人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：11【提高】曲线与方程

曲线与方程
【学习目标】
1.了解曲线与方程的对应关系；
2.进一步体会数形结合的基本思想；
3.掌握求曲线方程的基本方法（直接法），了解求曲线方程的其他方法（待定系数法、定义法、转化法、参数法等）
【学习策略】
借助于实例去体会曲线的方程和方程的曲线的意义；
理解求曲线方程的实质，求曲线方程的关键在于把曲线上任一点所满足的几何条件（或其坐标满足的条件）转化为任一点坐标满足的等量关系，要注意方程中量x（或y）的取值范围.
【要点梳理】
要点一、曲线与方程概念的理解
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上所有点的坐标都是方程的解；
（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上.
那么，方程叫做曲线的方程；曲线叫做方程的曲线.
要点诠释：
（1）如果曲线的方程为，那么点在曲线上的充要条件为；
（2）曲线可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线：.
（3）曲线也称为满足条件的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程的解的点不在曲线上；条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线是否为满足方程的点的轨迹而言.
（4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”．
要点二、坐标法与解析几何
解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.
解析几何的两个基本问题：1.根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；2.通过方程，研究平面曲线的性质.
根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一.
我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法.
定义：
在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.
要点三、用直接法求曲线方程的步骤
坐标法求曲线方程的一般步骤：
①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y).
②写出动点P满足的几何条件.
③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0.
④化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。
⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程。
判断点是否在曲线上的方法
把点的坐标代入曲线的方程：
点P(x0，y0)在曲线C：f(x，y)=0上
点P(x0，y0)不在曲线C：f(x，y)=0上．
求两曲线f（x，y）=0与g（x，y）=0的交点坐标方法
联立f（x，y）=0与g（x，y）=0，方程组的解即为两曲线的交点坐标，解的个数为交点的个数
要点诠释：
①求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.
②建系要适当，经常利用特殊点以及曲线的对称性，以尽可能方便写相关点坐标为基本原则，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单.
③根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系，结合基本公式列出等式，并进行化简.
④化简前后解集没变可省略证明。但别忘记删去增加的或者补上丢失的解
要点四、求轨迹方程的常用方法：
求动点的轨迹方程既是平面解析几何中的主要问题之一，又是高考中的一个热点问题.求动点轨迹方程的方法主要有以下几种
(1)直接法；
(2)间接法；
(3)参数法．
经典例题透析
类型一：曲线与方程的概念
例1. 已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（　 ）.
（A）曲线上点的坐标都满足方程
（B）坐标不满足方程的点都不在曲线C上
（C）不在曲线上的点，其坐标必不满足方程
（D）不在曲线上的点，其坐标有些满足方程，有些不满足方程.
【解析】由曲线与方程的定义，（A）、（B）不一定正确，（C）命题是原命题的逆否命题，它们是等价命题，故选（C）.
【总结升华】在判定曲线的方程和方程的曲线时，两个条件缺一不可，是不可分割的整体，解答本题时，应注意不要被问题的表面现象所迷惑，应根据“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念逐一辨别其选项的真假.
举一反三：
【变式1】下列命题正确的是（ ）
A．到轴距离为5的点的轨迹方程是
B．方程表示的曲线是直角坐标平面上第一、三 象限的角平分线
C．方程表示的曲线是一条直线和一条双曲线
D．曲线过原点的充要条件是
【答案】D
【变式2】（2018春 成都校级期中）方程x2―xy+2y+1=0表示的曲线经过4个A（1，―2），B（2，―3），C（3，10），中的（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A（1，―2），代入方程x2―xy+2y+1=0，
可得：1+2―4+1=0，满足方程，所以点A在曲线上。
B（2，―3），代入方程x2―xy+2y+1=0，
可得：4+6―6+1≠0，不满足方程，所以点B不在曲线上。
C（3，10），代入方程x2―xy+2y+1=0，
可得：9―30+20+1=0，满足方程，所以点C在曲线上。
代入方程x2―xy+2y+1=0，
可得：0―0―1+1=0，满足方程，所以点D在曲线上。
故选C。
例2. 已知方程的曲线经过点O（0，0）和点A（0，－12），求a、b的值.
【思路点拨】若点在曲线上，则点的坐标满足曲线的方程.
【解析】∵点O、A都在方程表示的曲线上，
∴点O、A的坐标都是方程的解.
∴，解得
即a=0，b=－6为所求.
【总结升华】方程与曲线的问题也就是解与点的关系，判断点是否在曲线上，只需将点的坐标代入方程，等号成立即在曲线上，否则就不在．
举一反三：
【变式1】曲线上有点，则= ．
【答案】
【变式2】已知，点在曲线上，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
例3. 求证：圆心为、半径等于的圆的方程是.
【解析】
（1）设是圆上任意一点，则点M到圆心的距离等于，
即，也就是，
因此是方程的解.
（2）设是方程的解，则有，
两边开方取算术平方根，得，
于是点到点（a，b）的距离等于r，点是这个圆上的点.
由（1）（2）可知是圆心为，半径为r的圆的方程.
【总结升华】证明方程的曲线或曲线的方程需证明纯粹性和完备性两方面：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.
举一反三：
【变式1】证明圆心在坐标原点，半径为5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1(3,-4),是否在这个圆上.
【解析】
（1）设M(x0，y0)是圆上任意一点，
因为点 M到原点的距离为5，
所以，即，
所以(x0，y0)是方程x2+y2=25的解.
（2）设(x0，y0)是方程x2+y2=25的解，那么
，也就是说，点M到原点的距离为5，
所以点M在这个圆上．
由（1）（2）知，x2+y2=25是圆心在坐标原点，半径为5的圆的方程．
把M1(3，-4)代入x2+y2=25，等号成立，所以点M1在圆上，
把代入x2+y2=25，等号不成立，所以点M2不在圆上.
【变式2】设A（2，0）、B（0，2），能否说线段AB的方程是x+y－2=0？为什么？
【答案】不能.以A（2，0）、B（0，2）为端点的线段AB上的点的坐标都是方程x+y－2=0的解，但以方程x+y－2=0的解为坐标的点并不都在线段AB上，而是直线AB.
类型二：坐标法求曲线的方程
例4．已知点A与B为平面内两定点，若平面内动点P到点A与B的距离之比，求动点P的轨迹.
【思路点拨】求动点P的轨迹方程，即是求P点的横、纵坐标所满足的关系式，因此应先建系设点P（x,y）.
【解析】以线段AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图
设则，设P(x,y)
则由得
化简整理得
所以动点P的轨迹是圆
【总结升华】
（1）求曲线的方程一般有下面几个步骤:
①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y).
②写出动点P满足的几何条件.
③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0.
④化方程F(x, y)=0为最简形式.
⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程.
（2）求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单.
（3）根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系，结合基本公式列出等式，并进行化简.
（4）证明可以省略不写.
举一反三：
【变式1】设A、B两点的坐标分别是（1，0）、（－1，0），若，求动点M的轨迹方程.
【答案】方程是点M的轨迹方程.
【变式2】若点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程.
【答案】取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图所示.

设点M的坐标为（x，y），
点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P={M||MR|=|MQ|}，
其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足.
因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，
所以条件|MR|=|MQ|可写成|x|=|y|，即x±y=0. ①
下面证明①是所求轨迹的方程.
（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；
（2）设点的坐标是方程①的解，那么，
即，而、正是点到纵轴、横轴的距离，
因此点到这两条直线的距离相等，点是曲线上的点.
由（1）（2）可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如上图所示.
【变式3】（2018 南阳校级三模改编）A和B是曲线y2=8x上除原点以外的两个动点，O是坐标原点且满足，，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．x2+y2－8x=0 B．y=6x2 C．x2+4y2=1 D．
【答案】
【解析】
设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x，y），
则 x1·x2+y1·y2=0 ①， ②，
当l垂直于x轴时，M（8，0），
当l斜率存在时，由题意可知斜率k不会为0，
设，代入曲线方程可得 k2x2+(2kb－8)x+b2=0，
∴，，，
∵x1·x2+y1·y2=0，
∴
即 ③
∵ ④，
又∵点M满足 y=kx+b ⑤，
由③④⑤得：(x－4)2+y2=16，
而M（4，0）满足上式，
∴点M的轨迹方程为：(x―4)2+y2=16。
即 x2+y2―8x=0，
故选：A。
【变式4】设两定点F1(-4,0), F2(4,0)，求到F1和F2的距离的平方和是50的动点轨迹方程.
【答案】x2+y2=9.
类型三：由方程画曲线
例5．（2018春·玉溪校极期末）方程所表示的曲线是（ ）
/
【答案】 D
【思路点拨】
原方程等价于：，或x2+y2=4；两组方程分别表示出圆和不在圆内部分的直线，进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分。
【解析】
原方程等价于：，或x2+y2=4；其中当x+y―1=0需有意义，等式才成立，即x2+y2≥4，此时它表示直线x―y―1=0上不在圆x2+y2=4内的部分，这是极易出错的一个环节。故选D。
【总结升华】已知方程研究曲线，首先要对所给的方程进行同解变形，化为我们所熟悉的方程，进一步研究曲线的特点和性质，进而作出图形.
举一反三：
【变式1】画出方程的曲线:
【答案】
①当-10且x(1时，
将方程各对数式换为以x为底的对数式，整理为
②当x=1时，在中，方程恒成立.
曲线如下图:
/
【变式2】方程（表示的图形是（ ）
A．两个点 B．四个点 C．两条直线 D．四条直线
类型四：两曲线的交点
例6． 已知曲线与直线有两个不同的交点，求k的取值范围.
【思路点拨】
两曲线f（x，y）=0与g（x，y）=0的交点的个数，即是方程组的解的个数。
【解析】由
得
由得
即时曲线与直线有两个不同的交点
【总结升华】曲线的交点个数问题通常转化为方程根的个数问题，对于区间根的问题要利用方程根的分布理论求解..
举一反三：
【变式1】曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是________．
答案：(4,0)和(－1,0)
【变式2】已知曲线，点A(3,0),B(0,3),求C与线段AB有两个不同交点时m的取值范围.
【答案】
【巩固练习】
选择题
1．（2018春 宁夏校级期中）设平面上的伸缩变换的坐标表达式为，则在这一坐标变换下正弦曲线y=sin x的方程变换为（ ）
A．y=3sin2x B． C． D．
2. （2018秋 冀州市校级期末）方程x(x2+y2―4)=0与x2+(x2+y2―4)2=0表示的曲线是（ ）
A．都表示一条直线和一个圆
B．都表示两个点
C．前者是两个点，后者是一直线和一个圆
D．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点
3.到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是 ( )
A．圆 B．AB所在直线
C．线段AB D．无轨迹
4. （2018春 平度市期末）直线y=x+2与曲线的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2018 安徽二模）点集{（x，y）｜(｜x｜－1)2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭的曲线所围成的区域面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018 唐山三模）关于曲线，给出下列四个命题：
A．曲线C关于原点对称
B．曲线C有且只有两条对称轴
C．曲线C的周长1满足
D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7. 如图所示，已知两点A(－2，0)、B(1,0)，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为坐标原点，则点P的轨迹方程是(　　)
A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)
B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)
C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)
二、解答题
8．两条直线ax＋y＋1＝0和x－ay－1＝0(a≠±1)的交点的轨迹方程是________．
9．已知0≤α<2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值是________．
10．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是________．
11．“点M在曲线y2＝8x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的 ________条件．
三、解答题
12. (1)判断点A(－4,3)、B(－3，－4)、C(，2)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，)与点在曲线C上，求m、n的值．
13.求到点A(5,0)，B(-5，0)连线斜率之积为定值的动点轨迹方程.
14.已知△ABC的两个顶点分别为B(-2，0)，C(3，0)，第三个顶点A在直线l:2x+3y-12=0上滑动，求△ABC重心的轨迹方程.
15．已知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，P也在曲线g(x，y)＝0上，求证：P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0上(λ∈R)．
【答案与解析】
1. 答案：A
解析：由，得，代入y=sin x得，
即y＇=3sin2x＇，
则正弦曲线y=sin x的方程变换为y=3sin2x，
故选A。
2.答案D；
解析：由x(x2+y2―4)=0，得x=0或x2+y2―4=0，即x=0或x2+y2=4，曲线表示一条直线和一个圆；
由x2+(x2+y2―4)2=0，得x2=0且x2+y2―4=0，即x=0，y=―2或x=0，y=2，曲线表示点（0，―2）或（0，2）。
∴前者是一条直线和一个圆，后者是两个点。
故选D。
3.答案C；
解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：其中
4. 答案: B
解析：当x≥0时，曲线方程为，图形为双曲线在y轴的右半部分；
当x＜0时，曲线方程y2+x2=2，图形为圆在y轴的左半部分；如图所示，
∵y=x+2是y2+x2=2的切线，渐近线方程为y=±x
∴直线y=x+2与曲线的交点个数为1。故选：B。
5. 答案：A
解析：或
求得两个图形的面积和为。
6. 答案：B
解析：把曲线C中的（x，y）同时换成（―x，―y），方程不变，∴曲线C关于原点对称，即A正确；
曲线方程为，交换x，y的位置后曲线方程不变，∴曲线C关于直线y=x对称，同理，y=―x，x，y轴是曲线的对称轴，即B不正确；
在第一象限内，因为点在曲线上，由图象可知曲线在直线y=―x+1的下方，且为凹函数，如图。
由以上分析可知曲线C的周长l满足，正确。
曲线C上的点到原点的距离的最小值为到原点的距离，为，即D不正确。
故选：B。
7. 答案：C
解析：由∠APO＝∠BPO，设P点坐标为(x，y)，
则|PA|∶|PB|＝|AO|∶|BO|＝2，即|PA|＝2|PB|，
∴ 整理得(x－2)2＋y2＝4，且y≠0.
8. 答案：，且xy≠0
解析：由

①×y＋②×x得　y2＋y＋x2－x＝0，即且xy≠0.
9. 答案：或
解析：将P点坐标代入方程求解，
(cosα－2)2＋sin2α＝3，∴.
∵0≤α≤2π，∴或.
10. 答案：(4,0)和(－1,0)
解析：在方程x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中令y＝0，得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1.
11. 答案：必要不充分
解析：由y2＝8x得.
12. 解析：(1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25，满足方程，且A点的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
把点B(，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，
∵()2＋(－4)2＝34≠25，
∴点B不在方程所表示的曲线上．
∵C点的横坐标不满足小于或等于0的条件，
∴点C不在曲线x2＋y2＝25(x≤0)上．
(2)∵M(m，)、N(，n)在曲线C上，
∴它们的坐标都是方程的解．
∴m2(m2－1)＝2×1，．
∴m＝±，或.
13. 解析：设M(x，y)，则
化简得9x2+25y2=225(去掉(±5，0))
14. 解析：设A(x0，y0)，G(x，y)
则
∵2x0+3y0-12=0，∴2(3x-1)+9y-12=0
化简得
15. 证明：∵P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，
∴f(x0，y0)＝0.
又∵P(x0，y0)也在曲线g(x，y)＝0上，
∴g(x0，y0)＝0.
∴对λ∈R，有f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ·0＝0，
即P(x0，y0)适合方程f(x，y)＋λ·g(x，y)＝0.
∴点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0上．(λ∈R)