人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：14【基础】椭圆的性质
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：14【基础】椭圆的性质 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 556.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-19 20:49:16 | ||
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文档简介
椭圆的性质
【学习目标】
1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质.
2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.
3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
【要点梳理】
要点一、椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质
/
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
要点诠释：
椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：
/
（1），，；
（2），，；
（3）,，；
要点二、椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：
/
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
要点三、椭圆两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
/
/
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
要点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
要点四、直线与椭圆的位置关系
平面内点与椭圆的位置关系
椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x,y），
若点M（x,y）在椭圆上，则有；
若点M（x,y）在椭圆内，则有；
若点M（x,y）在椭圆外，则有.
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
【典型例题】
类型一：椭圆的简单几何性质
例1.求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆.
【解析】根据椭圆的标准方程，得
因此，长轴长，短轴长
∴离心率，
焦点为F1（―4，0）和F2（4，0），顶点为A1（―5，0），A2（5，0），B1（0，―3），B2（0，3）。
将方程变形为（―5≤x≤5），根据（－5≤x≤5）可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标（x，y），列表如下：
x
0
1
2
3
4
5
y
3
2.94
2.75
2.4
1.8
0
先描点画出第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图2-2-9）。
/
【总结升华】 由已知方程可确定椭圆在四条直线x=±5，y=±3所围成的矩形框内，以两坐标轴为对称轴，原点为对称中心，所以只需画出椭圆在第一象限的图形，就可画出椭圆。
举一反三：
【变式1】椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离=____.
【答案】7
【高清课堂：椭圆的性质 例1】
【变式2】求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
【答案】椭圆的长轴和短轴长分别是，离心率，焦点，椭圆的四个顶点是
例2. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程。
【解析】 椭圆的长轴长为6，，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c，，，
所以c=2，b2=32－22=5，
故椭圆的方程为或。
【总结升华】 灵活运用椭圆的几何性质：①a2=b2+c2；②长轴长2a，短轴长2b，进行求参数的值或求椭圆的方程.
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点/在x轴上，离心率为/．过点/的直线l交C于A，B两点，且/的周长为16，那么C的方程为______
【答案】/。
【变式2】长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。
【答案】或
类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围
例3.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率；
（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。
【解析】 （1）由题意得，
即，
解得。
（2）由题意得，
解得，故离心率。
【总结升华】 椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数，求椭圆离心率的关键是由条件寻求a、c满足的关系式。
举一反三：
【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）
【答案】D
【变式2】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿
【答案】
例4. （2018 江西二模）椭圆的两顶点为A（a,0），B(0,b),且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（ ）
B. C. D.
【答案】C
【思路点拨】先求出F的坐标，然后求出直线AB和BF的斜率，由两直线垂直可知两斜率相乘得-1，进而求得a和c的关系式，进而求得e.
【解析】
依题意可知点F（-c,0）,
直线AB斜率为，直线BF的斜率为
，
整理得即即
解得或
，故选C
【总结升华】 本题利用了椭圆的性质、两直线垂直斜率之积等于-1等知识。要特别注意的是椭圆的离心率小于1.
举一反三：
【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。
【答案】
【变式2】（2018 江西模拟）斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】两个交点横坐标是－c，c
所以两个交点分别为
代入椭圆
两边乘2a2b2
则c2(2b2+a2)=2a2b2
∵b2=a2―c2
c2(3a2―2c2)=2a4―2a2c2
2a4―5a2c2+2c4―2a2c2
2a4―5a2c2+2c4=0
(2a2―c2)(a2―2c2)=0
，或
∵0＜e＜1
所以
故选A。
例5．已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围。
【解析】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，
由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①
又|PF1|+|PF2|=2a ②
联立① ②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴
【总结升华】求离心率或离心率的范围，通常构造关于，，的齐次式，从而构造出关于的方程或不等式.
举一反三：
【变式1】(2018 福建文)已知椭圆的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设左焦点F，连接AF1，BF1．则四边形BF1AF是平行四边形，故|AF1|＝|BF|，所以|AF|+|AF1|＝4＝2a，所以a=2，设M(0，b)，则，故b≥1，从而a2-c2≥1，0＜c2≤3，0＜c≤，所以椭圆E的离心率的取值范围是，故选A．
【变式2】已知椭圆，以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。
【答案】由已知，，所以，
即，
不等式两边同除可得，
解不等式得或.
由椭圆的离心率，
所以所求椭圆离心率.
类型三：直线与椭圆的位置关系
例6.对不同实数m，讨论直线与椭圆的公共点的个数.
【解析】由题意得
将(1)代入（2）得
整理得，（3）
由
当时，，方程（3）有两个不同的实数根，此时直线与椭圆有两个公共点；
当时，，方程（3）有两个相等的实数根，此时直线与椭圆有一个公共点；
当时，，方程（3）没有实数根，此时直线与椭圆没有公共点.
【总结升华】在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，通过构造方程组化为关于x，（或y）的一元二次方程，借助于一元二次方程的判别式、根与系数关系来解决
举一反三：
【变式】若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围。
【答案】时，直线与椭圆恒有公共点
【巩固练习】
选择题
1．一个椭圆的半焦距为2，离心率，那么它的短轴长是（ ）
A．3 B． C． D．6
2．已知点（3，2）在椭圆＋=1上，则（ ）
A.点（－3，－2）不在椭圆上
B.点（3，－2）不在椭圆上
C.点（－3，2）在椭圆上
D.无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在椭圆上
3．(2018 全国Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA=，则椭圆的方程是（ ）
A.=1 B.=1
C. =1或=1 D.=1或=1
5.椭圆的两个焦点为，过作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则为（ ）
A． B． C． D．4
6．已知椭圆C：+=1与椭圆+=1有相同离心率，则椭圆C的方程可能是（ ）
A.+=m2(m≠0) B.+=1
C. +=1 D.以上都不可能
填空题
7．椭圆的离心率为，则m=________.
8．若圆x2+y2=a2（a＞0）与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是________.
9. （2018 漳州一模）设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为________．
10.已知椭圆C的焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为 .
三、解答题
11．已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。
12.椭圆(a>b>0)的两焦点为F1（0，-c），F2（0，c）(c>0)，离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2-，求椭圆的方程.
13.若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，且焦点到同侧长轴端点距离为，（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的离心率
14．已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
15．已知点A(0，－2)，椭圆E：＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(Ⅰ)求E的方程；
(Ⅱ)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【答案与解析】
1．答案：C
解析： ∵c=2，，∴a=3
∴b2=a2―c2=9―4=5，∴，
∴短轴长为。
2．答案： C
解析 ：∵点（3，2）在椭圆＋=1上，
∴＋=1,∴=1.
即点(±3,±2)在椭圆＋=1上.
3．答案：B
解析：如图，在椭圆中，|OF|=c，|OB|=b，，
/
在Rt△OFB中，|OF|×|OB|=|BF|×|OD|，且a2=b2+c2，代入解得a2=4c2，
所以椭圆的离心率为：，
故选B.
4．答案：D
解析：由cosOFA=，知A是短轴的端点.∵长轴长是26，∴|FA|=13即a=13.∴=，c=5，b2=132-52=122=144.∴椭圆的方程为=1或=1.
5.答案：C
解析：∵而，∴
6．答案： A
解析： 把方程+=m2写成+=1,则a2=8m2,b2=4m2,
∴c2=4m2,∴==,e==,而椭圆+=1的离心率为.
7．答案：3或
解析：方程中4和m哪个大哪个就是a2，因此要讨论：
（1）若0＜m＜4则a2=4，b2=m，
∴，∴，得m=3。
（2）m＞4，则b2=4，a2=m，∴，
∴，得。
综上，m=3或。
8．答案：[2，3]
解析：根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径a的取值范围为[2，3]
9.答案：15
解析：由题意F2（3，0），|MF2|=5，
由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|―|PF2|=10+|PM|―|PF2|≤10+|MF2|=15，
当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，
故答案为：15．
10，答案
解析：由题设椭圆C的标准方程为，由已知得∴
，∴椭圆的方程为
11. 解析：若椭圆的焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为，
由题意得，解得。
∴椭圆的标准方程为。
若椭圆的焦点在y轴上，
设椭圆的标准方程为.同理可求椭圆的方程为
12．解析∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a-c=2-.
又e==，∴a=2.故b=1.
∴椭圆的方程为+x2=1.
13.解析：设椭圆的方程为，由椭圆的对称性和正方形的对称性可知：正方形被椭圆的对称轴分割成了4个全等直角三角形，因此（2c为焦距）
由题意得解得
∴椭圆的方程为.
（2）椭圆的离心率为
14. 解析：利用直线与椭圆相交的弦长公式．
求解．
因为，，所以．
又因为焦点在轴上，
所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为
．
由直线方程与椭圆方程联立得
．
设，为方程两根，
所以，，，
从而．
15. 解析：(Ⅰ)设F(c，0)，∵直线AF的斜率为，
∴，解得c＝．
又，b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝1．
∴椭圆E的方程为；
(Ⅱ)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由题意可设直线l的方程为：y＝kx－2．
联立，
化为(1+4k2)x2－16kx+12＝0，当△＝16(4k2－3)＞0时，即时，，．
∴|PQ|＝
＝
＝，
点O到直线l的距离d＝．
∴S△OPQ＝＝，
设＞0，则4k2＝t2+3，
∴＝1，
当且仅当t＝2，即，解得时取等号．
满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为： ．
【学习目标】
1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质.
2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.
3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
【要点梳理】
要点一、椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质
/
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
要点诠释：
椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：
/
（1），，；
（2），，；
（3）,，；
要点二、椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：
/
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
要点三、椭圆两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
/
/
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
要点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
要点四、直线与椭圆的位置关系
平面内点与椭圆的位置关系
椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x,y），
若点M（x,y）在椭圆上，则有；
若点M（x,y）在椭圆内，则有；
若点M（x,y）在椭圆外，则有.
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
【典型例题】
类型一：椭圆的简单几何性质
例1.求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆.
【解析】根据椭圆的标准方程，得
因此，长轴长，短轴长
∴离心率，
焦点为F1（―4，0）和F2（4，0），顶点为A1（―5，0），A2（5，0），B1（0，―3），B2（0，3）。
将方程变形为（―5≤x≤5），根据（－5≤x≤5）可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标（x，y），列表如下：
x
0
1
2
3
4
5
y
3
2.94
2.75
2.4
1.8
0
先描点画出第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图2-2-9）。
/
【总结升华】 由已知方程可确定椭圆在四条直线x=±5，y=±3所围成的矩形框内，以两坐标轴为对称轴，原点为对称中心，所以只需画出椭圆在第一象限的图形，就可画出椭圆。
举一反三：
【变式1】椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离=____.
【答案】7
【高清课堂：椭圆的性质 例1】
【变式2】求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
【答案】椭圆的长轴和短轴长分别是，离心率，焦点，椭圆的四个顶点是
例2. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程。
【解析】 椭圆的长轴长为6，，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c，，，
所以c=2，b2=32－22=5，
故椭圆的方程为或。
【总结升华】 灵活运用椭圆的几何性质：①a2=b2+c2；②长轴长2a，短轴长2b，进行求参数的值或求椭圆的方程.
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点/在x轴上，离心率为/．过点/的直线l交C于A，B两点，且/的周长为16，那么C的方程为______
【答案】/。
【变式2】长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。
【答案】或
类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围
例3.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率；
（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。
【解析】 （1）由题意得，
即，
解得。
（2）由题意得，
解得，故离心率。
【总结升华】 椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数，求椭圆离心率的关键是由条件寻求a、c满足的关系式。
举一反三：
【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）
【答案】D
【变式2】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿
【答案】
例4. （2018 江西二模）椭圆的两顶点为A（a,0），B(0,b),且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（ ）
B. C. D.
【答案】C
【思路点拨】先求出F的坐标，然后求出直线AB和BF的斜率，由两直线垂直可知两斜率相乘得-1，进而求得a和c的关系式，进而求得e.
【解析】
依题意可知点F（-c,0）,
直线AB斜率为，直线BF的斜率为
，
整理得即即
解得或
，故选C
【总结升华】 本题利用了椭圆的性质、两直线垂直斜率之积等于-1等知识。要特别注意的是椭圆的离心率小于1.
举一反三：
【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。
【答案】
【变式2】（2018 江西模拟）斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】两个交点横坐标是－c，c
所以两个交点分别为
代入椭圆
两边乘2a2b2
则c2(2b2+a2)=2a2b2
∵b2=a2―c2
c2(3a2―2c2)=2a4―2a2c2
2a4―5a2c2+2c4―2a2c2
2a4―5a2c2+2c4=0
(2a2―c2)(a2―2c2)=0
，或
∵0＜e＜1
所以
故选A。
例5．已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围。
【解析】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，
由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①
又|PF1|+|PF2|=2a ②
联立① ②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴
【总结升华】求离心率或离心率的范围，通常构造关于，，的齐次式，从而构造出关于的方程或不等式.
举一反三：
【变式1】(2018 福建文)已知椭圆的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设左焦点F，连接AF1，BF1．则四边形BF1AF是平行四边形，故|AF1|＝|BF|，所以|AF|+|AF1|＝4＝2a，所以a=2，设M(0，b)，则，故b≥1，从而a2-c2≥1，0＜c2≤3，0＜c≤，所以椭圆E的离心率的取值范围是，故选A．
【变式2】已知椭圆，以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。
【答案】由已知，，所以，
即，
不等式两边同除可得，
解不等式得或.
由椭圆的离心率，
所以所求椭圆离心率.
类型三：直线与椭圆的位置关系
例6.对不同实数m，讨论直线与椭圆的公共点的个数.
【解析】由题意得
将(1)代入（2）得
整理得，（3）
由
当时，，方程（3）有两个不同的实数根，此时直线与椭圆有两个公共点；
当时，，方程（3）有两个相等的实数根，此时直线与椭圆有一个公共点；
当时，，方程（3）没有实数根，此时直线与椭圆没有公共点.
【总结升华】在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，通过构造方程组化为关于x，（或y）的一元二次方程，借助于一元二次方程的判别式、根与系数关系来解决
举一反三：
【变式】若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围。
【答案】时，直线与椭圆恒有公共点
【巩固练习】
选择题
1．一个椭圆的半焦距为2，离心率，那么它的短轴长是（ ）
A．3 B． C． D．6
2．已知点（3，2）在椭圆＋=1上，则（ ）
A.点（－3，－2）不在椭圆上
B.点（3，－2）不在椭圆上
C.点（－3，2）在椭圆上
D.无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在椭圆上
3．(2018 全国Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA=，则椭圆的方程是（ ）
A.=1 B.=1
C. =1或=1 D.=1或=1
5.椭圆的两个焦点为，过作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则为（ ）
A． B． C． D．4
6．已知椭圆C：+=1与椭圆+=1有相同离心率，则椭圆C的方程可能是（ ）
A.+=m2(m≠0) B.+=1
C. +=1 D.以上都不可能
填空题
7．椭圆的离心率为，则m=________.
8．若圆x2+y2=a2（a＞0）与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是________.
9. （2018 漳州一模）设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为________．
10.已知椭圆C的焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为 .
三、解答题
11．已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。
12.椭圆(a>b>0)的两焦点为F1（0，-c），F2（0，c）(c>0)，离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2-，求椭圆的方程.
13.若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，且焦点到同侧长轴端点距离为，（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的离心率
14．已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
15．已知点A(0，－2)，椭圆E：＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(Ⅰ)求E的方程；
(Ⅱ)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【答案与解析】
1．答案：C
解析： ∵c=2，，∴a=3
∴b2=a2―c2=9―4=5，∴，
∴短轴长为。
2．答案： C
解析 ：∵点（3，2）在椭圆＋=1上，
∴＋=1,∴=1.
即点(±3,±2)在椭圆＋=1上.
3．答案：B
解析：如图，在椭圆中，|OF|=c，|OB|=b，，
/
在Rt△OFB中，|OF|×|OB|=|BF|×|OD|，且a2=b2+c2，代入解得a2=4c2，
所以椭圆的离心率为：，
故选B.
4．答案：D
解析：由cosOFA=，知A是短轴的端点.∵长轴长是26，∴|FA|=13即a=13.∴=，c=5，b2=132-52=122=144.∴椭圆的方程为=1或=1.
5.答案：C
解析：∵而，∴
6．答案： A
解析： 把方程+=m2写成+=1,则a2=8m2,b2=4m2,
∴c2=4m2,∴==,e==,而椭圆+=1的离心率为.
7．答案：3或
解析：方程中4和m哪个大哪个就是a2，因此要讨论：
（1）若0＜m＜4则a2=4，b2=m，
∴，∴，得m=3。
（2）m＞4，则b2=4，a2=m，∴，
∴，得。
综上，m=3或。
8．答案：[2，3]
解析：根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径a的取值范围为[2，3]
9.答案：15
解析：由题意F2（3，0），|MF2|=5，
由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|―|PF2|=10+|PM|―|PF2|≤10+|MF2|=15，
当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，
故答案为：15．
10，答案
解析：由题设椭圆C的标准方程为，由已知得∴
，∴椭圆的方程为
11. 解析：若椭圆的焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为，
由题意得，解得。
∴椭圆的标准方程为。
若椭圆的焦点在y轴上，
设椭圆的标准方程为.同理可求椭圆的方程为
12．解析∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a-c=2-.
又e==，∴a=2.故b=1.
∴椭圆的方程为+x2=1.
13.解析：设椭圆的方程为，由椭圆的对称性和正方形的对称性可知：正方形被椭圆的对称轴分割成了4个全等直角三角形，因此（2c为焦距）
由题意得解得
∴椭圆的方程为.
（2）椭圆的离心率为
14. 解析：利用直线与椭圆相交的弦长公式．
求解．
因为，，所以．
又因为焦点在轴上，
所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为
．
由直线方程与椭圆方程联立得
．
设，为方程两根，
所以，，，
从而．
15. 解析：(Ⅰ)设F(c，0)，∵直线AF的斜率为，
∴，解得c＝．
又，b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝1．
∴椭圆E的方程为；
(Ⅱ)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由题意可设直线l的方程为：y＝kx－2．
联立，
化为(1+4k2)x2－16kx+12＝0，当△＝16(4k2－3)＞0时，即时，，．
∴|PQ|＝
＝
＝，
点O到直线l的距离d＝．
∴S△OPQ＝＝，
设＞0，则4k2＝t2+3，
∴＝1，
当且仅当t＝2，即，解得时取等号．
满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为： ．