人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：13【提高】椭圆的方程

椭圆的方程
【学习目标】
1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；
2.掌握椭圆的定义和标准方程；
3.能用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
要点诠释：
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形.
要点二、椭圆的标准方程
标准方程的推导：
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．
如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．
以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．
(2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为：
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．
(3)代数方程
/
即：/
(4)化简方程 由可得，则得方程
关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．
因此，方程即为所求椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．
椭圆的标准方程：
1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
要点诠释：
1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
2.在椭圆的两种标准方程中，都有和；
3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
4. 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
要点三、求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.
（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
【典型例题】
类型一：椭圆的定义
例1. 若一个动点P（x，y）到两个定点A（－1，0）、A＇（1，0）的距离的和为定值m（m>0），试求P点的轨迹方程。
【解析】∵|PA|+|PA＇|=m，|AA＇|=2，|PA|+|PA＇|≥|AA＇|，
（1）当0（2）当m=2时，P点的轨迹就是线段AA＇
∴其方程为y=0（－1≤x≤1）；
（3）当m＞2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、A＇为焦点的椭圆
∵2c=2，2a=m，
∴，，
∴点P的轨迹方程为。
【总结升华】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆。。当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆。
举一反三：
【变式1】（2018 奉贤区一模）设椭圆的左、右焦点分别为F1,，F2，上顶点为B。若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的方程是（ ）
B. C. D.
【答案】 A
【变式2】（2018 珠海二模）已知B（-2,0），C（2,0），A为动点，的周长为10，则动点A的满足的方程为（ ）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
|AB|+|AC|+|BC|=10，B（-2,0），C（2,0），
|AB|+|AC|=6>|BC|
点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去B、C），且2a=6,c=2,
b2=a2-c2=5,
顶点A的轨迹方程为
【变式3】设动圆与圆外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程.
【答案】
类型二：椭圆的标准方程
例2. 椭圆的焦距是 ，焦点坐标是 ；若AB为过椭圆的一个焦点F1的一条弦，F2为另一个焦点，则的周长是 .
【答案】
【解析】由椭圆方程知
∴
∴
∴两焦点为
又因为三角形的周长为为
=
【总结升华】有椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a,b的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应该准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息.
举一反三：
【变式1】方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________
【答案】【解析】因为焦点在y轴上，所以16＋m>25－m，即m>，又因为b2＝25－m>0，故m<25，所以m的取值范围为.
【变式2】已知椭圆的标准方程是(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．
【答案】
【解析】因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即，所以△ABF2的周长为4a＝.
【变式3】（2018 海淀区模拟）已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则a＞b＞0，
所以“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要条件；
若a＞b，曲线不一定是椭圆，故充分性不成立，
所以“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件。
故选C。
例3.当时，指出方程所表示的曲线.
【解析】
∵∴
若9-k>k-3，即时，则方程表示焦点在x轴上的椭圆；
若9-k=k-3，即k=6时，方程表示圆；
若9-k【总结升华】一方面确定椭圆标准方程需要知道定形条和定位条件，反过来，给出了椭圆的标准方程后，也可以从中读出相关信息.
举一反三：
【变式】如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是
【答案】
类型三：求椭圆标准方程
例4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；
（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点
【解析】
（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为。
∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4
∴b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为；
（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为
由椭圆的定义知，，
∴
又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6
∴所求椭圆的标准方程为
【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为。
举一反三：
【变式1】已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程是________．
【答案】
【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。
【答案】。
例5. 求经过点P（－3，0）、Q（0，2）的椭圆的标准方程。
【解析】设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）。
∵椭圆经过点P（－3，0）和Q（0，2），
∴ ∴
∴所求椭圆方程为。
【总结升华】在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程。在无法判断焦点的位置时可设mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置。
举一反三：
【变式1】过点(－3,2)且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是________．
【答案】
【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程。
【答案】或。
类型四：椭圆的综合问题
例6.设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．
【答案】4
【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4.
【总结升华】解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理.
举一反三：
【变式1】已知P为椭圆上的一点，是两个焦点，，
求的面积.
【答案】
【变式2】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点/在x轴上，离心率为/．过点/的直线l交C于A，B两点，且/的周长为16，那么C的方程为______
【答案】/。
类型五：坐标法的应用
例7．△ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，－6），另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。
【解析】设顶点A的坐标为（x，y）
由题意得，
∴顶点A的轨迹方程为。
【总结升华】求出曲线方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件。
举一反三：
【变式1】已知A、B两点的坐标分别为（0，－5）和（0，5），直线MA与MB的斜率之积为，则M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【变式2】△ABC两顶点的坐标分别是B（6，0）和C（－6，0），另两边AB、AC的斜率的积是，则顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【变式3】如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP'，求线段PP'中点M的轨迹
【答案】设点M的坐标为，点P的坐标为，
则
因为在圆上，所以
将代入上方程
得即
所以点M的轨迹是一个椭圆
【巩固练习】
选择题
1.如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．或
2.（2018春 淄博校级月考）若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点最短距离为，则这个椭圆的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
3.直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． B．或
C． 且 D．且
4.设P是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（ ）
A.4 B.5 C.8 D.10
5. （2018 武汉模拟）“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.若椭圆的的一个焦点为（0，-4），则k的值为（ ）
Ａ.　　　B．　　　　C．8　　　　D．32
填空题
7．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为　 　．
8．（2018 湖南校级模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆在y轴上的一个顶点，若2b，，2a成等差数列，且△PF1F2的面积为12，则椭圆C的方程为________．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ＝1，则PF1＝________.
10．设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．
11.椭圆 (m三、解答题
12．的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．
13．已知圆C：(x－3)2＋y2＝100及点A(－3,0)，P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于点Q，求点Q的轨迹方程．
14. 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
15．(2018 北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4，
(1)求椭圆C的离心率
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
【答案与解析】
1.答案D；
解析：焦点在x轴上，则标准方程中项的分母应大于项的分母，即解得选D.
2.答案C；
解析：设短轴的一个端点为P，左右焦点分别为F1、F2，
∵△PF1F2为正三角形，
∴，可得，即 ①
又∵椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为，
∴， ②
联解①②，可得。
因此a2=12且b2=9，可得椭圆的标准方程为或。
故选C。
3.答案：D
解析：直线过定点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上.
4.答案：Ｄ
解析：由椭圆定义知，所以选Ｄ
５.答案：B
解析： ∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，
例如a＜0，b＜0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”。
“方程ax2+by2=1表示椭圆” →“ab＞0”，
∴“ab＞0”是方程“ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件。
故选B。
６. 答案A；
解析：方程变形为，∴
7. 答案：
解析：由题意，AF2⊥x轴，∴|AF2|＝b2，
∵|AF1|＝3|F1B|，
∴B(－c，－b2)，
代入椭圆方程可得，
∵1＝b2＋c2，
∴b2＝，c2＝，
∴．
故答案为：．
8. 答案：
解析：由题意知，2a+2b=2|F1F2|=4c，
，
∴a=2c－b，又a2=b2+c2，
∴(2c－b)2=b2+c2，解得：c=4。
∴b=3，a=5。
∴椭圆C的方程为。
故答案为：
9. 答案：6
解析：如图所示，连结PF2，由于Q是PF1的中点，所以OQ是△PF12的中位线，所以PF2＝2OQ＝2，根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1＝6.
10. 答案：4
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(2)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4.
11. 答案：，
解析：因为m－n>0，故焦点在x轴上，所以，故焦点坐标为，．
12. 解析：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，
故其方程为．
（2）设，，则． ①
由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．
13. 解析：如图所示．∵l是线段PA的垂直平分线，∴AQ＝PQ.∴AQ＋CQ＝PQ＋CQ＝CP＝10，且10>6.
∴点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，且2a＝10，c＝3，即a＝5，b＝4.∴点Q的轨迹方程为.
14.解析：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．
从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，
可求出，，从而．
∴所求椭圆方程为或．
15.解析：(1)由x2＋2y2＝4，得椭圆C的标准方程为．
∴a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．
因此a＝2，c＝．
故椭圆C的离心率；
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0．
∵OA⊥OB，
∴，即tx0＋2y0＝0，解得．
当x0＝t时，，代入椭圆C的方程，得．
故直线AB的方程为，圆心O到直线AB的距离．
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为，
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0．
圆心O到直线AB的距离．
又．
故．
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．