人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：10【基础】曲线与方程

曲线与方程
【学习目标】
1.了解曲线与方程的对应关系；
2.进一步体会数形结合的基本思想；
3.掌握求曲线方程的基本方法（直接法），了解求曲线方程的其他方法（待定系数法、定义法、转化法、参数法等）
【学习策略】
借助于实例去体会曲线的方程和方程的曲线的意义；
理解求曲线方程的实质，求曲线方程的关键在于把曲线上任一点所满足的几何条件（或其坐标满足的条件）转化为任一点坐标满足的等量关系，要注意方程中量x（或y）的取值范围.
【要点梳理】
要点一、曲线与方程概念的理解
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上所有点的坐标都是方程的解；
（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上.
那么，方程叫做曲线的方程；曲线叫做方程的曲线.
要点诠释：
（1）如果曲线的方程为，那么点在曲线上的充要条件为；
（2）曲线可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线：.
（3）曲线也称为满足条件的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程的解的点不在曲线上；条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线是否为满足方程的点的轨迹而言.
（4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”．
要点二、坐标法与解析几何
解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.
解析几何的两个基本问题：1.根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；2.通过方程，研究平面曲线的性质.
根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一.
我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法.
定义：
在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.
要点三、用直接法求曲线方程的步骤
坐标法求曲线方程的一般步骤：
①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y).
②写出动点P满足的几何条件.
③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0.
④化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。
⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程。
判断点是否在曲线上的方法
把点的坐标代入曲线的方程：
点P(x0，y0)在曲线C：f(x，y)=0上
点P(x0，y0)不在曲线C：f(x，y)=0上．
求两曲线f（x，y）=0与g（x，y）=0的交点坐标方法
联立f（x，y）=0与g（x，y）=0，方程组的解即为两曲线的交点坐标，解的个数为交点的个数
要点诠释：
①求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.
②建系要适当，经常利用特殊点以及曲线的对称性，以尽可能方便写相关点坐标为基本原则，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单.
③根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系，结合基本公式列出等式，并进行化简.
④化简前后解集没变可省略证明。但别忘记删去增加的或者补上丢失的解
要点四、求轨迹方程的常用方法：
求动点的轨迹方程既是平面解析几何中的主要问题之一，又是高考中的一个热点问题.求动点轨迹方程的方法主要有以下几种
(1)直接法；
(2)间接法；
(3)参数法．
经典例题透析
类型一：曲线与方程的概念
例1. （2018 固原校极模拟）方程表示的曲线是（ ）
A．两个半圆 B．两个圆 C．抛物线 D．一个圆
【答案】A
【解析】方程可化为(x―1)2+(|y|―1)2=1（|y|≥1），
y≤―1时，(x―1)2+(y+1)2=1；y≥1时，(x―1)2+(y―1)2=1；
∴方程表示的曲线是两个半圆，
故选：A。
【总结升华】本题考查曲线与方程，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题。
举一反三：
【变式1】 “曲线上的点的坐标都满足”是“方程是曲线的方程”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【变式2】（2018 杭州校级月考）已知曲线C的方程为x2+x+y―1=0，则下列各点中在曲线C上的点是（ ）
A．（0，1） B．（―1，3） C．（1，1） D．（―1，―1）
【答案】A
【解析】解：由x2+x+y―1=0，得y=―x2―x+1，
取x=0，得y=1；
取x=―1，得y=1；
取x=1，得y=―1。
∴点（0，1）在曲线C上。
故选A。
例2. 已知方程的曲线经过点O（0，0）和点A（0，－12），求a、b的值.
【思路点拨】若点在曲线上，则点的坐标满足曲线的方程.
【解析】∵点O、A都在方程表示的曲线上，
∴点O、A的坐标都是方程的解.
∴，解得
即a=0，b=－6为所求.
【总结升华】方程与曲线的问题也就是解与点的关系，判断点是否在曲线上，只需将点的坐标代入方程，等号成立即在曲线上，否则就不在．
举一反三：
【变式1】曲线上有点，则= ．
【答案】
【变式2】已知，点在曲线上，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
例3. 求证：圆心为、半径等于的圆的方程是.
【解析】
（1）设是圆上任意一点，则点M到圆心的距离等于，
即，也就是，
因此是方程的解.
（2）设是方程的解，则有，
两边开方取算术平方根，得，
于是点到点（a，b）的距离等于r，点是这个圆上的点.
由（1）（2）可知是圆心为，半径为r的圆的方程.
【总结升华】证明方程的曲线或曲线的方程需证明纯粹性和完备性两方面：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.
举一反三：
【变式1】证明圆心在坐标原点，半径为5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1(3,-4),是否在这个圆上.
【解析】
（1）设M(x0，y0)是圆上任意一点，
因为点 M到原点的距离为5，
所以，即，
所以(x0，y0)是方程x2+y2=25的解.
（2）设(x0，y0)是方程x2+y2=25的解，那么
，也就是说，点M到原点的距离为5，
所以点M在这个圆上．
由（1）（2）知，x2+y2=25是圆心在坐标原点，半径为5的圆的方程．
把M1(3，-4)代入x2+y2=25，等号成立，所以点M1在圆上，
把代入x2+y2=25，等号不成立，所以点M2不在圆上.
【变式2】设A（2，0）、B（0，2），能否说线段AB的方程是x+y－2=0？为什么？
【答案】不能.以A（2，0）、B（0，2）为端点的线段AB上的点的坐标都是方程x+y－2=0的解，但以方程x+y－2=0的解为坐标的点并不都在线段AB上，而是直线AB.
类型二：坐标法求曲线的方程
例4．已知点A与B为平面内两定点，若平面内动点P到点A与B的距离之比，求动点P的轨迹.
【思路点拨】求动点P的轨迹方程，即是求P点的横、纵坐标所满足的关系式，因此应先建系设点P（x,y）.
【解析】以线段AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，
设则，设P(x,y)
则由得
化简整理得
所以动点P的轨迹是圆
【总结升华】
（1）求曲线的方程一般有下面几个步骤:
①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y).
②写出动点P满足的几何条件.
③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0.
④化方程F(x, y)=0为最简形式.
⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程.
（2）求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单.
（3）根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系，结合基本公式列出等式，并进行化简.
（4）证明可以省略不写.
举一反三：
【变式1】已知点A与圆，设点是圆上一动点，求线段中点M的轨迹方程.
【答案】
【变式2】若点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程.
【答案】取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图所示.
设点M的坐标为（x，y），
点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P={M||MR|=|MQ|}，
其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足.
因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，
所以条件|MR|=|MQ|可写成|x|=|y|，即x±y=0. ①
下面证明①是所求轨迹的方程.
（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；
（2）设点的坐标是方程①的解，那么，
即，而、正是点到纵轴、横轴的距离，
因此点到这两条直线的距离相等，点是曲线上的点.
由（1）（2）可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如上图所示.
【变式3】设两定点F1(-4,0), F2(4,0)，求到F1和F2的距离的平方和是50的动点轨迹方程.
【答案】x2+y2=9.
类型三：两曲线的交点
例4． 已知曲线与直线有两个不同的交点，求k的取值范围.
【思路点拨】
两曲线f（x，y）=0与g（x，y）=0的交点的个数，即是方程组的解的个数。
【解析】由
得
由得
即时曲线与直线有两个不同的交点
【总结升华】曲线的交点个数问题通常转化为方程根的个数问题，对于区间根的问题要利用方程根的分布理论求解..
举一反三：
【变式1】曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是________．
答案：(4,0)和(－1,0)
【变式2】（2018春 离石区月考）已知直线：y=kx－k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．m≥3 B．m≤3 C．m＞3 D．m＜3
【答案】直线：y=kx－k+1恒过定点（1，1），
∵直线：y=kx－k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，
∴12+2×12≤m，
∴m≥3。
故选A。
【变式3】已知曲线，点A(3,0),B(0,3),求C与线段AB有两个不同交点时m的取值范围.
【答案】
【巩固练习】
选择题
1. （2018春 内江期末）方程x2+xy=x的曲线是（ ）
A．两条直线 B．一条直线 C．一个点 D．一个点和一条直线
2.（2018春 上饶校级期中）圆x2+y2=4经过变换公式后，得到曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
3.动点P到点（1，－2）的距离为3，则动点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
4.到两条坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是（　 ）
Ａ.|y|=|x|　　　B．|y|=x　　C．y=|x|　　D．y=x
5.到两个定点A（-2，0）、B（1，0）的距离之比等于2的点的轨迹方程是（　 ）
A．x2+y2-4x=１　　Ｂ　x2+y2-4x=0　　　Ｃ　x2+y2＋4x=0　　　Ｄx2－y2-4x=0
6. （2018 虹口区一模）关于曲线C：x4+y2=1，给出下列四个命题：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线y=x对称
③曲线C围成的面积大于π
④曲线C围成的面积小于π
上述命题中，真命题的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①③
7. （2018春 平度市期末）直线y=x+2与曲线的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
填空题
8．已知曲线C：xy＋3x＋ky＋2＝0，则当k＝________时，曲线C经过点(2，－1)．
9．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．
10．方程4x2－y2＝0表示的曲线是________．
11．下列各组方程表示相同曲线的是________．
①y＝x与y＝
②y＝与y＝|x|
③(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0
④y＝与xy＝1
三、解答题
12.点M与两条互相垂直的直线的距离之积为常数k(k>0)，求点M的轨迹方程.
13.求到点A(5,0)，B(-5，0)连线斜率之积为定值的动点轨迹方程.
14.已知△ABC的两个顶点分别为B(-2，0)，C(3，0)，第三个顶点A在直线l:2x+3y-12=0上滑动，求△ABC重心的轨迹方程.
15. （2018 南阳校级三模改编）A和B是曲线y2=8x上除原点以外的两个动点，O是坐标原点且满足，，求动点M的轨迹方程。
【答案与解析】
1.答案A；
解析：方程x2+xy=x即x(x+y―1)=0，
化简可得x=0或x+y―1=0。
而x=0表示一条直线，x+y―1=0也表示一条直线，
故方程x2+xy=x的曲线是两条直线，
故选A。
2.答案B；
解析：圆x2+y2=4经过变换公式即：后，得到曲线方程是：，
可得：。
故选B。
3.答案B；
解析：由两点的距离公式得：，即：，故选B
4.答案A；
解析：点到x轴，y轴的距离分别是，所以答案选A.
5.答案B；
解析：设动点的坐标为（x,y），因为动点到两个定点A（-2，0）、B（1，0）的距离之比等于2，所以有，化简得：x2+y2-4x=0
6.答案 D
解析：对于①，将方程中的x换成―x，y换成―y方程不变，所以曲线C关于x轴、y轴、原点地称，故①对。
对于②，将方程中的x换为y，y换为x方程为y4+x2=1与原方程不同，故②错。
对于③，在曲线C上任取一点M（x0，y0），x04+y02=1，∵|x0|≤1，∴x04≤x02，∴x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故③对，④错。
故选：D。
7. 答案: B
解析：当x≥0时，曲线方程为，图形为双曲线在y轴的右半部分；
当x＜0时，曲线方程y2+x2=2，图形为圆在y轴的左半部分；如图所示，
∵y=x+2是y2+x2=2的切线，渐近线方程为y=±x
∴直线y=x+2与曲线的交点个数为1。故选：B。
8. 答案：6
解析：由题意，得2×(－1)＋3×2＋k×(－1)＋2＝0，
∴k＝6.
9. 答案：四个点(±2，±2)
解析：由得若
或或故方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是四个点(±2，±2)．
10. 答案：两条直线
解析：原方程可化为(2x＋y)(2x－y)＝0，
即2x＋y＝0或2x－y＝0.
所以表示的曲线是两条直线．
11. 答案：④
解析：①y取值不同；②中x的取值不同；③中前者x＝1且y＝－2，后者x＝1或y＝－2.
12. 解析：以两条互相垂直的直线为坐标轴建立坐标系，设M(x，y)
则|xy|=k，xy=±k
13. 解析：设M(x，y)，则
化简得9x2+25y2=225(去掉(±5，0))
14. 解析：设A(x0，y0)，G(x，y)
则
∵2x0+3y0-12=0，∴2(3x-1)+9y-12=0
化简得
15. 解析：
设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x，y），
则 x1·x2+y1·y2=0 ①， ②，
当l垂直于x轴时，M（8，0），
当l斜率存在时，由题意可知斜率k不会为0，
设，代入曲线方程可得 k2x2+(2kb－8)x+b2=0，
∴，，，
∵x1·x2+y1·y2=0，
∴
即 ③
∵ ④，
又∵点M满足 y=kx+b ⑤，
由③④⑤得：(x－4)2+y2=16，
而M（4，0）满足上式，
∴点M的轨迹方程为：(x―4)2+y2=16。
即 x2+y2―8x=0，