p假、命题q真；选项(3)中，命题p和命题q都为真，排除；故填(2)．
类型四：全称命题与存在性命题真假的判断
例5. 判断下列命题的真假：
（1）；（2）.
【解析】
（1）由于，当时，不成立，故(1)为假命题；
（2）由于，当时能使，所以（2）为真命题.
【总结升华】1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；
2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.
举一反三：
【变式1】命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．?x∈(－∞，0)，x3＋x＜0 B． ?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．?x0∈[0，＋∞)，x03＋x0＜0 D． ?x0∈[0，＋∞)，x03＋x0≥0
【答案】C
【解析】∵命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是一个全称命题．
∴其否定命题为：?x0∈[0，＋∞)，x03＋x0＜0
故选C．
【变式2】写出下列命题的否定，并判断真假。
（1）； （2）所有的正方形都是矩形；
（3）； （4）至少有一个实数x0，使得。
【答案】
（1）：（假命题）；
（2）：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；
（3）：（真命题）；
（4）：（真命题）。
【变式3】（2018 晋中模拟）已知f（x）=ex－x，g（x）=lnx+x+1，命题，f（x）＞0，命题，使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（ ）
A．p是真命题，，f（x0）＜0
B．p是假命题，，f（x0）≤0
C．q是真命题，，g（x）≠0
D．q是假命题，，g（x）≠0
【答案】分别画出 的图象知，，
∴，f（x）＞0成立，即p是真命题。
g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，
则：，使得g（x0）=0成立，即命题q是真命题。
则，f（x0）≤0，
，g（x）≠0，
综上只有C成立，故选：C
【巩固练习】
一、选择题
1．下列命题中，是真命题的是(　　)
A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集
B．{x∈N||x－1|<3}是无限集
C．空集是任何集合的真子集
D．x2－5x＝0的根是自然数
2. （2018 河西区二模）已知命题p：“存在x0∈[1，+∞），使得”，则下列说法正确的是（ ）
A．p是假命题；“任意x∈[1，+∞），都有(log23)x＜1”
B．p是真命题；“不存在x0∈[1，+∞），使得”
C．p是真命题；“任意x∈[1，+∞），都有(log23)x＜1”
D．p是假命题；“任意x∈（－∞，1），都有(log23)x＜1”
3.（2018 佛山模拟）已知命题P： 使成立，则为（ ）
A. B.
C. D.
4．（2018 南昌三模）已知命题：存在x∈（1，2）使得ex－a＞0，若p是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．（e2，+∞） B．[e2，+∞） C．（－∞，e） D．（－∞，e]
5．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( )
A．充分必要条件 B． 充分非必要条件
C．必要非充分条件 D． 非充分非必要条件
6．(2018 湖北)设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；
，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
二、填空题
7.原命题“若，则”的逆否命题是
8．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b；
②方程x2－x＋1＝0有两个实根；
③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；
④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是________，假命题是________．
9．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．
10．（2018春 新余期末）已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“”为真，则m的取值范围是__ __ ．
三、解答题
11.把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
(3)当时，mx2－x＋1＝0无实根；
(4)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；
(5)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.
12.写出下列命题的否定和否命题．
(1)正n(n≥3)边形的n个内角全相等；
(2)0的平方等于0.
13.设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．
14．（2018春 海南校级期末）（1）命题“”为假命题，求实数a的取值范围；（2）若“x2+2x－8＜0”是“x－m＞0”的充分不必要条件，求实数m的取值范围。
15．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的根的充要条件．
【答案与解析】
1. 【答案】　D
【解析】　对选项A，集合是空集，对选项B中的集合为{－1,0,1,2,3}，是有限集，对于C，空集不是它本身的真子集，对于D，x2－5x＝0的根为0和5，它们都是自然数，故选D.
2. 【答案】C；
【解析】命题p：“存在x0∈[1，+∞），，使得”，因为log23＞1，所以成立，故命题p为真命题，
则“任意x∈[1，+∞），都有(log23)x＜1”
故选C。
3. 【答案】D；
【解析】 命题P：
命题为：，故选D。
4. 【答案】B
【解析】命题：存在x∈（1，2），使得ex－a＞0，
则p：，都有ex－a≤0，
即a≥ex，而(ex)max=e2，
若p是真命题，a≥e2，故选：B。
5.【答案】A
【解析】由正弦定理可知，∵△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，
∴a，b，sinA，sinB都是正数，∴“a≤b”?“sinA≤sinB”．
∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】 对命题p：a1，a2，…，an成等比数列，则公比/且an≠0；
对命题q，①当an=0时，/成立；
②当an≠0时，根据柯西不等式，等式/成立，
则/，所以a1，a2，…，an成等比数列，所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件. 故选A。
7.【答案】“若，则”
【解析】逆否命题即否条件又否结论
8. 【答案】　③　①②④⑤
【解析】　对假命题，举反例即可．
对于③，x≤3即x＝3或x<3，故正确．
9. 【答案】　逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；
否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；
逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.
10．【答案】　（―∞，－2）
【解析】因为函数f（x）=x2+mx+1的图象过点（0，1），
若命题“”为真，
则函数f（x）=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，
∴Δ=m2－4＞0，且，
即m＜―2，则m的取值范围是：（―∞，―2）．
故答案为：（―∞，－2）．
11. 【解析】
(1)若ac>bc，则a>b，假命题．
(2)已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2，假命题．
(3)若，则mx2－x＋1＝0无实根，真命题．
(4)若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0，真命题．
(5)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1，真命题．
12．【解析】　(1)命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等；
否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．
(2)命题的否定：0的平方不等于0
否命题：不等于0的数的平方不等于0.
13. 【解析】　逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．
如，，a＋b＝0为有理数，故为假命题．
否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．
由逆命题为假知，否命题为假．
逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．
如a＝2，，则是无理，故逆否命题为假．
14. 【解析】
（1）为假命题，等价于为真命题，
∴Δ=9a2－4×9≤0→－2≤a≤2，
∴实数a的取值范围是－2≤a≤2；
（2）由x2+2x－8＜0→－4＜x＜2，
另由x－m＞0，即x＞m，
∵“x2+2x－8＜0”是“x－m＞0”的充分不必要条件，
∴m≤－4。
故m的取值范围是m≤－4。
/．
15. 【解析】　设方程的两根为x1、x2，使x1、x2都大于1的充要条件是

由韦达定理，得
解得k<－2.
所以所求的充要条件为k<－2.